[<] Espérance [>] Covariance

 
Exercice 1  4612  

Soient ab deux entiers. Calculer l’espérance et la variance d’une variable X suivant une loi uniforme sur a;b.

 
Exercice 2  3838  Correction  

Soit X une variable aléatoire binomiale de taille n et de paramètre p]0;1[.
Calculer l’espérance de la variable

Y=1X+1.

Solution

Puisque

P(X=k)=(nk)pk(1-p)n-k

l’espérance de Y est donnée par

E(Y)=k=0n1k+1(nk)pk(1-p)n-k.

Or

(n+1k+1)=n+1k+1(nk)

donc

E(Y)=1n+1k=0n(n+1k+1)pk(1-p)n-k

puis par glissement d’indice

E(Y)=1p(n+1)k=1n+1(n+1k)pk(1-p)(n+1)-k

et enfin, par la formule du binôme de Newton, avec un terme manquant

E(Y)=1-(1-p)n+1p(n+1).
 
Exercice 3  3980  Correction  

Soient p]0;1[ et (Xk)k* une suite de variables aléatoires mutuellement indépendantes vérifiant

P(Xk=1)=petP(Xk=-1)=1-p.
  • (a)

    Calculer l’espérance de Xk.

  • (b)

    On pose

    Yn=k=1nXk.

    En calculant de deux façons l’espérance de Yn, déterminer pn=P(Yn=1).

  • (c)

    Quelle est la limite de pn quand n+.

Solution

  • (a)

    E(Xk)=1×p+(-1)×(1-p)=2p-1.

  • (b)

    Par l’indépendance des variables

    E(Yn)=k=1nE(Xk)=(2p-1)n.

    Aussi Yn{1,-1} et

    E(Yn)=1×pn+(-1)×(1-pn)=2pn-1.

    On en déduit

    pn=1+(2p-1)n2.
  • (c)

    Puisque |p|<1, pn1/2.

 
Exercice 4  3839  

Une population de N individus est infectée par un virus dans une faible proportion p. Des analyses sanguines permettent de détecter la présence du virus dans n’importe quel échantillon. Afin de réduire le nombre d’analyses, on se propose de déterminer les individus malades en réunissant ceux-ci par groupes de n et, pour simplifier l’étude, on suppose que n divise N. On rassemble une partie des échantillons sanguins des individus de chaque groupe et l’on teste l’échantillon obtenu. Si le résultat du groupe est positif, on analyse chacun des échantillons des individus du groupe.

  • (a)

    Déterminer la loi de la variable aléatoire X donnant le nombre de groupes positifs.

  • (b)

    On note Y la variable aléatoire donnant le nombre d’analyses effectuées. Calculer l’espérance de Y en fonction de n,N et p.

  • (c)

    Que vaut cette espérance pour les valeurs N=1 000, n=10 et p=0,01?

 
Exercice 5  5217   

Soient X et Y deux variables aléatoires indépendantes suivant chacune une loi uniforme sur 1;n.

  • (a)

    Déterminer l’espérance de Z=min(X,Y).

  • (b)

    En déduire les espérances de max(X,Y) et de |Y-X|.

 
Exercice 6  3987   Correction  

Soient X et Y deux variables aléatoires indépendantes à valeurs dans 1;n.

  • (a)

    Exprimer E(X) en fonction de P(Xk).

  • (b)

    On suppose les variables X et Y uniformes.
    Déterminer l’espérance de min(X,Y) puis de max(X,Y).
    Déterminer aussi l’espérance de |X-Y|.

Solution

  • (a)

    En écrivant

    P(X=k)=P(Xk)-P(Xk+1)

    on obtient

    E(X)=k=1nkP(X=k)=k=1nP(Xk).
  • (b)

    Par la propriété au-dessus

    E(min(X,Y))=k=1nP(Xk et Yk)=k=1nP(Xk)P(Yk).

    Puisque

    P(Xk)=P(Yk)=n+1-kn

    on obtient

    E(min(X,Y))=1n2k=1n(n+1-k)21n2k=1nk2=(n+1)(2n+1)6n.

    Aussi

    min(X,Y)+max(X,Y)=X+Y

    donc

    E(max(X,Y))=n+1-(n+1)(2n+1)6n=(n+1)(4n-1)6n.

    Encore

    min(X,Y)=12((X+Y)-|X-Y|)

    donc

    E(|X-Y|)=n+1-(n+1)(2n+1)3n=n2-13n.
 
