[<] Événements et langage ensembliste [>] Propriétés d'une probabilité

 
Exercice 1  4577  

Pour chacune des expériences qui suit, proposer un espace probabilisé (Ω,P) permettant de l’étudier.

  • (a)

    On tire successivement et sans remise six boules dans une urne contenant des boules numérotées de 1 à 49.

  • (b)

    On lance deux dés équilibrés.

  • (c)

    Dix individus prennent place sur dix chaises réparties autour d’une table.

  • (d)

    On lance une pièce équilibrée. Si celle-ci tombe du côté pile, on tire une boule dans une urne contenant une boule blanche et deux boules rouges. Sinon, on tire une boule dans une urne contant trois boules blanches et une boule rouge.

 
Exercice 2  3821  Correction  

Déterminer une probabilité sur Ω={1,2,,n} telle que la probabilité de l’événement {k} soit proportionnelle à k.

Solution

Par hypothèse, il existe α tel que P({k})=αk. Or par additivité

k=1nP({k})=P(Ω)=1

donc

α=2n(n+1).
 
Exercice 3  4578  

Soit n*. Déterminer une probabilité sur l’univers Ω={1,2,,n} telle que la probabilité de l’événement {1,2,,k} soit proportionnelle à k2.

 
Exercice 4  3823   

À quelle(s) condition(s) sur les réels x et y existe-t-il une probabilité P sur l’ensemble à 3 éléments Ω={a,b,c} vérifiant

P({a,b})=xetP({b,c})=y?
 
Exercice 5  3824   Correction  

Soient A,B deux parties d’un ensemble Ω fini vérifiant

AB,AB¯,A¯B et A¯B¯.

À quelle condition sur (a,b,c,d)]0;1[4 existe-t-il une probabilité P sur Ω vérifiant

P(AB)=a,P(AB¯)=b,P(BA)=c et P(BA¯)=d?

Solution

Soit P une probabilité solution. Posons

x=P(AB),y=P(AB¯),z=P(A¯B) et t=P(A¯B¯).

On a x,y,z,t0 et par additivité

x+y+z+t=P(A)+P(A¯)=1.

Inversement, si x,y,z,t sont quatre réels positifs de somme égale à 1, on peut déterminer une probabilité P sur Ω vérifiant les conditions ci-dessus: il suffit d’introduire un élément de chacun des ensembles disjoints AB, AB¯, A¯B et A¯B¯, de poser la probabilité de l’événement élémentaire associé égale à x,y,z et t respectivement, puis les probabilités des autres événements élémentaires égaux à 0.
Le problème revient alors à déterminer sous quelle condition, il existe x,y,z,t0 de somme égale à 1 tels que

P(AB)=a,P(AB¯)=b,P(BA)=c et P(BA¯)=d.

Par additivité

P(A)=x+y et P(B)=x+z.

On a alors P(AB)=a si, et seulement si, x=a(x+z).
De même, les autres conditions fournissent les équations

y=b(1-(x+z)),x=c(x+y) et z=d(1-(x+y))

ce qui nous conduit à un système linéaire de quatre équations et trois inconnues

{(1-a)x-az=0bx+y+bz=b(1-c)x-cy=0dx+dy+z=d.

Les trois premières équations conduisent à la solution

x=abca(1-c)+bc,y=ab(1-c)a(1-c)+bc et z=(1-a)bca(1-c)+bc

avec le dénominateur commun non nul car somme de quantités strictement positives.
La quatrième équation du système est alors vérifiée si, et seulement si,

ad(1-b)(1-c)=bc(1-a)(1-d).

La solution (x,y,z) alors obtenue vérifie x,y,z0 et x+y+z1 de sorte que l’on peut encore déterminer t0 tel que x+y+z+t=1.
Finalement, il existe une probabilité telle que voulue si, et seulement si,

ad(1-b)(1-c)=bc(1-a)(1-d)

ce qui, en divisant par abcd, peut encore s’énoncer

(1-1b)(1-1c)=(1-1a)(1-1d).

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Édité le 08-11-2019

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