[<] Propriétés d'une probabilité [>] Calcul de de probabités par dénombrement

 
Exercice 1  4587  

On lance deux fois un même dé. Montrer que la probabilité d’obtenir deux fois la même valeur est minimale lorsque le dé est équilibré.

 
Exercice 2  4116   Correction  

Une urne contient des boules blanches et noires en proportion p et q (avec p+q=1). On opère à des tirages successifs avec remise.

  • (a)

    Quelle est la probabilité que la première boule blanche tirée apparaisse lors du n-ième tirage?

  • (b)

    Quelle est la probabilité que la k-ième boule blanche tirée apparaisse lors du n-ième tirage?

Solution

Notons Ai l’événement «  une boule blanche est obtenue lors du i-ème tirage  ».
Les événements Ai sont mutuellement indépendants et P(Ai)=p pour tout i.

  • (a)

    Notons Bn l’événement «  la première boule blanche apparaît lors du n-ième tirage  ».
    On peut écrire

    Bn=A1¯An-1¯An.

    Par indépendance, on obtient

    P(Bn)=(1-p)n-1p.
  • (b)

    Notons Cn-1 l’événement «  k-1 boules sont apparues lors des n-1 premiers tirages  »
    et Dn l’événement «  la k-ième boule blanche tirée apparaît lors du n-ième tirage  ».

    On a Dn=Cn-1An et

    P(Cn-1)=(n-1k-1)pk-1(1-p)n-k

    car il s’agit de la probabilité d’obtenir k-1 succès dans la répétition indépendante d’épreuves de Bernoulli indépendantes de même paramètre p. Par indépendance, on conclut

    P(Dn)=P(Cn-1An)=(n-1k-1)pk(1-p)n-k.
 
Exercice 3  4588   

Un archer a la probabilité p[0;1] d’atteindre une cible à chaque essai.

Soient n* et k1;n.

  • (a)

    Quelle est la probabilité qu’il atteigne au moins une fois la cible en n tentatives?

  • (b)

    Quelle est la probabilité qu’il touche sa cible pour la première fois lors du n-ième essai?

  • (c)

    Quelle est la probabilité qu’il touche exactement k cibles en n essais?

  • (d)

    Quelle est la probabilité qu’il touche sa k-ième cible lors du n-ième essai?

 
Exercice 4  5213   

Un concierge dispose d’un trousseau de n clés semblables (avec n2) et d’un sérieux penchant pour l’alcool…

  • (a)

    Lorsque le concierge n’est pas ivre et qu’il doit ouvrir une porte, il choisit une clé au hasard et, si celle-ci n’ouvre pas la porte, il essaie une autre clé parmi celles qu’il n’a pas encore testées. Calculer la probabilité qu’il ouvre la porte lors de sa k-ième tentative.

  • (b)

    Lorsque le concierge est ivre, il choisit une clé sans se soucier de celles qu’il a déjà essayées. Calculer de nouveau la probabilité qu’il ouvre la porte lors de sa k-ième tentative.

  • (c)

    Le concierge est ivre un jour sur deux. Sachant qu’il a déjà essayé n-1 clés sans succès, quelle est la probabilité qu’il soit ivre?

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Édité le 08-11-2019

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