[<] Famille d'événements mutuellement indépendants [>] Formule des probabilités totales et composées

 
Exercice 1  4012  Correction  

Soient A,B,C trois évènements avec P(BC)>0. Vérifier

P(ABC)P(BC)=P(ABC).

Solution

On a

P(ABC)P(BC)=P(ABC)P(BC)P(BC)P(C)=P(ABC).
 
Exercice 2  3361  Correction  

Soient A et B deux évènements avec P(A)>0. Comparer les probabilités conditionnelles

P(ABAB)etP(ABA).

Solution

Puisque AAB, on a P(AB)P(A) puis

P(AB)P(AB)P(AB)P(A).

c’est-à-dire

P(ABAB)P(ABA).
 
Exercice 3  3841  Correction  

Une urne contient 8 boules blanches et deux boules noires.
On tire sans remise et successivement 3 boules de cette urne.

  • (a)

    Quelle est la probabilité qu’au moins une boule noire figure à l’intérieur du tirage?

  • (b)

    Sachant qu’une boule noire figure dans le tirage. Quelle est la probabilité que la première boule tirée soit noire?

Solution

  • (a)

    L’évènement contraire est que le tirage ne comporte que des boules blanches. Par dénombrement, sa probabilité est

    (83)/(103)=715

    et la probabilité cherchée est

    1-715=815.
  • (b)

    Notons A l’événement, la première boule tirée est noire. En raisonnant comme au dessus

    P(A)=9×8+9×810×9×8=15.

    L’événement B, au moins une boule tirée est noire a été mesurée ci-dessus et donc

    P(AB)=P(AB)P(B)=P(A)P(B)=38.
 
Exercice 4  3955   Correction  

Cinq cartes d’un jeu de cinquante deux cartes sont servies à un joueur de Poker.

  • (a)

    Quelle est la probabilité que celle-ci comporte exactement une paire d’As?

  • (b)

    Même question sachant que le jeu distribué comporte au moins un As?

Solution

  • (a)

    Il y a (525) distributions possibles équiprobables.
    Il y a exactement (42) paires d’As, (483) façons de compléter ce jeu avec d’autres cartes que des As.
    Au final, ce la donne la probabilité

    (42)(483)(525)=2162541450,04.
  • (b)

    La probabilité que le jeu distribué ne comporte pas d’As est

    (485)(525)

    et par complément, celle que le jeu distribué comporte au moins un As est

    1-(485)(525).

    La probabilité conditionnelle cherchée est donc

    (42)(483)(525)-(485)=108192360,12.
 
Exercice 5  3954   

(Paradoxe des deux enfants)

Une famille a deux enfants.

  • (a)

    Quelle est la probabilité que les deux soient des garçons?

  • (b)

    Quelle est cette probabilité sachant que l’aîné est un garçon?

  • (c)

    On sait qu’au moins l’un des enfants est un garçon, quelle est la probabilité que les deux le soient?

  • (d)

    On sait que l’un des deux enfants est un garçon et qu’il est né un 29 février. Quelle est la probabilité que l’autre enfant soit aussi un garçon?

 
Exercice 6  4590   

Dans une commode à 7 tiroirs figure un billet de 1 dollar avec la probabilité p. Céline a exploré sans succès les six premiers tiroirs. Quelle est la probabilité qu’elle découvre le billet dans le septième tiroir?

 
Exercice 7  3826   Correction  

On considère N coffres. Avec une probabilité p, un trésor à été placé dans l’un de ces coffres, chaque coffre pouvant être choisi de façon équiprobable. On a ouvert N-1 coffres sans trouver le trésor. Quelle est la probabilité pour qu’il figure dans le dernier coffre?

Solution

Considérons l’événement A: un trésor est placé dans l’un des coffres. Par hypothèse

P(A)=p.

Considérons l’événement Ai: un trésor est placé dans le coffre d’indice i. Par hypothèse P(Ai)=P(Aj) et puisque les événements Ai sont deux à deux incompatibles

P(Ai)=p/N.

La question posée consiste à déterminer

P(ANA¯1A¯N-1).

On a

P(A¯1A¯N-1)=1-P(A1AN-1)=1-N-1Np

et

P(ANA¯1A¯N-1)=P(AN)=pN

donc

P(ANA¯1A¯N-1)=pN-(N-1)p.
 
Exercice 8  3828   

(Loi des successions de Laplace)

On dispose de N+1 urnes numérotées de 0 à N. L’urne de numéro k contient k boules blanches et N-k boules rouges. On choisit une urne au hasard, chaque choix étant équiprobable. Dans l’urne choisie, on tire des boules avec remise.

  • (a)

    Soit n. Quelle est la probabilité que la (n+1)-ième boule tirée soit blanche sachant que les n précédentes le sont toutes?

  • (b)

    Que devient cette probabilité lorsque N tend vers l’infini?

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Édité le 08-11-2019

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