Exercice 1 3831 Correction

Soient $A$ et $B$ deux événements d’un espace probabilisé.
On suppose $0 < P (B) < 1$ . Établir

P (A) = P (A ∣ B) P (B) + P (A ∣ \bar{B}) P (\bar{B}) .

Solution

On a

P (A) = P (A \cap (B \cup \bar{B})) = P ((A \cap B) \cup (A \cap \bar{B})) .

Les événements $A \cap B$ et $A \cap \bar{B}$ étant disjoints

P (A) = P (A \cap B) + P (A \cap \bar{B}) .

Or $P (A \cap B) = P (A ∣ B) P (B)$ et $P (A \cap \bar{B}) = P (A ∣ \bar{B}) P (\bar{B})$ .

Exercice 2 4579

On tire successivement deux boules dans une urne contenant 7 boules blanches et 3 boules rouges.

(a)

Quelle est la probabilité que la première boule tirée soit rouge?
(b)

Quelle est la probabilité d’avoir tiré deux boules rouges?
(c)

Quelle est la probabilité que la seconde boule tirée soit rouge?
(d)

Quelle est la probabilité qu’au moins l’une des deux boules soit rouge?
(e)

La seconde boule tirée est rouge. Quelle est la probabilité que la première boule tirée le soit aussi?

Exercice 3 3842 Correction

Une urne contient 8 boules blanches et deux boules noires.
On tire sans remise et successivement 3 boules de cette urne.
Quelle est la probabilité que la troisième boule du tirage soit noire?

Solution

Notons $A_{i}$ l’événement la boule obtenue lors du $i$ -ème tirage est noire.

On introduit un système complet d’événements en considérant $B_{1}, \dots, B_{4}$ égaux à

A_{1} \cap A_{2}, A_{1} \cap {\bar{A}}_{2}, {\bar{A}}_{1} \cap A_{2} et {\bar{A}}_{1} \cap {\bar{A}}_{2} .

Par la formule des probabilités totales,

P (A_{3}) = \sum_{k = 1}^{4} P (A_{3} ∣ B_{k}) P (B_{k}) .

Il ne reste plus qu’à évaluer…

P (A_{3} ∣ B_{1}) = 0 .

P (A_{3} ∣ B_{2}) = P (A_{3} ∣ B_{3}) = 1 / 8 avec P (B_{2}) = P (B_{3}) = 8 / 10 \times 2 / 9

P (A_{3} ∣ B_{4}) = 2 / 8 avec P (B_{4}) = 8 / 10 \times 7 / 9 .

Au final,

P (A_{3}) = \frac{2}{5} \times \frac{1}{9} + \frac{1}{5} \times \frac{7}{9} = \frac{9}{45} = \frac{1}{5} .

C’est aussi la probabilité que la première boule tirée soit noire et par un argument de symétrie ce n’est pas si étonnant…

Exercice 4 4205 Correction

Une pochette contient deux dés. L’un est parfaitement équilibré, mais le second donne un six une fois sur deux. On tire un dé au hasard de la pochette et on le lance une première fois. On obtient un six. Quelle est la probabilité d’obtenir un six au lancer suivant avec le même dé?

Solution

On introduit les événements

	$D$	$= « Le dé tiré est équilibré »,$
	$A$	$= « On obtient un six lors du premier lancer »,$
	$B$	$= « On obtient un six lors du second lancer ».$

Le cadre hypothétique donne

P (D) = \frac{1}{2}, P (A ∣ D) = P (B ∣ D) = \frac{1}{6} et P (A ∣ \bar{D}) = P (B ∣ \bar{D}) = \frac{1}{2} .

On veut calculer

P (B ∣ A) = \frac{P (A \cap B)}{P (A)} .

Les événements $D$ et $\bar{D}$ forment un système complet d’événements. Par la formule des probabilités totales, on a

P (A) = P (A ∣ D) P (D) + P (A ∣ \bar{D}) P (\bar{D}) = \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{3}

et aussi

P (A \cap B) = P (A \cap B ∣ D) P (D) + P (A \cap B ∣ \bar{D}) P (\bar{D}) = \frac{1}{36} \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} = \frac{5}{36}

donc

P (B ∣ A) = \frac{5}{12} .

