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Exercice 1  4581  

On lance successivement deux dés équilibrés et l’on considère les événements:

A =«  La valeur du premier dé lancé est paire  »,
B =«  La valeur du second dé lancé est paire  »,
C =«  La somme des valeurs des deux dés est paire  ».

Vérifier que les événements A, B et C sont deux à deux indépendants sans être mutuellement indépendants.

 
Exercice 2  4583  

Soient A,B,C trois événements d’un espace probabilisé (Ω,P).

  • (a)

    On suppose les événements A, B et C mutuellement indépendants. Montrer que les événements A et BC sont indépendants.

  • (b)

    On suppose A et B d’une part, A et C d’autre part, indépendants. Les événements A et BC sont-ils assurément indépendants?

 
Exercice 3  3819   

(Fonction indicatrice d’Euler11 1 Cette étude propose un calcul probabiliste des valeurs de la fonction indicatrice d’Euler présentée dans le .)

Soit n un entier naturel supérieur à 2. On munit l’univers Ω=1;n de la probabilité uniforme et, pour tout entier d divisant n, on introduit l’événement

Ad={1kn|d divise k}.
  • (a)

    Calculer P(Ad).

Soit p1,,pr les facteurs premiers n.

  • (b)

    Montrer que les événements Ap1,,Apr sont mutuellement indépendants.

On note

B={1kn|k et n sont premiers entre eux}.
  • (c)

    Montrer

    P(B)=i=1r(1-1pi).
 
Exercice 4  5215   

Soient A1,,An des événements mutuellement indépendants.

Montrer que la probabilité qu’au moins l’un des Ai soit réalisé est supérieure à

1-exp(-i=1nP(Ai)).
 
Exercice 5  4585    

Soit (Ω,P) un espace probabilisé.

  • (a)

    Montrer que, si A et B sont deux événements indépendants, alors A et B¯ sont aussi indépendants.

Pour ε=1 ou -1 et A un événement de Ω, on note

Aε={A si ε=1A¯ si ε=-1.
  • (b)

    Soient n2 et A1,,An des événements mutuellement indépendants de (Ω,P). Montrer que pour tout (ε1,,εn){-1,1}n, les événements A1ε1,,Anεn sont mutuellement indépendants.

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Édité le 08-11-2019

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