[<] Formule des probabilités totales et composées
Une pochette contient deux dés. L’un est parfaitement équilibré, mais le second donne un « six » une fois sur deux (les autres faces étant supposées équilibrées).
On tire au hasard un dé la pochette et on le lance.
On obtient un « six ». Quelle est la probabilité que le dé tiré soit équilibré?
Au contraire, on a obtenu un « cinq ». Même question.
Solution
Notons l’évènement le dé tiré est équilibré et l’évènement: on a obtenu un « six »
Par la formule de Bayes
avec par la formule des probabilités totales
On obtient
Notons l’évènement: on a obtenu un « cinq » Par des calculs analogues aux précédents
Dans une population, une personne sur 10 000 souffre d’une pathologie. Un laboratoire pharmaceutique met sur le marché un test sanguin. Celui-ci est positif chez %
des malades mais aussi faussement positif chez 0,1 %
des personnes non atteintes. Un individu passe ce test et obtient un résultat positif.
Quelle est sa probabilité d’être malade? Qu’en conclure?
Solution
Notons la population, le sous-ensemble constitué des individus malades et celui constitué des individus rendant le test positif. On a
Par la formule des probabilités totales
puis par la formule de Bayes
ce qui numériquement donne 9 %.
La personne n’a en fait qu’environ une chance sur 10 d’être malade alors que le test est positif! Cela s’explique aisément car la population de malade est de et celle des personnes saines faussement positives est de l’ordre de .
Dans une usine, 2 % des articles produits sont défectueux. Un contrôle qualité permet d’écarter 99 % des articles lorsqu’ils sont défectueux mais aussi 5 % des articles qui ne le sont pas!
Quelle est la probabilité qu’il y ait une erreur de contrôle?
Quelle est la probabilité qu’un article écarté par le contrôle soit défectueux?
Quelle est la probabilité qu’un article en sortie d’usine soit défectueux?
[<] Formule des probabilités totales et composées
Édité le 29-08-2023
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