Exercice 1 3948 Correction

On lance à dé à six faces parfaitement équilibré. Justifier l’indépendance des évènements

A = «  on obtient le tirage 2, 4 ou 6  »  et B = «  on obtient le tirage 3 ou 6   ».

Solution

$P (A) = 1 / 2$ , $P (B) = 1 / 3$ et $P (A \cap B) = P ({6}) = 1 / 6$ donc

P (A \cap B) = P (A) \times P (B) .

Les évènements $A$ et $B$ sont bien indépendants.

Exercice 2 4584

Deux urnes contiennent des boules blanches et rouges. Les proportions de boules blanches dans ces urnes sont respectivement égales à $p$ et $q$ avec $p, q \in] 0; 1 [$ .

De façon équiprobable, on choisit l’une des deux urnes et l’on tire avec remise deux boules dans celle-ci. À quelle condition a-t-on l’indépendance des deux événements « La première boule tirée est blanche » et « La seconde boule tirée est blanche »?

Exercice 3 3953 Correction

Montrer qu’un évènement $A$ est indépendant de tout autre évènement si, et seulement si, $P (A) = 0$ ou $1$ .

Solution

Si $A$ et indépendant de tout évènement alors $A$ est indépendant de lui-même et donc

P (A) = P (A \cap A) = P {(A)}^{2} .

On en déduit $P (A) = 0$ ou $1$ .
Inversement, supposons $P (A) = 0$ . Pour tout évènement $B$ , on a $A \cap B \subset A$ et donc $P (A \cap B) \leq P (A) = 0$ . Ainsi,

P (A \cap B) = 0 = P (A) P (B) .

Supposons maintenant $P (A) = 1$ . On a $P (\bar{A}) = 0$ et donc $\bar{A}$ est indépendant de tout évènement $B$ . Par suite, $A$ est aussi indépendant de tout évènement $B$ .

Exercice 4 3830

Soient $A$ et $B$ deux événements incompatibles d’un espace probabilisé $(Ω, P)$ .

À quelle condition les événements $A$ et $B$ sont-ils indépendants?

Exercice 5 3951 Correction

Soient $A$ et $B$ deux évènements indépendants. Les évènements $A$ et $\bar{B}$ sont-ils aussi indépendants?

Solution

Puisque $A$ est la réunion disjointe de $A \cap B$ et $A \cap \bar{B}$ , on a

P (A) = P (A \cap B) + P (A \cap \bar{B})

et donc

P (A) = P (A) P (B) + P (A \cap \bar{B})

puis

P (A \cap \bar{B}) = P (A) (1 - P (B)) = P (A) P (\bar{B}) .

Les évènements $A$ et $\bar{B}$ sont indépendants.

Exercice 6 3949 Correction

Soient $A, B, C$ trois évènements tels que $A$ et $B$ d’une part, $A$ et $C$ d’autre part, sont indépendants.

Les événements $A$ et $B \cup C$ sont-ils indépendants? Même question avec $A$ et $B \cap C$ .

Solution

Considérons le tirage équilibré d’un dé à six faces et les événements

A = {2,4,6}, B = {1,2} et C = {2,3} .

On vérifie aisément

P (A \cap B) = P (A) P (B) et P (A \cap C) = P (A) P (C) .

Cependant

P (A \cap (B \cup C)) = 1 / 6 \neq P (A) P (B \cup C) = 1 / 4

P (A \cap (B \cap C)) = 1 / 6 \neq P (A) P (B \cap C) = 1 / 12 .

Ainsi, $A$ et $B \cup C$ ne sont pas indépendants. Les événements $A$ et $B \cap C$ ne le sont pas plus.

Exercice 7 3950 Correction

Soient $A, B, C$ trois évènements tels que $A$ et $B \cup C$ d’une part, $A$ et $B \cap C$ d’autre part, soient indépendants.

Les événements $A$ et $B$ sont-ils indépendants?

Solution

Considérons le tirage équilibré d’un dé à six faces et considérons les événements

A = {2,4,6}, B = {1,2,3} et C = {1,2,4} .

On vérifie aisément

P (A \cap (B \cup C)) = 1 / 3 = P (A) P (B \cup C) et P (A \cap (B \cap C)) = 1 / 6 = P (A) P (B \cap C) .

Cependant,

P (A \cap B) = 1 / 6 \neq P (A) P (B) = 1 / 4 .

Les événements $A$ et $B$ ne sont pas indépendants?

Exercice 8 3952

Soient $A, B, C$ trois événements d’un espace probabilisé $(Ω, P)$ .

On suppose $A$ indépendant de $B \cap C$ , $B$ indépendant de $A \cap C$ et $C$ indépendant de $A \cap B$ . On suppose aussi $A$ indépendant de $B \cup C$ et $P (A) > 0$ .

Établir que les événements $A, B, C$ sont indépendants.

[<] Calcul de probabités par dénombrement [>] Famille d'événements indépendants

Édité le 29-08-2023

Couples d'événements indépendants