Exercice 1 5458 Correction

Étudier la continuité et la dérivabilité de la fonction $f : x \mapsto \arccos (1 - x^{2})$ définie sur $[0; \sqrt{2}]$ .

Solution

Rappelons que la fonction $\arccos$ est définie et continue sur $[- 1; 1]$ et dérivable sur $] - 1; 1 [$ .

Pour tout $x \in [0; \sqrt{2}]$ , on vérifie $1 - x^{2} \in [- 1; 1]$ . La fonction $f$ est donc définie sur $[- 1; 1]$ . Par composition, $f$ est aussi continue sur $[- 1; 1]$ et dérivable sur $] - 1; 1 [$ . Étudions sa dérivabilité en $\pm 1$ .

Pour tout $x \in] - 1; 1 [$ ,

f^{'} (x) = - \frac{- 2 x}{\sqrt{1 - {(1 - x^{2})}^{2}}} = \frac{2 x}{\sqrt{2 x^{2} - x^{4}}} = \frac{2}{\sqrt{2 - x^{2}}} .

On observe

lim_{x \to 0^{+}} f^{'} (x) = \sqrt{2} et lim_{x \to {\sqrt{2}}^{-}} f^{'} (x) = + \infty .

Par le théorème de la limite de la dérivée, on peut affirmer que $f$ est dérivable en $0$ avec $f^{'} (0) = \sqrt{2}$ alors que $f$ n’est pas dérivable en $\sqrt{2}$ où son graphe présente une tangente verticale.

Exercice 2 1386 Correction

Soit $f : I \to ℝ$ dérivable.
Montrer que $f$ est lipschitzienne si, et seulement si, sa dérivée est bornée.

Solution

$(⟸)$ En vertu de l’inégalité des accroissements finis.

$(⟹)$ Si $f$ est $k$ lipschitzienne alors pour tous $x, y \in I$ tels que $x \neq y$ , on a

| \frac{f (x) - f (y)}{x - y} | \leq k .

À la limite quand $y \to x$ , on obtient $| f^{'} (x) | \leq k$ . Par suite, $f^{'}$ est bornée.

Exercice 3 1384 Correction

À l’aide du théorème des accroissements finis déterminer

lim_{x \to + \infty} ((x + 1) e^{\frac{1}{x + 1}} - x e^{\frac{1}{x}}) .

Solution

Par le théorème des accroissements finis appliqué à la fonction $x \mapsto x e^{1 / x}$ entre $x$ et $x + 1$ :
il existe $c_{x} \in] x; x + 1 [$ tel que

(x + 1) e^{1 / (x + 1)} - x e^{1 / x} = (\frac{c_{x} - 1}{c_{x}}) e^{\frac{1}{c_{x}}} (x + 1 - x) = (\frac{c_{x} - 1}{c_{x}}) e^{\frac{1}{c_{x}}} .

Quand $x \to + \infty$ , $c_{x} \to + \infty$ car $c_{x} \geq x$ .
Par suite,

(\frac{c_{x} - 1}{c_{x}}) e^{\frac{1}{c_{x}}} \to 1

et donc

lim_{x \to + \infty} ((x + 1) e^{\frac{1}{x + 1}} - x e^{\frac{1}{x}}) = 1 .

Exercice 4 267 Correction

Montrer à l’aide du théorème des accroissements finis que

\sqrt[n + 1]{n + 1} - \sqrt[n]{n} \underset{n \to + \infty}{\sim} - \frac{\ln (n)}{n^{2}} .

Solution

En appliquant le théorème des accroissements finis à la fonction $x \mapsto x^{1 / x}$ entre $n$ et $n + 1$ , on obtient

\sqrt[n + 1]{n + 1} - \sqrt[n]{n} = \frac{1 - \ln (c)}{c^{2}} c^{1 / c}

avec $c \in] n; n + 1 [$ .

Par encadrement,

c \underset{n \to + \infty}{\sim} n et \ln (c) \underset{n \to + \infty}{\sim} \ln (n)

Puisque $c^{1 / c} \to_{n \to + \infty}^{} 1$ ,

\sqrt[n + 1]{n + 1} - \sqrt[n]{n} \underset{n \to + \infty}{\sim} - \frac{\ln (n)}{n^{2}} .

Exercice 5 1381

Soit $f : ℝ \to ℝ$ une fonction dérivable. Montrer que pour tout réel $x$ , il existe $c > 0$ vérifiant

f (x) - f (- x) = x (f^{'} (c) + f^{'} (- c)) .

Exercice 6 1382 Correction

Soit $f$ une fonction de classe $𝒞^{2}$ sur $[a; a + 2 h]$ (avec $a \in ℝ$ et $h > 0$ ).
Montrer

\exists c \in] a; a + 2 h [, f (a + 2 h) - 2 f (a + h) + f (a) = h^{2} f^{''} (c) .

On pourra introduire $φ (x) = f (x + h) - f (x)$ .

Solution

La fonction $φ$ proposée est définie et de classe $𝒞^{2}$ sur $[a; a + h]$ .

f (a + 2 h) - 2 f (a + h) + f (a) = φ (a + h) - φ (a) .

Par le théorème des accroissements finis appliqué à $φ$ entre $a$ et $a + h$ , il existe $b \in] a; a + h [$ tel que

φ (a + h) - φ (a) = h φ^{'} (b) = h (f^{'} (b + h) - f^{'} (b)) .