Exercice 5 3827 Correction

Une succession d’individus $A_{1}, \dots, A_{n}$ se transmet une information binaire du type « oui » ou « non ».
Chaque individu $A_{k}$ transmet l’information qu’il a reçu avec la probabilité $p$ à l’individu $A_{k + 1}$ ou la transforme en son inverse avec la probabilité $1 - p$ . Chaque individu se comporte indépendamment des autres.
Calculer la probabilité $p_{n}$ pour que l’information reçue par $A_{n}$ soit identique à celle émise par $A_{1}$ .
On suppose $0 < p < 1$ . Quelle est la limite de $p_{n}$ quand $n$ tend vers l’infini?

Solution

On a $p_{1} = 1$ et $p_{2} = p$ .
Supposons connu $p_{n}$ . Selon que $A_{n}$ émet la même information que $A_{1}$ ou non, on a par la formule des probabilités totales

p_{n + 1} = p p_{n} + (1 - p) (1 - p_{n}) .

La suite $(p_{n})$ vérifie donc la relation de récurrence

p_{n + 1} = (2 p - 1) p_{n} + 1 - p .

Sachant la condition initiale $p_{1} = 1$ , cette suite arithmético-géométrique a pour terme général

p_{n} = \frac{1 + {(2 p - 1)}^{n - 1}}{2} .

Si $p \in] 0; 1 [$ alors $| 2 p - 1 | < 1$ et donc $p_{n} \to 1 / 2$ .

Exercice 6 4592

Une lampe est éteinte dans une pièce lorsque survient une coupure d’électricité. Des individus pénètrent dans cette pièce et basculent plusieurs fois l’interrupteur en espérant que la lumière s’allume, sans succès… Quand l’électricité revient, quelle est la probabilité que la lumière soit allumée sachant que $n$ individus sont entrés dans la pièce et que chacun a la probabilité $p \in] 0; 1 [$ d’avoir repositionné l’interrupteur dans l’état où celui-ci figurait lorsqu’il est entré.

Exercice 7 5212

Une urne contient $n \in ℕ^{*}$ boules numérotées de $1$ à $n$ . On tire avec remise $n + 1$ boules dans cette urne et, pour tout $k \in ⟦ 1; n + 1 ⟧$ , on introduit l’événement:

A_{k} = «  Lors du k -ième tirage, on obtient une boule déjà sortie précédemment  ».

(a)

Soit $k \in ⟦ 1; n + 1 ⟧$ . Interpréter l’événement $B_{k} = \bar{A_{1} \cup \dots \cup A_{k}}$ .
(b)

Soit $k \in ⟦ 1; n ⟧$ . Calculer $P (A_{k + 1} ∣ B_{k})$ et en déduire une expression de $P (B_{k})$ .
(c)

Soit $k \in ⟦ 2; n + 1 ⟧$ . Exprimer la probabilité que l’on obtienne pour la première fois lors du $k$ -ième tirage une boule tirée précédemment.

Exercice 8 4591

Chaque jour, du lundi au vendredi, le professeur Zinzin a la probabilité $p \in] 0; 1 [$ d’égarer ses notes de cours en salle de classe. Peu lui importe car il improvise à chaque fois, mais ce vendredi soir il ne les retrouve plus et cela le contrarie car il s’y trouvait un dessin de sa fille Libi. Il est cependant certain de les avoir eues en sa possession le lundi matin. Quelle est la probabilité pour le professeur d’avoir perdu ses notes de cours le mercredi?

Exercice 9 4015 Correction

Deux entreprises asiatiques produisent des « langues de belle-mère » en proportion égale. Cependant certaines sont défectueuses, dans la proportion $p_{1}$ pour la première entreprise, dans la proportion $p_{2}$ pour la seconde. Un client achète un sachet contenant $n$ articles. Il souffle dans une première et celle-ci fonctionne: le voilà prêt pour fêter le nouvel an!

