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Exercice 1  4586  

On considère des dés équilibrés. Lequel des événements qui suivent est le plus probable?

  • (a)

    A=«  Ne pas obtenir de 𝑢𝑛 ni de 𝑠𝑖𝑥 en 2 lancers  ».

  • (b)

    B=«  Obtenir un 𝑠𝑖𝑥 en moins de 4 lancers  ».

  • (c)

    C=«  Obtenir un double-six en moins de 24 lancers de deux dés  ».

  • (d)

    D=«  Obtenir toutes les valeurs de 𝑢𝑛 à 𝑠𝑖𝑥 en moins de 8 lancers  ».

 
Exercice 2  3957  Correction  

On dispose r boules à l’intérieur de n urnes (avec rn), chaque urne pouvant contenir plusieurs boules.
Les répartitions possibles sont équiprobables.

  • (a)

    Déterminer la probabilité de l’évènement:

    A=«  chaque urne contient au plus une boule  ».
  • (b)

    Déterminer la probabilité de l’évènement:

    B=«  il existe une urne contenant au moins deux boules  ».

Solution

En discernant les boules et les urnes, chaque tirage se comprend comme une application φ de {1,,r} vers {1,,n} associant à la boule d’indice i l’urne de numéro φ(i) qui la contient.
Il y a nr répartitions possible.

  • (a)

    La probabilité cherchée correspond à celle de choisir une fonction φ injective soit

    P(A)=n×(n-1)×(n-r+1)nr.
  • (b)

    La probabilité cherchée est complémentaire de la précédente

    P(B)=1-P(A).
 
Exercice 3  3958   Correction  
  • (a)

    Combien de fois faut-il lancer un dé équilibré pour avoir au moins une chance sur deux d’obtenir un «  six   »?

  • (b)

    Même question avec deux dés pour obtenir un «  double-six   »

Solution

  • (a)

    La probabilité de ne pas obtenir de 6 lors de k lancers est (5/6)k. Il s’agit donc ici de trouver le plus petit k pour lequel (5/6)k1/2. On obtient k=4.

  • (b)

    On veut (35/36)k<1/2 et l’on obtient k=25.

 
Exercice 4  5344   Correction  

Deux joueurs s’affrontent aux dés. Le premier joueur lance deux dés et s’il obtient six, il gagne la partie. Sinon, c’est au second joueur de lancer deux dés et s’il obtient sept, c’est lui qui a gagné. Si aucun des joueurs n’a gagné, ils rejouent. Le premier joueur a l’avantage de commencer alors que le second a l’avantage qu’il est plus facile d’obtenie sept que six. Lequel des deux joueurs a le plus de chance de gagner?

Solution

La probabilité d’obtenir un six en lançant deux dés vaut p1=5/36 alors que celle d’obtenir sept est de p2=7/36. Lors d’un tour de jeu, pour que le premier joueur gagne, il lui d’obtenir immédiatement six. Sa probabilité de victoire est donc simplement de

5360.139 à 10-3 près.

Pour que le second joueur gagne, il faut qu’il fasse sept sans que son adversaire ait fait six au préalable. Sa probabilité de victoire est

(1-536)736=21712960.167 à 10-3 près.

La situation du second joueur est préférable.

 
Exercice 5  4120   Correction  

Une urne contient des boules numérotées de 1 à 10. On tire, sans remise, trois boules dans cette urne.

  • (a)

    Quelle est la probabilité d’obtenir des numéros en ordre croissant?

  • (b)

    Même question pour un tirage avec remise et des numéros en ordre strictement croissant.

  • (c)

    Même question pour un tirage avec remise et des numéros en ordre croissant au sens large.

Solution

  • (a)

    Pour chaque tirage faisant apparaître les nombres a,b,c dans le bon ordre, il y en a 5 autres où ces mêmes nombres apparaissent dans le désordre. La probabilité recherchée est donc égale à 1/6.

  • (b)

    Un tirage s’apparente à une fonction de 1;3 vers 1;10. Il y a 103 fonctions toutes équiprobables. Parmi celles-ci, on recherche les fonctions strictement croissantes. Celles-ci sont simplement déterminées par les 3 valeurs distinctes qu’elles prennent qu’il suffit ensuite d’ordonner. Déterminer ces trois valeurs revient à choisir 3 éléments dans un ensemble à 10 éléments, il y a (103) possibilités. La probabilité recherchée vaut donc

    (103)103=12100.
  • (c)

    Il s’agit maintenant de dénombrer les fonctions croissantes de 1;3 vers 1;10. À une telle fonction f, on peut associer la fonction g:1;31;12 déterminée par

    g(1)=f(1),g(2)=f(2)+1 et g(3)=f(3)+2.

