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Exercice 1  3831  Correction  

Soient A et B deux événements d’un espace probabilisé.
On suppose 0<P(B)<1. Établir

P(A)=P(AB)P(B)+P(AB¯)P(B¯).

Solution

On a

P(A)=P(A(BB¯))=P((AB)(AB¯)).

Les événements AB et AB¯ étant disjoints

P(A)=P(AB)+P(AB¯).

Or P(AB)=P(AB)P(B) et P(AB¯)=P(AB¯)P(B¯).

 
Exercice 2  4579  

On tire successivement deux boules dans une urne contenant 7 boules blanches et 3 boules rouges.

  • (a)

    Quelle est la probabilité que la première boule tirée soit rouge?

  • (b)

    Quelle est la probabilité d’avoir tiré deux boules rouges?

  • (c)

    Quelle est la probabilité que la seconde boule tirée soit rouge?

  • (d)

    Quelle est la probabilité qu’au moins l’une des deux boules soit rouge?

  • (e)

    La seconde boule tirée est rouge. Quelle est la probabilité que la première boule tirée le soit aussi?

 
Exercice 3  3842  Correction  

Une urne contient 8 boules blanches et deux boules noires.
On tire sans remise et successivement 3 boules de cette urne.
Quelle est la probabilité que la troisième boule du tirage soit noire?

Solution

Notons Ai l’événement la boule obtenue lors du i-ème tirage est noire.

On introduit un système complet d’événements en considérant B1,,B4 égaux à

A1A2,A1A¯2,A¯1A2 et A¯1A¯2.

Par la formule des probabilités totales,

P(A3)=k=14P(A3Bk)P(Bk).

Il ne reste plus qu’à évaluer…

P(A3B1)=0.

et

P(A3B2)=P(A3B3)=1/8 avec P(B2)=P(B3)=8/10×2/9

et

P(A3B4)=2/8 avec P(B4)=8/10×7/9.

Au final,

P(A3)=25×19+15×79=945=15.

C’est aussi la probabilité que la première boule tirée soit noire et par un argument de symétrie ce n’est pas si étonnant…

 
Exercice 4  4205  Correction  

Une pochette contient deux dés. L’un est parfaitement équilibré, mais le second donne un six une fois sur deux. On tire un dé au hasard de la pochette et on le lance une première fois. On obtient un six. Quelle est la probabilité d’obtenir un six au lancer suivant avec le même dé?

Solution

On introduit les événements

D =«  Le dé tiré est équilibré  »,
A =«  On obtient un six lors du premier lancer  »,
B =«  On obtient un six lors du second lancer  ».

Le cadre hypothétique donne

P(D)=12,P(AD)=P(BD)=16etP(AD¯)=P(BD¯)=12.

On veut calculer

P(BA)=P(AB)P(A).

Les événements D et D¯ forment un système complet d’événements. Par la formule des probabilités totales, on a

P(A)=P(AD)P(D)+P(AD¯)P(D¯)=1612+1212=13

et aussi

P(AB)=P(ABD)P(D)+P(ABD¯)P(D¯)=13612+1412=536

donc

P(BA)=512.
 
Exercice 5  3827   Correction  

Une succession d’individus A1,,An se transmet une information binaire du type «  oui  » ou «  non  ».
Chaque individu Ak transmet l’information qu’il a reçu avec la probabilité p à l’individu Ak+1 ou la transforme en son inverse avec la probabilité 1-p. Chaque individu se comporte indépendamment des autres.
Calculer la probabilité pn pour que l’information reçue par An soit identique à celle émise par A1.
On suppose 0<p<1. Quelle est la limite de pn quand n tend vers l’infini?

Solution

On a p1=1 et p2=p.
Supposons connu pn. Selon que An émet la même information que A1 ou non, on a par la formule des probabilités totales

pn+1=ppn+(1-p)(1-pn).

La suite (pn) vérifie donc la relation de récurrence

pn+1=(2p-1)pn+1-p.

Sachant la condition initiale p1=1, cette suite arithmético-géométrique a pour terme général

pn=1+(2p-1)n-12.

Si p]0;1[ alors |2p-1|<1 et donc pn1/2.

 
Exercice 6  4592   

Une lampe est éteinte dans une pièce lorsque survient une coupure d’électricité. Des individus pénètrent dans cette pièce et basculent plusieurs fois l’interrupteur en espérant que la lumière s’allume, sans succès… Quand l’électricité revient, quelle est la probabilité que la lumière soit allumée sachant que n individus sont entrés dans la pièce et que chacun a la probabilité p]0;1[ d’avoir repositionné l’interrupteur dans l’état où celui-ci figurait lorsqu’il est entré.