Exercice 7  3837   

Une urne contient b1 boules blanches et r1 boules rouges. On tire simultanément n boules dans cette urne et l’on note X le nombre de boules blanches obtenues.

Déterminer l’espérance et la variance de la variable X.

 
Exercice 8  3984   

Soient X1,,Xn des variables aléatoires réelles mutuellement indépendantes suivant une même loi d’espérance μ et de variance σ2.

  • (a)

    Calculer l’espérance de la variable

    Mn=1ni=1nXi.

    On dit que Mn est un estimateur de l’espérance μ.

  • (b)

    Calculer la variance de Mn.

  • (c)

    Pour quelle valeur du réel λ, la variable aléatoire

    Vn=λi=1n(Xi-Mn)2

    peut-elle être considérée comme un estimateur de la variance σ2?

 
Exercice 9  5064   

M. Atchoum dispose d’un paquet de N mouchoirs en papier dans chacune des poches droite et gauche de son pantalon. Chaque fois qu’il éternue, il choisit une poche au hasard pour prendre un mouchoir. Il répète cela jusqu’à ce qu’il vide l’un des paquets. On note X la variable aléatoire qui donne le nombre de mouchoirs restant alors dans l’autre paquet.

  • (a)

    Exprimer la loi de X.

  • (b)

    Montrer que pour tout k1;N,

    (2N-k-1)P(X=k+1)=2(N-k)P(X=k).
  • (c)

    Calculer l’espérance de X.

 
Exercice 10  4621   

Soient X1,,Xn,Xn+1 des variables aléatoires mutuellement indépendantes suivant chacune des lois de Bernoulli de même paramètre p[0;1]. Pour tout k1;n on pose Yk=XkXk+1. Calculer la variance de Sn=Y1++Yn.

 
Exercice 11  5066    Correction  

Soit An() une matrice dont les coefficients sont des variables aléatoires indépendantes et suivent une loi uniforme sur {-1,1}.

Calculer E(det(A)) et V(det(A)).

On admettra que lorsque deux variables aléatoires s’expriment à l’aide de deux sous-familles disjointes d’une famille de variables aléatoires mutuellement indépendantes, celles-ci sont indépendantes.

Solution

Pour (i,j)1;n2, notons ai,j la variable aléatoire associée au coefficient d’indice (i,j) de la matrice A. Par hypothèse, ai,j est d’espérance nulle tandis que ai,j2 est la variable constante égale à 1.

Méthode: On développe le déterminant de A selon une rangée.

En développant le déterminant de A selon la première colonne, on écrit

det(A)=i=1n(-1)i+1ai,1Δi,1

avec Δi,1 le déterminant de la matrice de taille n-1 obtenue par suppression de la première colonne et de la ligne d’indice i de A. Par linéarité de l’espérance,

E(det(A))=i=1n(-1)i+1E(ai,1Δi,1). (1)

Cependant, pour i1;n, le déterminant Δi,1 se calcule à partir de coefficients de la matrice A qui ne figurent pas sur la première colonne de A. Par le résultat admis, les deux variables aléatoires ai,1 et Δi,1 sont indépendantes. On en déduit

E(ai,1Δi,1)=E(ai,1)=0E(Δi,1)=0 puis E(det(A))=0.

On calcule ensuite la variance de det(A) à l’aide de la formule de Huygens

V(det(A))=E((det(A))2)-(E(det(A))=0)2=E((det(A))2)

Méthode: On élève au carré et l’on développe la formule (1).

Par développement,

(det(A))2=(i=1n(-1)i+1ai,1Δi,1)2=i=1nj=1n(-1)i+jai,1aj,1Δi,1Δj,1.

Pour i et j distincts, les variables aléatoires ai,1 et aj,1Δi,1Δj,1 sont indépendantes et donc

E(ai,1aj,1Δi,1Δj,1)=E(ai,1)=0E(aj,1Δi,1Δj,1)=0.

En simplifiant ces termes et en employant l’indépendance de ai,12 et Δi,12, on obtient

E((det(A))2)=i=1nE(ai,12Δi,12)=i=1nE(ai,12)=1E(Δi,12)=i=1nE(Δi,12). (2)

L’espérance du déterminant du carrée d’une matrice dont les coefficients suivent indépendamment la même loi uniforme sur {-1,1} n’est fonction que de la taille de cette matrice. En notant dn cette espérance pour les matrices de tailles n, la relation (2) donne

dn=ndn-1

car les espérances de Δi,12 sont toutes égales à dn-1. De plus, on a d1=1 car, en taille 1, le déterminant du carré est constant égal à 1. On en déduit par récurrence dn=n! puis

V(det(A))=n!  pour tout n1.
 