    La fonction f étant croissante, la fonction g est strictement croissante. Inversement, à une fonction g strictement croissante de 1;3 vers 1;12 correspond une unique fonction f croissante de 1;3 vers 1;10. Il y a donc autant de fonctions croissantes de 1;3 vers 1;10 que de fonctions strictement croissantes de 1;3 vers 1;12 à savoir (123). La probabilité recherchée vaut donc

    (123)103=22100.
 
Exercice 6  5340    Correction  

On répartit au hasard les entiers de 1 à 9 dans une matrice carrée de taille 3.

Calculer la probabilité que le déterminant de cette matrice soit un nombre impair.

Solution

Méthode: On étudie le déterminant modulo 2.

Notons A=(ai,j)3() la matrice formée. Son déterminant est défini par la formule

det(A)=σ𝒮3ε(σ)i=13aσ(i),i.

Celui-ci est un nombre entier et il s’agit d’un entier impair si, et seulement si, il vaut 1 modulo 2. Le calcul du déterminant étant compatible avec le calcul en congruence modulo 2, le problème est alors de savoir quelles sont les matrices dont le déterminant vaut 1 modulo 2 parmi les matrices dont les coefficients sont constitués par quatre 0 et cinq 1 (car il y a quatre nombres pairs et cinq nombres impairs entre 1 et 9).

Une telle matrice peut avoir une colonne comportant trois 1 et deux colonnes comportant chacune un seul 1 (type I) ou bien deux colonnes comportant deux 1 et une colonne comportant un seul 1 (type II).

Les matrices de type I sont au nombre de

3×3×2=18

car elles s’obtiennent en choisissant la colonne contenant trois 1 (3 possibilités), la position du 1 dans la première des deux colonnes restantes (3 possibilités) et la position du dernier 1 dans la dernière colonne sur une ligne différente de celle précédemment occupées11 1 Cela est nécessaire sans quoi la matrice n’est pas inversible. Inversement, le déterminant d’une telle matrice vaut alors 1 ou -1. (2 possibilités).

Les matrices du type II sont au nombre de

3×3×3×2=54

car elles s’obtiennent en choisissant la colonne qui ne contient qu’un seul 1 (3 possibilités), la position de ce 1 (3 possibilités), la position du 0 dans la première des colonnes qui contient deux 1 (3 possibilités) et la position du 0 dans l’autre colonne à une position différente de la précédente22 2 Une matrice inversible est nécessairement de cette forme et inversement une telle matrice est de déterminant ±1. (2 possibilités).

Au total, il y a 72 matrices possibles formées de quatre 0 et de cinq 1 dont le déterminant vaut 1 modulo 2. Il y a un total de (95) matrices de cette forme possibles et donc une probabilité de

72(95)=47

qu’une matrice constituée de quatre 0 et de cinq 1 soit de déterminant égal à 1 modulo 2.

Enfin, puisque chaque matrice constituée de quatre 0 et de cinq 1 possède le même nombre d’antécédents (à savoir 4!×5!) parmi les matrices formées des entiers allant de 1 à 9, la probabilité que le déterminant d’une telle matrice soit impair vaut aussi 4/7.

 
Exercice 7  4593    

Soit n*. À chaque suite finie x=(x1,,xn) élément de {-1,1}n, on associe la suite s=(s0,,sn) avec

s0etsk=sk-1+xk pour k1;n.

La suite s détermine une ligne brisée articulée autour des points de coordonnées (k,sk) avec k allant de 0 à n. On dit que cette ligne brisée détermine un chemin allant de s0 à sn en n étapes.

  • (a)

    Soient et m. Combien existe-t-il de chemins allant de à m en n étapes?

  • (b)

    On suppose ,m. Expliquer pourquoi il y a autant de chemins joignant - à m en n étapes que de chemins joignant à m en n étapes et coupant l’axe des abscisses.

  • (c)

    Application: À une élection opposant deux candidats, l’un l’emporte avec 42 voix contre 24 pour l’autre. Quelle est la probabilité que le candidat vainqueur ait été majoritaire (au sens large) tout au long du dépouillement?

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Édité le 08-11-2019

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