Exercice 1 4587

On lance deux fois un même dé. Montrer que la probabilité d’obtenir deux fois la même valeur est minimale lorsque le dé est équilibré.

Exercice 2 4116 Correction

Une urne contient des boules blanches et noires en proportion $p$ et $q$ (avec $p + q = 1$ ). On opère à des tirages successifs avec remise.

(a)

Quelle est la probabilité que la première boule blanche tirée apparaisse lors du $n$ -ième tirage?
(b)

Quelle est la probabilité que la $k$ -ième boule blanche tirée apparaisse lors du $n$ -ième tirage?

Solution

Notons $A_{i}$ l’événement « une boule blanche est obtenue lors du $i$ -ème tirage ».
Les événements $A_{i}$ sont indépendants et $P (A_{i}) = p$ pour tout $i$ .

(a)

Notons $B_{n}$ l’événement « la première boule blanche apparaît lors du $n$ -ième tirage ».
On peut écrire

$B_{n} = \bar{A_{1}} \cap \dots \cap \bar{A_{n - 1}} \cap A_{n} .$

Par indépendance, on obtient

$P (B_{n}) = {(1 - p)}^{n - 1} p .$
(b)

Notons $C_{n - 1}$ l’événement « $k - 1$ boules sont apparues lors des $n - 1$ premiers tirages »
et $D_{n}$ l’événement « la $k$ -ième boule blanche tirée apparaît lors du $n$ -ième tirage ».

On a $D_{n} = C_{n - 1} \cap A_{n}$ et

$P (C_{n - 1}) = (\binom{n - 1}{k - 1}) p^{k - 1} {(1 - p)}^{n - k}$

car il s’agit de la probabilité d’obtenir $k - 1$ succès dans la répétition indépendante d’épreuves de Bernoulli indépendantes de même paramètre $p$ . Par indépendance, on conclut

$P (D_{n}) = P (C_{n - 1} \cap A_{n}) = (\binom{n - 1}{k - 1}) p^{k} {(1 - p)}^{n - k} .$

Exercice 3 4588

Un archer a la probabilité $p \in [0; 1]$ d’atteindre une cible à chaque essai.

Soient $n \in ℕ^{*}$ et $k \in ⟦ 1; n ⟧$ .

(a)

Quelle est la probabilité qu’il atteigne au moins une fois la cible en $n$ tentatives?
(b)

Quelle est la probabilité qu’il touche sa cible pour la première fois lors du $n$ -ième essai?
(c)

Quelle est la probabilité qu’il touche exactement $k$ cibles en $n$ essais?
(d)

Quelle est la probabilité qu’il touche sa $k$ -ième cible lors du $n$ -ième essai?

Exercice 4 5213

Un concierge dispose d’un trousseau de $n$ clés semblables (avec $n \geq 2$ ) et d’un sérieux penchant pour l’alcool…

(a)

Lorsque le concierge n’est pas ivre et qu’il doit ouvrir une porte, il choisit une clé au hasard et, si celle-ci n’ouvre pas la porte, il essaie une autre clé parmi celles qu’il n’a pas encore testées. Calculer la probabilité qu’il ouvre la porte lors de sa $k$ -ième tentative.
(b)

Lorsque le concierge est ivre, il choisit une clé sans se soucier de celles qu’il a déjà essayées. Calculer de nouveau la probabilité qu’il ouvre la porte lors de sa $k$ -ième tentative.
(c)

Le concierge est ivre un jour sur deux. Sachant qu’il a déjà essayé $n - 1$ clés sans succès, quelle est la probabilité qu’il soit ivre?

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Édité le 29-08-2023

Calcul de probabilités