Exercice 1 4581

On lance successivement deux dés équilibrés et l’on considère les événements:

	$A$	$= « La valeur du premier dé lancé est paire »,$
	$B$	$= « La valeur du second dé lancé est paire »,$
	$C$	$= « La somme des valeurs des deux dés est paire ».$

Vérifier que les événements $A$ , $B$ et $C$ sont deux à deux indépendants sans être indépendants.

Exercice 2 4583

Soient $A, B, C$ trois événements d’un espace probabilisé $(Ω, P)$ .

(a)

On suppose les événements $A$ , $B$ et $C$ indépendants. Montrer que les événements $A$ et $B \cup C$ sont indépendants.
(b)

On suppose $A$ et $B$ d’une part, $A$ et $C$ d’autre part, indépendants. Les événements $A$ et $B \cup C$ sont-ils assurément indépendants?

Exercice 3 3819 NAVALE (MP)

(Fonction indicatrice d’Euler¹¹ 1 Cette étude propose un calcul probabiliste des valeurs de la fonction indicatrice d’Euler.)

Soit $n$ un entier naturel supérieur à $2$ . On munit l’univers $Ω = ⟦ 1; n ⟧$ de la probabilité uniforme et, pour tout entier $d$ divisant $n$ , on introduit l’événement

A_{d} = {1 \leq k \leq n | d divise k} .

(a)

Calculer $P (A_{d})$ .

Soient $p_{1}, \dots, p_{r}$ les facteurs premiers $n$ .

(b)

Montrer que les événements $A_{p_{1}}, \dots, A_{p_{r}}$ sont indépendants.

On note

B = {1 \leq k \leq n | k et n sont premiers entre eux} .

Exercice 4 5215

Soient $A_{1}, \dots, A_{n}$ des événements indépendants.

Montrer que la probabilité qu’au moins l’un des $A_{i}$ soit réalisé est supérieure à

1 - \exp (- \sum_{i = 1}^{n} P (A_{i})) .

Exercice 5 4585

Soit $(Ω, P)$ un espace probabilisé.

(a)

Montrer que, si $A$ et $B$ sont deux événements indépendants, alors $A$ et $\bar{B}$ sont aussi indépendants.

Pour $ε = 1$ ou $- 1$ et $A$ un événement de $Ω$ , on note

A^{ε} = {\begin{matrix} A & si ε = 1 \\ \bar{A} & si ε = - 1 . \end{matrix}

(b)

Soient $n \geq 2$ et $A_{1}, \dots, A_{n}$ des événements indépendants de $(Ω, P)$ . Montrer que pour tout $(ε_{1}, \dots, ε_{n}) \in {- 1,1}^{n}$ , les événements $A_{1}^{ε_{1}}, \dots, A_{n}^{ε_{n}}$ sont indépendants.

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Édité le 29-08-2023

Famille d'événements indépendants