(a)

Quelle est la probabilité pour qu’une seconde langue de belle-mère choisie dans le même sachet fonctionne?
(b)

Quelle est la probabilité que le sachet comporte $k$ articles fonctionnels (y compris le premier extrait)?

Solution

(a)

Notons $A_{i}$ l’évènement

«  le sachet est produit dans l’entreprise d’indice $i$   ».

Notons $B_{1}$ l’évènement

«  la première langue de belle-mère choisie dans le sachet est fonctionnelle  »

Puisque les entreprises produisent en proportion égale

$P (A_{1}) = P (A_{2}) = 1 / 2$

et par la formule des probabilités totales

$P (\bar{B_{1}}) = P (\bar{B_{1}} ∣ A_{1}) P (A_{1}) + P (\bar{B_{1}} ∣ A_{2}) P (A_{2}) = \frac{p_{1} + p_{2}}{2}$

puis

$P (B_{1}) = \frac{(1 - p_{1}) + (1 - p_{2})}{2} .$

Notons $B_{2}$ l’évènement «  la deuxième langue de belle-mère choisie dans le sachet est fonctionnelle  » On veut calculer

$P (B_{2} ∣ B_{1}) = \frac{P (B_{1} \cap B_{2})}{P (B_{1})} .$

Par la formule des probabilités totales

$P (B_{1} \cap B_{2}) = P (B_{1} \cap B_{2} ∣ A_{1}) P (A_{1}) + P (B_{1} \cap B_{2} ∣ A_{2}) P (A_{2}) .$

On peut supposer l’indépendance des défectuosités à l’intérieur d’une même usine et l’on obtient

$P (B_{1} \cap B_{2}) = \frac{{(1 - p_{1})}^{2} + {(1 - p_{2})}^{2}}{2} .$

On en déduit

$P (B_{2} ∣ B_{1}) = \frac{{(1 - p_{1})}^{2} + {(1 - p_{2})}^{2}}{(1 - p_{1}) + (1 - p_{2})} .$
(b)

Pour $0 \leq k \leq n$ , notons $C_{k}$ l’évènement

$« le sachet contient k articles fonctionnels ».$

On veut mesurer

$P (C_{k} ∣ B_{1}) = \frac{P (C_{k} \cap B_{1})}{P (B_{1})} .$

Pour $k = 0$ , cette probabilité est nulle car $C_{0} \cap B_{1} = \emptyset$ .
Pour $k \in ⟦ 1; n - 1 ⟧$

$C_{k} \cap B_{1} = B_{1} \cap D_{k - 1}$

avec $D_{k - 1}$ l’évènement

$« en dehors du premier article, le sachet contient k - 1 articles fonctionnels ».$

On peut mesurer la probabilité de ces évènements dès que l’on connaît l’usine de production

$P (B_{1} \cap D_{k - 1} ∣ A_{i}) = (1 - p_{i}) (\binom{n - 1}{k - 1}) {(1 - p_{i})}^{k - 1} p_{i}^{n - k} .$

Par probabilités totales

$P (B_{1} \cap D_{k - 1}) = \frac{1}{2} (\binom{n - 1}{k - 1}) ({(1 - p_{1})}^{k} p_{1}^{n - k} + {(1 - p_{2})}^{k} p_{2}^{n - k})$

et enfin

$P (C_{k} ∣ B_{1}) = \frac{(\binom{n - 1}{k - 1}) ({(1 - p_{1})}^{k} p_{1}^{n - k} + {(1 - p_{2})}^{k} p_{2}^{n - k})}{(1 - p_{1}) + (1 - p_{2})} .$

Exercice 10 2417

(Urne de Pólya)

Une urne contient initialement $b$ boules blanches et $r$ boules rouges. On tire dans celle-ci une boule, on note sa couleur et on la remet accompagnée de $d$ boules de la même couleur. On réalise l’expérience $n$ fois (avec $n \in ℕ^{*}$ ).

Déterminer la probabilité que la boule obtenue soit blanche lors du $n$ -ième tirage.

Formule des probabilités totales et composées