[<] Application de la dérivation [>] Calcul de dérivées n-ième

 
Exercice 1  1367   Correction  

Soit f:[0;π/2] définie par

f(x)=sin(x)+x.

Justifier que f réalise une bijection vers un intervalle à préciser, puis que f-1 est continue et dérivable sur cet intervalle.

Solution

f est continue et strictement croissante, f(0)=0 et f(π/2)=1+π/2 donc f réalise une bijection de [0;π/2] vers [0;1+π/2] et son application réciproque f-1 est continue.
f est dérivable sur ]0;π/2] avec

f(x)=cos(x)2sin(x)+1>0

donc f-1 est dérivable sur f(]0;π/2])=]0;1+π/2].
Étude de la dérivabilité de f-1 en 0
Quand h0+, en posant x=f-1(h)0

f-1(h)-f-1(0)h=xf(x).

Or

xf(x)=xsin(x)+x=xx+o(x)+xx0

donc f-1 est dérivable en 0 et (f-1)(0)=0.

 
Exercice 2  4833   

On considère la fonction f:x1+x+x1/3 définie sur [0;+[.

  • (a)

    Justifier que f induit une bijection de [0;+[ vers un intervalle I à préciser.

  • (b)

    Étudier la dérivabilité de f-1 sur I.

 
Exercice 3  2815      MINES (MP)

Soient n* et f:[0;1][0;1] une bijection de classe 𝒞1 de dérivée strictement positive. Montrer que l’on peut trouver une famille (xk)1kn vérifiant

k=1n1f(xk)=netk-1n<f(xk)<knpour tout k=1,,n.

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Édité le 08-11-2019

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