Exercice 1 4582

Soient $A$ et $B$ deux événements d’un espace probabilisé $(Ω, P)$ .

(a)

On suppose $A \subset B$ . Démontrer $P (A) \leq P (B)$ .
(b)

On suppose $A \cap B = \emptyset$ . Montrer $P (A) \leq 1 - P (B)$ .
(c)

On suppose $P (A) = 0,3$ , $P (B) = 0,5$ et $P (A \cup B) = 0,6$ . Calculer $P (\bar{A} \cup B)$ .

Exercice 2 3829 Correction

Soient $A$ et $B$ deux événements d’un espace probabilisé.
Montrer

\max {0, P (A) + P (B) - 1} \leq P (A \cap B) \leq \min {P (A), P (B)} .

Solution

On a $A \cap B \subset A$ donc $P (A \cap B) \leq P (A)$ et de même $P (A \cap B) \leq P (B)$ donc

P (A \cap B) \leq \min {P (A), P (B)} .

Bien évidemment $P (A \cap B) \geq 0$ . De plus, $P (A \cup B) \leq 1$ avec

P (A \cup B) = P (A) + P (B) - P (A \cap B)

donc

P (A \cap B) \geq P (A) + P (B) - 1

puis

\max {0, P (A) + P (B) - 1} \leq P (A \cap B) .

Exercice 3 4050

Soient $P$ une probabilité sur un ensemble $Ω$ et $A$ , $B$ deux événements de $Ω$ . On pose

x = P (A \cap B), y = P (A \cap \bar{B}), z = P (\bar{A} \cap B) et t = P (\bar{A} \cap \bar{B}) .

(a)

Vérifier

$P (A) P (B) - P (A \cap B) = y z - x t .$
(b)

En déduire

$| P (A) P (B) - P (A \cap B) | \leq \frac{1}{4} .$

Exercice 4 4589

(a)

Soient $A_{1}, \dots, A_{n}$ des événements d’un espace probabilisé $(Ω, P)$ . Montrer

$P (⋃_{i = 1}^{n} A_{i}) \geq \sum_{i = 1}^{n} P (A_{i}) - \sum_{1 \leq i < j \leq n} P (A_{i} \cap A_{j}) .$
(b)

Montrer que la probabilité qu’un Valet côtoie une Dame dans un jeu mélangé de cinquante-deux cartes est supérieure à $0,47$ .

Exercice 5 5739 Correction

Soit $(A_{1}, \dots, A_{n})$ une famille d’événements d’un espace probabilisé $(Ω, 𝒜, P)$ .

Pour $n \in ℕ^{*}$ , on note $I_{n}$ l’ensemble des multiplets $(B_{1}, \dots, B_{n})$ avec $B_{i} = A_{i}$ ou $B_{i} = \bar{A_{i}}$ pour $i = 1, \dots, n$ .

Vérifier

\sum_{(B_{1}, \dots, B_{n}) \in I_{n}} P (B_{1} \cup \dots \cup B_{n}) = 2^{n} - 1 .

Solution

On raisonne par récurrence sur $n \in ℕ^{*}$ .

Pour $n = 1$ , considérons $A_{1}$ un événement. On a $I_{1} = {A_{1}, \bar{A_{1}}}$ et donc

\sum_{B_{1} \in I_{1}} P (B_{1}) = P (A_{1}) + P (\bar{A_{1}}) = 1 = 2^{n} - 1 .

Supposons la propriété établie au rang $n \geq 1$ .

Soit $(A_{1}, \dots, A_{n}, A_{n + 1})$ une famille d’événements. En discutant selon que $B_{n + 1} = A_{n + 1}$ ou $\bar{A_{n + 1}}$ ,

	$\sum_{(B_{1}, \dots, B_{n}, B_{n + 1}) \in I_{n + 1}} P (B_{1} \cup \dots \cup B_{n} \cup B_{n + 1})$	$= \sum_{(B_{1}, \dots, B_{n}) \in I_{n}} P (B_{1} \cup \dots \cup B_{n} \cup A_{n + 1})$
		$+ \sum_{(B_{1}, \dots, B_{n}) \in I_{n}} P (B_{1} \cup \dots \cup B_{n} \cup \bar{A_{n + 1}}) .$

Pour $C = B_{1} \cup \dots \cup B_{n}$ ,

P (C \cup A_{n + 1}) + P (C \cup \bar{A_{n + 1}}) = 2 P (C) + P (A_{n + 1}) + P (\bar{A_{n + 1}}) - P (C \cap A_{n + 1}) - P (C \cap \bar{A_{n + 1}}) .

Or, par incompatibilité,

P (C \cap A_{n + 1}) + P (C \cap \bar{A_{n + 1}}) = P ((C \cap A_{n + 1}) \cup (C \cap \bar{A_{n + 1}})) = P (C)

et donc

P (C \cup A_{n + 1}) + P (C \cup \bar{A_{n + 1}}) = P (C) + 1 .

On en déduit

\sum_{(B_{1}, \dots, B_{n}, B_{n + 1}) \in I_{n + 1}} P (B_{1} \cup \dots \cup B_{n} \cup B_{n + 1}) = \sum_{(B_{1}, \dots, B_{n}) \in I_{n}} (P (B_{1} \cup \dots \cup B_{n}) + 1) .

En employant l’hypothèse de récurrence et en remarquant que la somme contient $2^{n}$ termes, on conclut

\sum_{(B_{1}, \dots, B_{n}, B_{n + 1}) \in I_{n + 1}} P (B_{1} \cup \dots \cup B_{n} \cup B_{n + 1}) = 2^{n} - 1 + 2^{n} = 2^{n + 1} - 1 .

La récurrence est établie.

[<] Construction d'une probabilité [>] Calcul de probabilités

Édité le 29-08-2023

Propriétés d'une probabilité