Exercice 12  4957    

Sur un espace probabilisé fini (Ω,P), on considère N une variable aléatoire à valeurs dans 1;n (avec n*) et X1,,Xn des variables aléatoires réelles suivant chacune la loi d’une même variable X. On suppose toutes ces variables mutuellement indépendantes et l’on définit une variable Y sur Ω en posant11 1 Par exemple, Y peut être le nombre de côtés piles obtenus lors d’une expérience où on lance un dé puis une pièce un nombre de fois égal à la valeur N du dé.

Y(ω)=i=1N(ω)Xi(ω)pour tout ωΩ.

Exprimer l’espérance puis la variance de la variable Y en fonction des espérances et variances de X et N.

 
Exercice 13  5084    

Une urne contient six jetons indiscernables au toucher et numérotés de 1 à 6. On lance un dé équilibré et l’on pioche dans l’urne (sans remise) un nombre de jetons égal à la valeur du dé. On admet l’existence d’un espace probabilisé (Ω,𝒯,P) qui permet d’étudier cette expérience.

Déterminer l’espérance et la variance de la variable S donnant la valeur totale des jetons piochés.

 
Exercice 14  3840    

Dans une urne contenant n* boules blanches et n boules rouges, on prélève successivement et sans remise des boules jusqu’à l’obtention de toutes les boules blanches. On note X le nombre total de boules alors sorties de l’urne.

  • (a)

    Proposer un espace probabilisé (Ω,P) permettant d’étudier cette expérience.

  • (b)

    Déterminer la loi de X.

  • (c)

    Calculer son espérance et sa variance.

 
Exercice 15  3986    

Un groupe de n2 individus échange des cadeaux. Chaque individu apporte un cadeau qu’il dispose dans une urne. Chacun leur tour, les individus retirent de l’urne un cadeau avec le risque de piocher leur propre cadeau. On note X la variable aléatoire donnant le nombre d’individus ayant pioché les cadeaux qu’ils ont apportés.

  • (a)

    Proposer un espace probabilisé (Ω,P) permettant d’étudier l’expérience.

  • (b)

    Calculer l’espérance de X.

 
Exercice 16  5091    Correction  

Soient a,b et n. On appelle chemin de longueur n allant de a à b toute suite d’entiers γ=(a0,a1,,an) commençant par a0=a, terminant par an=b et vérifiant |ai-ai-1|=1 pour tout i1;n. On dit alors que ce chemin passe par les ai et celui-ci peut être figuré par une ligne brisée s’articulant autour des points de coordonnées (i,ai) pour i=0,1,,n.

  • (a)

    À quelle condition existe-t-il au moins un chemin de longueur n allant de a à b? On suppose cette condition remplie, exprimer alors le nombre de ces chemins.

  • (b)

    Soient a et b*. Justifier qu’il y a autant de chemins de longueur n allant de a à b qui passe par 0 que de chemins de longueur n allant de -a à b.

Soit (Xn)n* une suite de variables indépendantes et identiquement distribuées selon la loi d’une variable X prenant ses valeurs dans {-1,1} avec P(X=1)=p (avec p]0;1[). Pour tout n*, on pose Sn=X1++Xn.

  • (c)

    Soient n* et b. Exprimer P(Sn=b) et vérifier

    P(S1S2Sn0,Sn=b)=|b|nP(Sn=b).
  • (d)

    En déduire

    P(S1S2Sn0)=1nE(|Sn|).

Solution

  • (a)

    Un chemin de longueur n est formé par le choix des valeurs ai-ai-1 égales à 1 ou -1. S’il y a k valeurs égales à 1, il y en a n-k égales à -1 et alors

    an-a0=i=1n(ai-ai-1)=k1+(n-k)(-1)=2k-n avec k0;n.

    Ainsi, il existe un chemin de longueur allant de a à b si, et seulement si, il existe k0;n tel que b-a=2k-n, c’est-à-dire si, et seulement si, n+b-a est un entier pair compris entre 0 et 2n. De plus, lorsque cette condition est remplie, un tel chemin est entièrement déterminé par le choix des k=12(n+b-a) indices i de 1;n pour lesquels ai-ai-1=1. Le nombre de chemins de longueur n allant de a à b est alors

    (nn+b-a2) pour n+b-a20;n
  • (b)

    Méthode: On fait se correspondre de façon bijective les chemins allant de a à b et passant par 0 avec ceux allant de -a à b: c’est le principe de réflexion.

