[<] Probabilités conditionnelles [>] Formule de Bayes
Soient et deux événements d’un espace probabilisé.
On suppose . Établir
Solution
On a
Les événements et étant disjoints
Or et .
On tire successivement deux boules dans une urne contenant 7 boules blanches et 3 boules rouges.
Quelle est la probabilité que la première boule tirée soit rouge?
Quelle est la probabilité d’avoir tiré deux boules rouges?
Quelle est la probabilité que la seconde boule tirée soit rouge?
Quelle est la probabilité qu’au moins l’une des deux boules soit rouge?
La seconde boule tirée est rouge. Quelle est la probabilité que la première boule tirée le soit aussi?
Une urne contient 8 boules blanches et deux boules noires.
On tire sans remise et successivement 3 boules de cette urne.
Quelle est la probabilité que la troisième boule du tirage soit noire?
Solution
Notons l’événement la boule obtenue lors du -ème tirage est noire.
On introduit un système complet d’événements en considérant égaux à
Par la formule des probabilités totales,
Il ne reste plus qu’à évaluer…
et
et
Au final,
C’est aussi la probabilité que la première boule tirée soit noire et par un argument de symétrie ce n’est pas si étonnant…
Une pochette contient deux dés. L’un est parfaitement équilibré, mais le second donne un six une fois sur deux. On tire un dé au hasard de la pochette et on le lance une première fois. On obtient un six. Quelle est la probabilité d’obtenir un six au lancer suivant avec le même dé?
Solution
On introduit les événements
Le cadre hypothétique donne
On veut calculer
Les événements et forment un système complet d’événements. Par la formule des probabilités totales, on a
et aussi
donc
Une urne contient boules blanches et boules rouges.
On tire successivement et sans remise boules dans cette urne.
Déterminer la probabilité qu’au moins une boule rouge figure dans ce tirage.
Solution
Notons l’événement « Au moins une boule rouge figure dans le tirage ». L’événement contraire est « Le tirage est uniquement constituée de boule blanche ».
Introduisons l’événement « La -ème boule tirée est blanche ». On a
Par probabilités composées,
Chaque probabilité composée peut être calculée car la composition de l’urne est connue,
On a donc
Une urne contient boules blanches et boules rouges. On tire sans remise dans cette urne jusqu’à épuisement les boules contenues et, pour , on étudie les événements
Calculer pour .
En déduire l’identité
Solution
Pour , on introduit les événements
Pour , la probabilité de tirer pour la première fois une boule blanche lors du -ième tirage est
Par probabilités composées,
Les compositions d’urnes étant alors connues
On réécrit les produits d’entiers successifs à l’aide de quotient de nombres factoriels
Afin de reconnaître des coefficients binomiaux, on introduit dans le calcul
Les pour constituent un système complet d’événements: ils sont deux à deux incompatibles (par définition) et de réunion l’univers entier car une première boule blanche sera assurément tirée avant le -ième tirage. On a donc
ce qui entraîne la relation voulue.
Notons que l’identité demandée correspond à une réécriture11 1 Moyennant symétrie des coefficients binomiaux et changement d’indice de la somme de la relation
Cette dernière s’établit facilement par récurrence à l’aide de la formule du triangle de Pascal.
Une urne contient boules blanches et boules rouges. On tire sans remise dans cette urne jusqu’à épuisement les boules contenues et, pour , on étudie les événements
Calculer pour .
En déduire l’identité
Solution
Pour , on introduit les événements
Pour , la probabilité de tirer pour la première fois une boule blanche lors du -ème tirage est
Par probabilités composées,
Les compositions d’urnes étant alors connues
Par la même démarche et en discutant selon le rang lors duquel une première boule blanche est tirée, on obtient
On réécrit les produits d’entiers successifs à l’aide de quotient de nombres factoriels et l’on constate que les termes sommés sont identiques
On introduit artificiellement dans le calcul afin de reconnaître des coefficients binomiaux
Les pour constituent un système complet d’événements: ils sont deux à deux incompatibles (par définition) et de réunion l’univers entier car une deuxième boule blanche sera assurément tirée entre le deuxième et le -ième tirage. On a donc
ce qui entraîne la relation voulue.
Une succession d’individus se transmet une information binaire du type « oui » ou « non ».
Chaque individu transmet l’information qu’il a reçu avec la probabilité à l’individu ou la transforme en son inverse avec la probabilité . Chaque individu se comporte indépendamment des autres.
Calculer la probabilité pour que l’information reçue par soit identique à celle émise par .
On suppose . Quelle est la limite de quand tend vers l’infini?
Solution
On a et .
Supposons connu . Selon que émet la même information que ou non, on a par la formule des probabilités totales
La suite vérifie donc la relation de récurrence
Sachant la condition initiale , cette suite arithmético-géométrique a pour terme général
Si alors et donc .
Une lampe est éteinte dans une pièce lorsque survient une coupure d’électricité. Des individus pénètrent dans cette pièce et basculent plusieurs fois l’interrupteur en espérant que la lumière s’allume, sans succès… Quand l’électricité revient, quelle est la probabilité que la lumière soit allumée sachant que individus sont entrés dans la pièce et que chacun a la probabilité d’avoir repositionné l’interrupteur dans l’état où celui-ci figurait lorsqu’il est entré.
