[<] Théorème de Rolle et fonction auxiliaire [>] Obtention d'inégalités

 
Exercice 1  1386  Correction  

Soit f:I dérivable.
Montrer que f est lipschitzienne si, et seulement si, sa dérivée est bornée.

Solution

() En vertu de l’inégalité des accroissements finis.

() Si f est k lipschitzienne alors pour tous x,yI tels que xy, on a

|f(x)-f(y)x-y|k.

À la limite quand yx, on obtient |f(x)|k. Par suite, f est bornée.

 
Exercice 2  1384  Correction  

À l’aide du théorème des accroissements finis déterminer

limx+((x+1)e1x+1-xe1x).

Solution

Par le théorème des accroissements finis appliqué à la fonction xxe1/x entre x et x+1:
il existe cx]x;x+1[ tel que

(x+1)e1/(x+1)-xe1/x=(cx-1cx)e1cx(x+1-x)=(cx-1cx)e1cx.

Quand x+, cx+ car cxx.
Par suite,

(cx-1cx)e1cx1

et donc

limx+((x+1)e1x+1-xe1x)=1.
 
Exercice 3  267  Correction  

Montrer à l’aide du théorème des accroissements finis que

n+1n+1-nn-ln(n)n2.

Solution

En appliquant le théorème des accroissements finis à xx1/x entre n et n+1, on obtient

n+1n+1-nn=1-ln(c)c2c1/c

avec c]n;n+1[.
Puisque cn+, ln(c)ln(n) et puisque c1/c1

n+1n+1-nn-ln(n)n2.
 
Exercice 4  1381   

Soit f: une fonction dérivable. Montrer que pour tout réel x, il existe c>0 vérifiant

f(x)-f(-x)=x(f(c)+f(-c)).
 
Exercice 5  1382   Correction  

Soit f une fonction de classe 𝒞2 sur [a;a+2h] (avec a et h>0).
Montrer

c]a;a+2h[,f(a+2h)-2f(a+h)+f(a)=h2f′′(c).

On pourra introduire φ(x)=f(x+h)-f(x).

Solution

La fonctionφ proposée est définie et de classe 𝒞2 sur [a;a+h].

f(a+2h)-2f(a+h)+f(a)=φ(a+h)-φ(a).

Par le théorème des accroissements finis appliqué à φ entre a et a+h, il existeb]a;a+h[ tel que

φ(a+h)-φ(a)=hφ(b)=h(f(b+h)-f(b)).

Par le théorème des accroissements finis appliqué à f entre b et b+h, il existe c]b;b+h[]a;a+2h[ tel que

f(b+h)-f(b)=hf′′(c) puis f(a+2h)-2f(a+h)+f(a)=h2f′′(c).
 
Exercice 6  3886   

(Fonctions hölderiennes)

Une fonction f:I est dite hölderienne d’exposant α>0 s’il existe M+ vérifiant11 1 Pour α[0;1], on montre que la fonction ttα est hölderienne d’exposant α sur + (voir le sujet 1832).

|f(y)-f(x)|M|y-x|αpour tout (x,y)I2.
  • (a)

    Montrer qu’une fonction f:[a;b] de classe 𝒞1 est hölderienne d’exposant 1.

  • (b)

    Démontrer que les fonctions hölderiennes d’exposant >1 sont constantes.

On considère la fonction f:xxln(x) définie sur ]0;1].

  • (c)

    Montrer que la fonction f n’est pas hölderienne d’exposant 1.

  • (d)

    Vérifier cependant que f est hölderienne d’exposant α pour tout α]0;1[.

 
Exercice 7  4801  

Soit f:[0;+[ une fonction bornée et dérivable. On suppose que la dérivée f admet une limite en +. Déterminer la valeur de celle-ci.

 
Exercice 8  1341     X (MP)

Soit f:]0;1] une fonction dérivable. On suppose

f(x)x0+etxf(x)x0+

Calculer .

 
Exercice 9  727     X (PC)Correction  

Soit f𝒞2(+,) telle que limx+f(x)=a.

  • (a)

    Si f′′ est bornée, que dire de f(x) quand x+?

  • (b)

    Le résultat subsiste-t-il sans l’hypothèse du (a)?

Solution

  • (a)

    Posons M+* tel que |f′′(x)|M pour tout x+.
    Soit ε>0. La suite (xn) de terme général

    xn=nεM

    diverge vers + et donc

    f(xn+1)-f(xn)0.

    Par suite, il existe N tel que pour tout nN

    |f(xn+1)-f(xn)|ε2M.

    Par le théorème des accroissements finis, il existe cn]xn;xn+1[ tel que

    |f(cn)|(xn+1-xn)ε2M

    ce qui donne

    |f(cn)|ε.

    Puisque f′′ est bornée par M, la fonction f est M-lipschitzienne et donc

    u[xn;xn+1],|f(u)-f(cn)|M|u-cn|ε

    puis

    u[xn;xn+1],|f(u))|ε+|f(cn)|2ε

    et, puisque cela vaut pour tout n, on a en posant A=xN,

    uA,|f(u)|2ε.

    On peut conclure que f converge vers 0 en +.

  • (b)

    Posons

    f(t)=cos(t2)t+1.

    On vérifie aisément que f est de classe 𝒞2 et admet une limite finie en + sans que f tend vers 0 en +.

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Édité le 08-11-2019

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