$f$ est continue et strictement croissante, $f(0)=0$ et $f(\pi /2)=1+\pi /2$ donc $f$ réalise une bijection de $[0;\pi /2]$ vers $[0;1+\pi /2]$ et son application réciproque $f^{-1}$ est continue.
$f$ est dérivable sur $]0;\pi /2]$ avec

$$f^{\prime }(x)=\frac{\cos (x)}{2\sqrt{\sin (x)}}+1>0$$

donc $f^{-1}$ est dérivable sur $f(]0;\pi /2])=]0;1+\pi /2]$.
Étude de la dérivabilité de $f^{-1}$ en 0
Quand $h\to 0^{+}$, en posant $x=f^{-1}(h)\to 0$

$$\frac{f^{-1}(h)-f^{-1}(0)}{h}=\frac{x}{f(x)}\text{.}$$

Or

$$\frac{x}{f(x)}=\frac{x}{\sqrt{\sin (x)}+x}=\frac{x}{\sqrt{x}+\mathrm{o}(\sqrt{x})+x}\sim \sqrt{x}\to 0$$

donc $f^{-1}$ est dérivable en 0 et ${(f^{-1})}^{\prime }(0)=0$.