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Exercice 1  1380  Correction  

Soit a>0 et f:[0;a] une fonction dérivable telle que

f(0)=f(a)=0 et f(0)=0.
  • (a)

    Montrer que la dérivée de xf(x)/x s’annule sur ]0;a[.

  • (b)

    En déduire qu’il existe un point autre que l’origine en lequel la tangente à f passe par l’origine.

Solution

  • (a)

    La fonction g:xf(x)/x est définie, continue et dérivable sur ]0;a].
    Quand x0,

    g(x)f(0)=0.

    Prolongeons g par continuité en 0 en posant g(0)=0.
    Puisque g est continue sur [0;a], dérivable sur ]0;a[ et puisque g(0)=g(a), le théorème de Rolle assure l’annulation de la dérivée de g en un point c]0;a[.

  • (b)
    g(x)=xf(x)-f(x)x2

    donc g(c)=0 donne cf(c)=f(c).
    La tangente à f en c a pour équation:

    y=f(c)(x-c)+f(c)=f(c)x.

    Elle passe par l’origine.

 
Exercice 2  4798   

Soit f:[0;+[ une fonction dérivable telle que

f(0)=f(0)=0etlimx+f(x)=.

Montrer qu’il existe un point autre que l’origine en lequel la tangente à la courbe représentative de f passe par l’origine.

 
Exercice 3  3436   Correction  

Soit f:[a;b] de classe 𝒞2 vérifiant

f(a)=f(a)etf(b)=f(b).

Montrer qu’il existe c]a;b[ tel que

f(c)=f′′(c).

On pourra introduire une fonction auxiliaire dépendant de f(x), f(x) et ex.

Solution

Introduisons φ:x(f(x)-f(x))ex.
La fonction φ est définie et continue sur [a;b], φ est dérivable sur ]a;b[ et φ(a)=0=φ(b).
Par le théorème de Rolle, on peut affirmer qu’il existe c]a;b[ tel que

φ(c)=0.

Or

φ(x)=(f(x)-f′′(x))ex

donc φ(c)=0 donne

f(c)=f′′(c).
 
Exercice 4  5027   

Soit f:[a;b] une fonction dérivable s’annulant en a et b.

  • (a)

    Soit α. Montrer qu’il existe c]a;b[ tel que f(c)+αf(c)=0.

  • (b)

    Montrer qu’il existe c]a;b[ tel que f(c)+cf(c)=0.

 
Exercice 5  1372   Correction  

Soit n et f:I une application de classe 𝒞n s’annulant en n+1 points distincts de I.

  • (a)

    Montrer que la dérivée n-ième de f s’annule au moins une fois sur I.

  • (b)

    Soit α un réel. Montrer que la dérivée (n-1) -ième de f+αf s’annule au moins une fois sur I.

    On pourra introduire une fonction auxiliaire.

Solution

  • (a)

    Notons a0<a1<<an les n+1 points où nous savons que f s’annule.
    Pour tout i{1,,n}, on peut appliquer le théorème de Rolle à f sur [ai-1;ai].
    En effet, f est continue sur [ai-1;ai], dérivable sur ]ai-1;ai[ et f(ai-1)=0=f(ai).
    Par le théorème de Rolle, il existe bi]ai-1;ai[ tel que f(bi)=0.
    Puisque b1<a1<b2<<an-1<bn, les b1,,bn sont deux à deux distincts.
    Ainsi f s’annule au moins n fois.
    De même, f′′ s’annule au moins n-1 fois et ainsi de suite jusqu’à f(n) s’annule au moins une fois.

  • (b)

    Considérons g(x)=f(x)eαx. g s’annule n+1 fois donc g s’annule au moins n fois.
    Or g(x)=(f(x)+αf(x))eαx donc les annulations de g sont les annulations de f+αf.
    Puisque f+αf s’annule n fois, la dérivée (n-1)-ième de f+αf s’annule au moins une fois.

 
Exercice 6  264   Correction  

Soient f:[a;b] de classe 𝒞n s’annulant en a1<a2<<an.
Montrer que pour chaque x0[a;b], il existe c]a;b[ vérifiant

f(x0)=(x0-a1)(x0-a2)(x0-an)n!f(n)(c).

On pourra, lorsque cela est possible, introduire un réel K tel que

f(x0)=(x0-a1)(x0-an)n!K

et établir que la dérivée n-ième de xf(x)-(x-a1)(x-an)n!K s’annule.

Solution

Si x0{a1,,an} n’importe quel c convient.
Si x0{a1,,an}, il existe une constante K telle que

f(x0)=(x0-a1)(x0-an)n!K.

La fonction xf(x)-(x-a1)(x-an)n!K est de classe 𝒞n et s’annule en a1,,an et x0 ce qui fournit au moins n+1 valeurs d’annulation et permet, par le théorème de Rolle, de conclure que sa dérivée n-ième s’annule en un c]a;b[. Or

dndxn(f(x)-(x-a1)(x-an)n!K)=f(n)(x)-K

donc K=f(n)(c).

 
Exercice 7  4800    

(Écart à la corde)

Soient f:[a;b] une fonction de classe 𝒞2 et φ:[a;b] la fonction affine prenant les mêmes valeurs que f en a et b.

  • (a)

    Montrer que pour tout x0[a;b], il existe c]a;b[ tel que

    f(x0)-φ(x0)=(x0-a)(x0-b)2f′′(c).
  • (b)

    En déduire que pour tout x[a;b],

    |f(x)-φ(x)|(b-a)28sup[a;b]|f′′|.
 
Exercice 8  2820      MINES (MP)Correction  

Soient f:I une fonction deux fois dérivable sur I et a,b,c trois points distincts de I.

Montrer qu’il existe dI tel que

f(a)(a-b)(a-c)+f(b)(b-c)(b-a)+f(c)(c-a)(c-b)=12f′′(d).

Solution

Considérons

g:x(x-b)f(a)+(a-x)f(b)+(b-a)f(x)-12(a-b)(b-x)(x-a)K

où la constante K est choisie de sorte que g(c)=0 (ce qui est possible).
La fonction g s’annule en a, en b et en c donc par le théorème de Rolle, il existe dI tel que g′′(d)=0 ce qui résout le problème posé.

 
Exercice 9  1378    

(Règle de L’Hospital)

Soient f,g:[a;b] deux fonctions dérivables. On suppose que la dérivée de g ne s’annule pas.

  • (a)

    Montrer que g(a)g(b).

  • (b)

    Montrer qu’il existe c]a;b[ tel que

    f(b)-f(a)g(b)-g(a)=f(c)g(c).
  • (c)

    En déduire que, si le quotient f/g admet une limite en a par valeurs supérieures, alors

    limta+f(t)-f(a)g(t)-g(a)=limta+f(t)g(t).
  • (d)

    Application: Soit h: une fonction de classe 𝒞2 telle que h(0)=1, h(0)=0 et h′′(0)=a. Montrer

    limt0+(h(xt))1/t2=eax2/2pour tout x.

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Édité le 08-11-2019

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