[<] Calcul de probabilités [>] Couples d'événements indépendants
On considère des dés équilibrés. Lequel des événements qui suivent est le plus probable?
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On dispose boules à l’intérieur de urnes (avec ), chaque urne pouvant contenir plusieurs boules.
Les répartitions possibles sont équiprobables.
Déterminer la probabilité de l’évènement:
Déterminer la probabilité de l’évènement:
Solution
En discernant les boules et les urnes, chaque tirage se comprend comme une application de vers associant à la boule d’indice l’urne de numéro qui la contient.
Il y a répartitions possible.
La probabilité cherchée correspond à celle de choisir une fonction injective soit
La probabilité cherchée est complémentaire de la précédente
Combien de fois faut-il lancer un dé équilibré pour avoir au moins une chance sur deux d’obtenir un six?
Même question avec deux dés pour obtenir un double-six.
Solution
La probabilité de ne pas obtenir de 6 lors de lancers est . Il s’agit donc ici de trouver le plus petit pour lequel . On obtient .
On veut et l’on obtient .
Deux joueurs s’affrontent aux dés. Le premier joueur lance deux dés et s’il obtient six, il gagne la partie. Sinon, c’est au second joueur de lancer deux dés et s’il obtient sept, c’est lui qui a gagné. Si aucun des joueurs n’a gagné, ils rejouent. Le premier joueur a l’avantage de commencer alors que le second a l’avantage qu’il est plus facile d’obtenir sept que six. Lequel des deux joueurs a le plus de chance de gagner?
Solution
La probabilité d’obtenir un six en lançant deux dés vaut alors que celle d’obtenir sept est de . Lors d’un tour de jeu, pour que le premier joueur gagne, il lui d’obtenir immédiatement six. Sa probabilité de victoire est donc simplement de
Pour que le second joueur gagne, il faut qu’il fasse sept sans que son adversaire ait fait six au préalable. Sa probabilité de victoire est
La situation du second joueur est préférable.
Une urne contient des boules numérotées de 1 à 10. On tire, sans remise, trois boules dans cette urne.
Quelle est la probabilité d’obtenir des numéros en ordre croissant?
Même question pour un tirage avec remise et des numéros en ordre strictement croissant.
Même question pour un tirage avec remise et des numéros en ordre croissant au sens large.
Solution
Pour chaque tirage faisant apparaître les nombres dans le bon ordre, il y en a 5 autres où ces mêmes nombres apparaissent dans le désordre. La probabilité recherchée est donc égale à .
Un tirage s’apparente à une fonction de vers . Il y a fonctions toutes équiprobables. Parmi celles-ci, on recherche les fonctions strictement croissantes. Celles-ci sont simplement déterminées par les 3 valeurs distinctes qu’elles prennent qu’il suffit ensuite d’ordonner. Déterminer ces trois valeurs revient à choisir 3 éléments dans un ensemble à 10 éléments, il y a possibilités. La probabilité recherchée vaut donc
Il s’agit maintenant de dénombrer les fonctions croissantes de vers . À une telle fonction , on peut associer la fonction déterminée par
La fonction étant croissante, la fonction est strictement croissante. Inversement, à une fonction strictement croissante de vers correspond une unique fonction croissante de vers . Il y a donc autant de fonctions croissantes de vers que de fonctions strictement croissantes de vers à savoir . La probabilité recherchée vaut donc
Une urne contient boules distinctes. On prélève dans cette urne une poignée constituée d’un certain nombre de boules de sorte que toutes les composition soient équiprobables.
Après un premier tirage, on remet les boules dans l’urne et l’on procède à un second tirage.
Quelle est la probabilté que les deux tirages comportent une boule en commun?
Solution
Introduisons les événements:
Calculons la probabilité de .
La famille des pour est un système complet d’événements. Par la formule des probabilités totales,
Lors du premier tirage dans l’urne, il y a résultats équiprobables possibles. Parmi ceux-ci, il y en a pour lequel le tirage comporte boules. On en déduit
Lors du second tirage dans l’urne, il y a encore résultats équiprobables possibles. Si le premier tirage comporte éléments, il y a second tirages possibles n’ayant pas d’éléments commun avec le premier. On en déduit
Par la formule du binôme de Newton,
Finalement,
On répartit au hasard les entiers de à dans une matrice carrée de taille .
Calculer la probabilité que le déterminant de cette matrice soit un nombre impair.
Solution
Méthode: On étudie le déterminant modulo .
Notons la matrice formée. Son déterminant est défini par la formule
Celui-ci est un nombre entier et il s’agit d’un entier impair si, et seulement si, il vaut modulo . Le calcul du déterminant étant compatible avec le calcul en congruence modulo , le problème est alors de savoir quelles sont les matrices dont le déterminant vaut modulo parmi les matrices dont les coefficients sont constitués par quatre et cinq (car il y a quatre nombres pairs et cinq nombres impairs entre et ).
Une telle matrice peut avoir une colonne comportant trois et deux colonnes comportant chacune un seul (type ) ou bien deux colonnes comportant deux et une colonne comportant un seul (type ).
Les matrices de type sont au nombre de
car elles s’obtiennent en choisissant la colonne contenant trois ( possibilités), la position du dans la première des deux colonnes restantes ( possibilités) et la position du dernier dans la dernière colonne sur une ligne différente de celle précédemment occupées11 1 Cela est nécessaire sans quoi la matrice n’est pas inversible. Inversement, le déterminant d’une telle matrice vaut alors ou . ( possibilités).
Les matrices du type sont au nombre de
car elles s’obtiennent en choisissant la colonne qui ne contient qu’un seul ( possibilités), la position de ce ( possibilités), la position du dans la première des colonnes qui contient deux ( possibilités) et la position du dans l’autre colonne à une position différente de la précédente22 2 Une matrice inversible est nécessairement de cette forme et inversement une telle matrice est de déterminant . ( possibilités).
Au total, il y a matrices possibles formées de quatre et de cinq dont le déterminant vaut modulo . Il y a un total de matrices de cette forme possibles et donc une probabilité de
qu’une matrice constituée de quatre et de cinq soit de déterminant égal à modulo .
Enfin, puisque chaque matrice constituée de quatre et de cinq possède le même nombre d’antécédents (à savoir ) parmi les matrices formées des entiers allant de à , la probabilité que le déterminant d’une telle matrice soit impair vaut aussi .
Soit . À chaque suite finie élément de , on associe la suite avec
La suite détermine une ligne brisée articulée autour des points de coordonnées avec allant de à . On dit que cette ligne brisée détermine un chemin allant de à en étapes.
Soient et . Combien existe-t-il de chemins allant de à en étapes?
On suppose . Expliquer pourquoi il y a autant de chemins joignant à en étapes que de chemins joignant à en étapes et coupant l’axe des abscisses.
Application : À une élection opposant deux candidats, l’un l’emporte avec voix contre pour l’autre. Quelle est la probabilité que le candidat vainqueur ait été majoritaire (au sens large) tout au long du dépouillement?
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Édité le 29-08-2023
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