    Considérons un chemin γ=(a0,a1,,an) allant de a à b passant par 0. Il existe au moins un indice j dans 1;n-1 tel que aj=0. Parmi ceux-ci, considérons le plus petit de sorte que aj=0 et ai>0 pour tout indice i<j. On transforme alors le chemin γ en γ=(-a0,-a1,,-aj-1,0,aj+1,,an) ce qui détermine un chemin de longueur n allant de -a à b. Réciproquement, un chemin de longueur n allant de -a à b passe nécessairement par 0 et si l’on introduit l’indice j du premier passage par 0, on transforme ce chemin de façon inverse à la démarche précédente en un chemin de longueur n allant de a à b et passant par 0.

    Par ces transformations bijectives réciproques l’une de l’autre, on obtient qu’il y a exactement autant de chemins de longueur n allant de a à b et passant par 0 que de chemins de longueur n allant de -a à b.

  • (c)

    Méthode: La suite (0,S1,,Sn) détermine un chemin de longueur n allant de 0 à b.

    Si 12(n+b) n’est pas élément de 0;n, il n’existe pas de chemins de longueur n allant de 0 à b: P(Sn=b)=0.

    Sinon, pour réaliser un chemin de longueur n allant de 0 à b, les variables X1,,Xn doivent prendre 12(n+b) fois la valeur 1 et 12(n-b) fois la valeur -1. Par indépendance de ces variables, la probabilité d’un tel chemin est pn+b2(1-p)n-b2 ce qui ne dépend pas du choix de ce chemin et donc11 1 On peut aussi obtenir cette formule en introduisant les variables de Bernoulli Yn=12(1+Xn) et en constatant que 12(n+Sn)=Y1++Yn suit alors une loi binomiale de paramètres n et p.

    P(Sn=b)=(nn+b2)p12(n+b)(1-p)12(n-b).

    Étudions ensuite la probabilité de l’événement (S1S2Sn0)(Sn=b) ce qui correspond à la réalisation d’un chemin de longueur n commençant en 0, terminant en b et qui ne repasse pas 0. Encore une fois, si 12(n+b) n’est pas élément de 0;n, cette probabilité est nulle et la formule voulue est vérifiée. Supposons désormais 12(n+b)0;n et poursuivons en discutant selon le signe de b.

    Cas: b>0. Un chemin convenable commence nécessairement avec X1=1 puis définit un chemin de longueur n-1 allant de 1 à b et ne passant pas par 0. Si b=n, aucun chemin de longueur n-1 allant de 1 à b=n ne peut passer par 0 et la formule proposée est vérifiée. Sinon, b est strictement inférieur à n et le nombre de ces chemins se déduit du nombre de chemins allant de -1 à b. On obtient

    (n-1n+b2-1)nombre de cheminsde longueur n-1de 1 à b-(n-1n+b2)nombre de cheminsde longueur n-1de -1 à b

    ce qui donne par les écritures factorielles des coefficients binomiaux

    (n-1)!(n+b2-1)!(n-b2)!-(n-1)!(n+b2)!(n-b2-1)!=(n-1)!(n+b2-n-b2)(n+b2)!(n-b2)!=bn(nn+b2).

    De plus, comme au-dessus, chacun de ces chemins a la même probabilité pn+b2(1-p)n-b2 et donc

    P(S1S2Sn0,Sn=b)=bn(nn+b2)pn+b2(1-p)n-b2=bnP(Sn=b).

    Cas: b<0. On peut reproduire le raisonnement précédent ou introduire les variables Yn=-Xn ce qui a pour effet d’échanger Sn en -Sn, b en -b et p en 1-p. On vérifie alors l’exactitude de la formule proposée.

    Cas: b=0. L’événement de (S1S2Sn0)(Sn=0) est impossible ce qui valide encore la formule.

  • (d)

    En notant Bn l’ensemble des valeurs prises par Sn, les événements (Sn=b) pour b parcourant Bn constituent un système complet et donc

    P(S1S2Sn0)=bBnP(S1S2Sn0,Sn=b)=bB|b|nP(Sn=b).

    Par la formule de transfert, on conclut

    P(S1S2Sn0)=1nE(|Sn|).

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Édité le 08-11-2019

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