[<] Calcul de de probabités par dénombrement [>] Famille d'événements mutuellement indépendants

 
Exercice 1  3948  Correction  

On lance à dé à six faces parfaitement équilibré. Justifier l’indépendance des évènements

A=«  on obtient le tirage 2, 4 ou 6  »  et B=«  on obtient le tirage 3 ou 6   ».

Solution

P(A)=1/2, P(B)=1/3 et P(AB)=P({6})=1/6 donc

P(AB)=P(A)×P(B).

Les évènements A et B sont bien indépendants.

 
Exercice 2  4584  

Deux urnes contiennent des boules blanches et rouges. Les proportions de boules blanches dans ces urnes sont respectivement égales à p et q avec p,q]0;1[.

De façon équiprobable, on choisit l’une des deux urnes et l’on tire avec remise deux boules dans celle-ci. À quelle condition a-t-on l’indépendance des deux événements «  La première boule tirée est blanche  » et «  La seconde boule tirée est blanche  »?

 
Exercice 3  3953  Correction  

Montrer qu’un évènement A est indépendant de tout autre évènement si, et seulement si, P(A)=0 ou 1.

Solution

Si A et indépendant de tout évènement alors A est indépendant de lui-même et donc

P(A)=P(AA)=P(A)2.

On en déduit P(A)=0 ou 1.
Inversement, supposons P(A)=0. Pour tout évènement B, on a ABA et donc P(AB)P(A)=0. Ainsi,

P(AB)=0=P(A)P(B).

Supposons maintenant P(A)=1. On a P(A¯)=0 et donc A¯ est indépendant de tout évènement B. Par suite, A est aussi indépendant de tout évènement B.

 
Exercice 4  3830  

Soient A et B deux événements incompatibles d’un espace probabilisé (Ω,P).

À quelle condition les événements A et B sont-ils indépendants?

 
Exercice 5  3951  Correction  

Soient A et B deux évènements indépendants. Les évènements A et B¯ sont-ils aussi indépendants?

Solution

Puisque A est la réunion disjointe de AB et AB¯, on a

P(A)=P(AB)+P(AB¯)

et donc

P(A)=P(A)P(B)+P(AB¯)

puis

P(AB¯)=P(A)(1-P(B))=P(A)P(B¯).

Les évènements A et B¯ sont indépendants.

 
Exercice 6  3949   Correction  

Soient A,B,C trois évènements tels que A et B d’une part, A et C d’autre part, sont indépendants.

Les événements A et BC sont-ils indépendants? Même question avec A et BC.

Solution

Considérons le tirage équilibré d’un dé à six faces et les événements

A={2,4,6},B={1,2}etC={2,3}.

On vérifie aisément

P(AB)=P(A)P(B)etP(AC)=P(A)P(C).

Cependant

P(A(BC))=1/6P(A)P(BC)=1/4

et

P(A(BC))=1/6P(A)P(BC)=1/12.

Ainsi, A et BC ne sont pas indépendants. Les événements A et BC ne le sont pas plus.

 
Exercice 7  3950   Correction  

Soient A,B,C trois évènements tels que A et BC d’une part, A et BC d’autre part, soient indépendants.

Les événements A et B sont-ils indépendants?

Solution

Considérons le tirage équilibré d’un dé à six faces et considérons les événements

A={2,4,6},B={1,2,3}etC={1,2,4}.

On vérifie aisément

P(A(BC))=1/3=P(A)P(BC) et P(A(BC))=1/6=P(A)P(BC).

Cependant,

P(AB)=1/6P(A)P(B)=1/4.

Les événements A et B ne sont pas indépendants?

 
Exercice 8  3952   

Soient A,B,C trois événements d’un espace probabilisé (Ω,P).

On suppose A indépendant de BC, B indépendant de AC et C indépendant de AB. On suppose aussi A indépendant de BC et P(A)>0.

Établir que les événements A,B,C sont mutuellement indépendants.

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Édité le 08-11-2019

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