[<] Formule des probabilités totales et composées

 
Exercice 1  3962  Correction  

Une pochette contient deux dés. L’un est parfaitement équilibré, mais le second donne un «  six  » une fois sur deux (les autres faces étant supposées équilibrées).
On tire au hasard un dé la pochette et on le lance.

  • (a)

    On obtient un «  six  ». Quelle est la probabilité que le dé tiré soit équilibré?

  • (b)

    Au contraire, on a obtenu un «  cinq  ». Même question.

Solution

  • (a)

    Notons D l’évènement le dé tiré est équilibré et A l’évènement: on a obtenu un «  six  »

    P(D)=P(D¯)=1/2,P(AD)=1/6 et P(AD¯)=1/2.

    Par la formule de Bayes

    P(DA)=P(AD)P(D)P(A)

    avec par la formule des probabilités totales

    P(A)=P(AD)P(D)+P(AD¯)P(D¯).

    On obtient

    P(DA)=14.
  • (b)

    Notons B l’évènement: on a obtenu un «  cinq  » Par des calculs analogues aux précédents

    P(DB)=16×12112+12×110=58.
 
Exercice 2  3820  Correction  

Dans une population, une personne sur 10 000 souffre d’une pathologie. Un laboratoire pharmaceutique met sur le marché un test sanguin. Celui-ci est positif chez 99 % des malades mais aussi faussement positif chez 0,1 % des personnes non atteintes. Un individu passe ce test et obtient un résultat positif.
Quelle est sa probabilité d’être malade? Qu’en conclure?

Solution

Notons Ω la population, M le sous-ensemble constitué des individus malades et T celui constitué des individus rendant le test positif. On a

P(M)=10-4,P(TM)=0,99etP(TM¯)=10-3.

Par la formule des probabilités totales

P(T)=P(TM)P(M)+P(TM¯)P(M¯)

puis par la formule de Bayes

P(MT)=P(MT)P(T)=P(TM)P(M)P(T)

ce qui numériquement donne 9 %.
La personne n’a en fait qu’environ une chance sur 10 d’être malade alors que le test est positif! Cela s’explique aisément car la population de malade est de 1/10000 et celle des personnes saines faussement positives est de l’ordre de 1/1000.

 
Exercice 3  4119   

Dans une usine, 2 % des articles produits sont défectueux. Un contrôle qualité permet d’écarter 99 % des articles lorsqu’ils sont défectueux mais aussi 5 % des articles qui ne le sont pas!

  • (a)

    Quelle est la probabilité qu’il y ait une erreur de contrôle?

  • (b)

    Quelle est la probabilité qu’un article écarté par le contrôle soit défectueux?

  • (c)

    Quelle est la probabilité qu’un article en sortie d’usine soit défectueux?

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Édité le 08-11-2019

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