[>] Construction d'une probabilité

 
Exercice 1  4571  

Soient A, B et C trois événements d’un univers fini Ω.

  • (a)

    Exprimer en langage naturel les événements

    (i)  ABC¯  (ii)  (ABC)(ABC)  (iii)  (AB)(BC)(CA).

  • (b)

    Exprimer par les opérations ensemblistes les événements:

    (i)  «  Seul un des trois événements A, B ou C est réalisé11 1 On dit qu’un événement est réalisé si l’issue de l’expérience aléatoire lui appartient.  »;

    (ii)  «  Au plus deux des trois événements A, B ou C sont réalisés  ».

  • (c)

    Exprimer les propriétés:

    (i)  «  Si A est réalisé, aucun des événements B ou C ne l’est  »;

    (ii)  «  Lorsque A est réalisé, un et un seul des événements B ou C a lieu  ».

 
Exercice 2  4003  Correction  

Soient A,B,C trois évènements d’un espace probabilisable. Exprimer les évènements suivants:

  • (a)

    Aucun des évènements A,B ou C n’est réalisé.

  • (b)

    Un seul des trois évènements A,B ou C est réalisé.

  • (c)

    Au moins deux des trois évènements A,B ou C sont réalisés.

  • (d)

    Pas plus de deux des trois évènements A,B ou C sont réalisés.

Solution

  • (a)

    A¯B¯C¯.

  • (b)

    (AB¯C¯)(A¯BC¯)(A¯B¯C).

  • (c)

    (AB)(BC)(AC).

  • (d)

    ABC¯.

 
Exercice 3  4004   Correction  

Soient A,B,C trois évènements.

  • (a)

    Vérifier que (AB)C entraîne A(BC).

  • (b)

    À quelle condition sur A et C les deux évènements précédents sont-ils égaux?

Solution

  • (a)

    En développant

    (AB)C=(AC)(BC)A(BC).
  • (b)

    AC=A c’est-à-dire AC est une condition évidemment suffisante. Elle est aussi nécessaire car si

    (AB)C=A(BC)

    alors

    AA(BC)(AB)CC.

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Édité le 08-11-2019

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