 
Exercice 7  5212   

Une urne contient n* boules numérotées de 1 à n. On tire avec remise n+1 boules dans cette urne et, pour tout k1;n+1, on introduit l’événement:

Ak=«  Lors du k-ième tirage, on obtient une boule déjà sortie précédemment  ».
  • (a)

    Soit k1;n+1. Interpréter l’événement Bk=A1Ak¯.

  • (b)

    Soit k1;n. Calculer P(Ak+1Bk) et en déduire une expression de P(Bk).

  • (c)

    Soit k2;n+1. Exprimer la probabilité que l’on obtienne pour la première fois lors du k-ième tirage une boule tirée précédemment.

 
Exercice 8  4591   

Chaque jour, du lundi au vendredi, le professeur Zinzin a la probabilité p]0;1[ d’égarer ses notes de cours en salle de classe. Peu lui importe car il improvise à chaque fois, mais ce vendredi soir il ne les retrouve plus et cela le contrarie car il s’y trouvait un dessin de sa fille Libi. Il est cependant certain de les avoir eues en sa possession le lundi matin. Quelle est la probabilité pour le professeur d’avoir perdu ses notes de cours le mercredi?

 
Exercice 9  4015   Correction  

Deux entreprises asiatiques produisent des «  langues de belle-mère  » en proportion égale. Cependant certaines sont défectueuses, dans la proportion p1 pour la première entreprise, dans la proportion p2 pour la seconde. Un client achète un sachet contenant n articles. Il souffle dans une première et celle-ci fonctionne: le voilà prêt pour fêter le nouvel an!

  • (a)

    Quelle est la probabilité pour qu’une seconde langue de belle-mère choisie dans le même sachet fonctionne?

  • (b)

    Quelle est la probabilité que le sachet comporte k articles fonctionnels (y compris le premier extrait)?

Solution

  • (a)

    Notons Ai l’évènement

    «  le sachet est produit dans l’entreprise d’indice i  ».

    Notons B1 l’évènement

    «  la première langue de belle-mère choisie dans le sachet est fonctionnelle  »

    Puisque les entreprises produisent en proportion égale

    P(A1)=P(A2)=1/2

    et par la formule des probabilités totales

    P(B1¯)=P(B1¯A1)P(A1)+P(B1¯A2)P(A2)=p1+p22

    puis

    P(B1)=(1-p1)+(1-p2)2.

    Notons B2 l’évènement «  la deuxième langue de belle-mère choisie dans le sachet est fonctionnelle  » On veut calculer

    P(B2B1)=P(B1B2)P(B1).

    Par la formule des probabilités totales

    P(B1B2)=P(B1B2A1)P(A1)+P(B1B2A2)P(A2).

    On peut supposer l’indépendance des défectuosités à l’intérieur d’une même usine et l’on obtient

    P(B1B2)=(1-p1)2+(1-p2)22.

    On en déduit

    P(B2B1)=(1-p1)2+(1-p2)2(1-p1)+(1-p2).
  • (b)

    Pour 0kn, notons Ck l’évènement

    «  le sachet contient k articles fonctionnels  ».

    On veut mesurer

    P(CkB1)=P(CkB1)P(B1).

    Pour k=0, cette probabilité est nulle car C0B1=.
    Pour k1;n-1

    CkB1=B1Dk-1

    avec Dk-1 l’évènement

    «  en dehors du premier article, le sachet contient k-1 articles fonctionnels  ».

    On peut mesurer la probabilité de ces évènements dès que l’on connaît l’usine de production

    P(B1Dk-1Ai)=(1-pi)(n-1k-1)(1-pi)k-1pin-k.

    Par probabilités totales

    P(B1Dk-1)=12(n-1k-1)((1-p1)kp1n-k+(1-p2)kp2n-k)

    et enfin

    P(CkB1)=(n-1k-1)((1-p1)kp1n-k+(1-p2)kp2n-k)(1-p1)+(1-p2).
 
Exercice 10  2417    

(Urne de Pólya)

Une urne contient initialement b boules blanches et r boules rouges. On tire dans celle-ci une boule, on note sa couleur et on la remet accompagnée de d boules de la même couleur. On réalise l’expérience n fois (avec n*).

Déterminer la probabilité que la boule obtenue soit blanche lors du n-ième tirage.

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Édité le 08-11-2019

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