On lance indéfiniment une pièce qui donne pile avec la probabilité .
On note la probabilité que le nombre de piles obtenus lors des premiers lancers soit pair.
Calculer et .
Calculer pour tout .
Solution
On introduit
On a immédiatement
Par incompatibilité puis indépendance,
De même, on décrit
et l’on en déduit
La famille est un système complet d’événements. La formule des probabilités totales donne
Par translation de l’expérience,
On obtient donc la relation de récurrence
La suite est arithmético-géométrique de raison , de point fixe et de premier terme . On en déduit
Une urne contient boules numérotées de à . On tire avec remise boules dans cette urne et, pour tout , on introduit l’événement:
Soit . Interpréter l’événement .
Soit . Calculer et en déduire une expression de .
Soit . Exprimer la probabilité que l’on obtienne une boule tirée précédemment pour la première fois lors du -ième tirage.
Chaque jour, du lundi au vendredi, le professeur Zinzin a la probabilité d’égarer ses notes de cours en salle de classe. Peu lui importe car il improvise à chaque fois, mais ce vendredi soir il ne les retrouve plus et cela le contrarie car il s’y trouvait un dessin de sa fille Libi. Il est cependant certain de les avoir eues en sa possession le lundi matin. Quelle est la probabilité pour le professeur d’avoir perdu ses notes de cours le mercredi?
Un panier contient pommes rouges et pommes vertes. On pioche arbitrairement une pomme dans le panier et on la mange. On s’arrête quand il n’y a plus de pommes rouges. Vérifier que la probabilité que le panier soit alors vide vaut
Solution
Notons la probabilité que le panier soit vide à la fin du processus sachant qu’il était initialement constitué de pommes rouges et de pommes vertes. On a immédiatement
ce qui est conforme à la formule proposée.
On introduit l’événement:
Pour et ,
Par la formule des probabilités totales et les symétries du processus,
et donc
ce qui est à nouveau compatible avec la formule proposée.
En raisonnant par récurrence sur , on peut alors vérifier
Deux entreprises asiatiques produisent des « langues de belle-mère » en proportion égale. Cependant certaines sont défectueuses, dans la proportion pour la première entreprise, dans la proportion pour la seconde. Un client achète un sachet contenant articles. Il souffle dans une première et celle-ci fonctionne: le voilà prêt pour fêter le nouvel an!
Quelle est la probabilité pour qu’une seconde langue de belle-mère choisie dans le même sachet fonctionne?
Quelle est la probabilité que le sachet comporte articles fonctionnels (y compris le premier extrait)?
Solution
Notons l’évènement
« le sachet est produit dans l’entreprise d’indice ».
Notons l’évènement
« la première langue de belle-mère choisie dans le sachet est fonctionnelle »
Puisque les entreprises produisent en proportion égale
et par la formule des probabilités totales
puis
Notons l’évènement « la deuxième langue de belle-mère choisie dans le sachet est fonctionnelle » On veut calculer
Par la formule des probabilités totales
On peut supposer l’indépendance des défectuosités à l’intérieur d’une même usine et l’on obtient
On en déduit
Pour , notons l’évènement
On veut mesurer
Pour , cette probabilité est nulle car .
Pour
avec l’évènement
On peut mesurer la probabilité de ces évènements dès que l’on connaît l’usine de production
Par probabilités totales
et enfin
passagers montent successivement dans un avion. Le premier passager se trompe et choisit une place autre que la sienne. Les passagers suivants prennent leur place attitrée si disponible ou une place au hasard parmi les places disponibles sinon. Déterminer la probabilité que le dernier passage soit à sa place.
Solution
Notons la probabilité recherchée. On a immédiatement .
Introduisons les événements
Les événements et forment un système complet d’événements. Par la formule des probabilités totales,
Si le deuxième passager ne prend pas la place qui lui est attribuée, cela signifie que le premier passager l’occupait. Dans ce cas, le second passager choisit une place au hasard et l’expérience est analogue à celle qui serait conduite en supprimant le premier passager et en faisant entrer directement le second passager qui se trompe de place.
Si le deuxième passager prend sa place, on peut le retirer de l’expérience sans que cela ait d’incidence sur son déroulement. On en déduit
On réalise expériences de Bernoulli indépendantes.
Pour , la probabilité de succès de la -ième expérience vaut .
Déterminer la probabilité que le nombre total de succès obtenus soit pair.
Solution
Notons la probalité recherchée.
On remarque
Par la formule des probabilités totales en discutant selon la nature du la dernière expérience
Par récurrence, on valide la formule
(Urne de Pólya)
Une urne contient initialement boules blanches et boules rouges. On tire dans celle-ci une boule, on note sa couleur et on la remet accompagnée de boules de la même couleur. On réalise l’expérience fois (avec ).
Déterminer la probabilité que la boule obtenue soit blanche lors du -ième tirage.
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Édité le 08-12-2023
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