[<] Théorème de Rolle [>] Théorème des accroissements finis
Soit et une fonction dérivable telle que
Montrer que la dérivée de s’annule sur .
En déduire qu’il existe un point autre que l’origine en lequel la tangente à passe par l’origine.
Solution
La fonction est définie, continue et dérivable sur .
Quand ,
Prolongeons par continuité en 0 en posant .
Puisque est continue sur , dérivable sur et puisque , le théorème de Rolle assure l’annulation de la dérivée de en un point .
donc donne .
La tangente à en a pour équation:
Elle passe par l’origine.
Soit une fonction dérivable telle que
Montrer qu’il existe un point autre que l’origine en lequel la tangente à la courbe représentative de passe par l’origine.
Soit de classe vérifiant
Montrer qu’il existe tel que
On pourra introduire une fonction auxiliaire dépendant de , et .
Solution
Introduisons .
La fonction est définie et continue sur , est dérivable sur et .
Par le théorème de Rolle, on peut affirmer qu’il existe tel que
Or
donc donne
Soit une fonction dérivable s’annulant en et .
Soit . Montrer qu’il existe tel que .
Montrer qu’il existe tel que .
Soit et une application de classe s’annulant en points distincts de .
Montrer que la dérivée -ième de s’annule au moins une fois sur .
Soit un réel. Montrer que la dérivée -ième de s’annule au moins une fois sur .
On pourra introduire une fonction auxiliaire.
Solution
Notons les points où nous savons que s’annule.
Pour tout , on peut appliquer le théorème de Rolle à sur .
En effet, est continue sur , dérivable sur et .
Par le théorème de Rolle, il existe tel que .
Puisque , les sont deux à deux distincts.
Ainsi s’annule au moins fois.
De même, s’annule au moins fois et ainsi de suite jusqu’à s’annule au moins une fois.
Considérons . La fonction s’annule fois et donc s’annule au moins fois. Or
et les annulations de sont donc les annulations de .
Puisque s’annule fois, la dérivée -ième de s’annule au moins une fois.
Soient de classe s’annulant en .
Montrer que pour chaque , il existe vérifiant
On pourra, lorsque cela est possible, introduire un réel tel que
et établir que la dérivée -ième de s’annule.
Solution
Si n’importe quel convient.
Si , il existe une constante telle que
La fonction est de classe et s’annule en et ce qui fournit au moins valeurs d’annulation et permet, par le théorème de Rolle, de conclure que sa dérivée -ième s’annule en un . Or
donc .
(Écart à la corde)
Soient une fonction de classe et la fonction affine prenant les mêmes valeurs que en et .
Montrer que pour tout , il existe tel que
En déduire que pour tout ,
Soient une fonction deux fois dérivable sur et trois points distincts de .
Montrer qu’il existe tel que
Solution
Considérons
où la constante est choisie de sorte que (ce qui est possible).
La fonction s’annule en , en et en donc par le théorème de Rolle, il existe tel que ce qui résout le problème posé.
(Règle de L’Hospital)
Soient deux fonctions continues sur et dérivables sur . On suppose que la dérivée de ne s’annule pas sur .
Montrer que .
Montrer qu’il existe tel que
En déduire que, si le quotient admet une limite en par valeurs supérieures, alors
Application : Soit une fonction de classe telle que , et . Montrer
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Édité le 29-08-2023
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