Par le théorème des accroissements finis appliqué à $f^{'}$ entre $b$ et $b + h$ , il existe $c \in] b; b + h [\in] a; a + 2 h [$ tel que

f^{'} (b + h) - f^{'} (b) = h f^{''} (c) puis f (a + 2 h) - 2 f (a + h) + f (a) = h^{2} f^{''} (c) .

Exercice 7 3886

(Fonctions hölderiennes)

Une fonction $f : I \to ℝ$ est dite hölderienne d’exposant $α > 0$ s’il existe $M \in ℝ_{+}$ vérifiant¹¹ 1 Pour $α \in [0; 1]$ , on montre que la fonction $t \mapsto t^{α}$ est hölderienne d’exposant $α$ sur $ℝ_{+}$ (voir le sujet 1832).

| f (y) - f (x) | \leq M {| y - x |}^{α} pour tout (x, y) \in I^{2} .

(a)

Montrer qu’une fonction $f : [a; b] \to ℝ$ de classe $𝒞^{1}$ est hölderienne d’exposant $1$ .
(b)

Démontrer que les fonctions hölderiennes d’exposant $> 1$ sont constantes.

On considère la fonction $f : x \mapsto x \ln (x)$ définie sur $] 0; 1]$ .

(c)

Montrer que la fonction $f$ n’est pas hölderienne d’exposant 1.
(d)

Vérifier cependant que $f$ est hölderienne d’exposant $α$ pour tout $α \in] 0; 1 [$ .

Exercice 8 5466 Correction

Soit $f : [0; + \infty [\to ℝ$ une fonction dérivable. On suppose que les fonctions $f$ et $f^{'}$ admettent chacune une limite en $+ \infty$ . Déterminer la limite de $f^{'}$ .

Solution

Notons $ℓ$ et $ℓ^{'}$ les limites de $f$ et $f^{'}$ en $+ \infty$ .

Soit $x \in ℝ_{+}$ . En appliquant le théorème des accroissements finis à $f$ entre $x$ et $x + 1$ , on peut affirmer qu’il existe $c_{x} \in] x; x + 1 [$ tel que

f (x + 1) - f (x) = f^{'} (c_{x}) ((x + 1) - x) = f^{'} (c_{x}) .

Puisque $c_{x} \geq x$ , on a par minoration

c_{x} \to_{x \to + \infty}^{} + \infty .

Par composition de limites dans l’égalité précédente, il vient alors

ℓ - ℓ = ℓ^{'}

et donc $ℓ^{'} = 0$ .

Exercice 9 4801

Soit $f : [0; + \infty [\to ℝ$ une fonction bornée et dérivable. On suppose que la dérivée $f^{'}$ admet une limite $ℓ$ en $+ \infty$ . Déterminer la valeur de celle-ci.

Exercice 10 1341 MINES (MP)

Soit $f :] 0; 1] \to ℝ$ une fonction dérivable. On suppose

f (x) \to_{x \to 0^{+}}^{} ℓ \in ℝ et x f^{'} (x) \to_{x \to 0^{+}}^{} ℓ^{'} \in ℝ .

Calculer $ℓ^{'}$ .

Exercice 11 727 X (PC)Correction

Soit $f \in 𝒞^{2} (ℝ_{+}, ℝ)$ telle que ${lim}_{x \to + \infty} f (x) = a \in ℝ$ .

(a)

Si $f^{''}$ est bornée, que dire de $f^{'} (x)$ quand $x \to + \infty$ ?
(b)

Le résultat subsiste-t-il sans l’hypothèse du (a)?

Solution

(a)

Posons $M \in ℝ_{+}^{*}$ tel que $| f^{''} (x) | \leq M$ pour tout $x \in ℝ_{+}$ .
Soit $ε > 0$ . La suite $(x_{n})$ de terme général

$x_{n} = n \frac{ε}{M}$

diverge vers $+ \infty$ et donc

$f (x_{n + 1}) - f (x_{n}) \to 0 .$

Par suite, il existe $N \in ℕ$ tel que pour tout $n \geq N$

$| f (x_{n + 1}) - f (x_{n}) | \leq \frac{ε^{2}}{M} .$

Par le théorème des accroissements finis, il existe $c_{n} \in] x_{n}; x_{n + 1} [$ tel que

$| f^{'} (c_{n}) | (x_{n + 1} - x_{n}) \leq \frac{ε^{2}}{M}$

ce qui donne

$| f^{'} (c_{n}) | \leq ε .$

Puisque $f^{''}$ est bornée par $M$ , la fonction $f^{'}$ est $M$ -lipschitzienne et donc

$\forall u \in [x_{n}; x_{n + 1}], | f^{'} (u) - f^{'} (c_{n}) | \leq M | u - c_{n} | \leq ε$

puis

$\forall u \in [x_{n}; x_{n + 1}], | f^{'} (u)) | \leq ε + | f^{'} (c_{n}) | \leq 2 ε$

et, puisque cela vaut pour tout $n \in ℕ$ , on a en posant $A = x_{N}$ ,

$\forall u \geq A, | f^{'} (u) | \leq 2 ε .$

On peut conclure que $f^{'}$ converge vers 0 en $+ \infty$ .
(b)

Posons

$f (t) = \frac{\cos (t^{2})}{t + 1} .$

On vérifie aisément que $f$ est de classe $𝒞^{2}$ et admet une limite finie en $+ \infty$ sans que $f^{'}$ tend vers $0$ en $+ \infty$ .

[<] Théorème de Rolle et fonction auxiliaire [>] Obtention d'inégalités

Édité le 29-08-2023

Théorème des accroissements finis