[<] Construction d'une probabilité [>] Calcul de probabilités

 
Exercice 1  4582  

Soient A et B deux événements d’un espace probabilisé (Ω,P).

  • (a)

    On suppose AB. Démontrer P(A)P(B).

  • (b)

    On suppose AB=. Montrer P(A)1-P(B).

  • (c)

    On suppose P(A)=0,3, P(B)=0,5 et P(AB)=0,6. Calculer P(A¯B).

 
Exercice 2  3829  Correction  

Soient A et B deux événements d’un espace probabilisé.
Montrer

max{0,P(A)+P(B)-1}P(AB)min{P(A),P(B)}.

Solution

On a ABA donc P(AB)P(A) et de même P(AB)P(B) donc

P(AB)min{P(A),P(B)}.

Bien évidemment P(AB)0. De plus, P(AB)1 avec

P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB)

donc

P(AB)P(A)+P(B)-1

puis

max{0,P(A)+P(B)-1}P(AB).
 
Exercice 3  4050   

Soient P une probabilité sur un ensemble Ω et A,B deux événements de Ω. On pose

x=P(AB),y=P(AB¯),z=P(A¯B)ett=P(A¯B¯).
  • (a)

    Vérifier

    P(A)P(B)-P(AB)=yz-xt.
  • (b)

    En déduire

    |P(A)P(B)-P(AB)|14.
 
Exercice 4  4589    
  • (a)

    Soient A1,,An des événements d’un espace probabilisé (Ω,P). Montrer

    P(i=1nAi)i=1nP(Ai)-1i<jnP(AiAj).
  • (b)

    Montrer que la probabilité qu’un Valet côtoie une Dame dans un jeu mélangé de cinquante-deux cartes est supérieure à 0,47.

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Édité le 08-11-2019

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