[<] Dérivation d'application réciproque [>] Théorème de Rolle

 
Exercice 1  4793  

Soit n. Vérifier que les dérivées n-ièmes des fonctions cos et sin s’expriment

dndxn(cos(x))=cos(x+nπ2)etdndxn(sin(x))=sin(x+nπ2).
 
Exercice 2  1362  Correction  

Calculer la dérivée n-ième de

  • (a)

    xx2(1+x)n

  • (b)

    x(x2+1)ex

Solution

On exploite la formule de Leibniz

  • (a)
    (x2(1+x)n)(n)=(n0)x2((1+x)n)(n)+(n1)(x2)((1+x)n)(n-1)+(n2)(x2)′′((1+x)n)(n-2)

    donc

    (x2(1+x)n)(n)=n!x2+2nn!x(1+x)+n(n-1)n!2(1+x)2.
  • (b)
    ((x2+1)ex)(n)=k=0n(nk)(x2+1)(k)(ex)(n-k)=(x2+2nx+n(n-1)+1)ex.
 
Exercice 3  1364  

En calculant de deux façons la dérivée n-ième de xx2n, établir

k=0n(nk)2.
 
Exercice 4  4794   

Soit n. Calculer les dérivées n-ièmes des fonctions suivantes

  • (a)

    xxp (avec p)

  • (b)

    x1x

  • (c)

    (x2-x+1)e-x

  • (d)

    xcos3(x)

  • (e)

    xcos(x)ex

  • (f)

    x1x2-1.

 
Exercice 5  251   Correction  

Calculer la dérivée n-ième de

x11-x2.

Solution

Par décomposition en éléments simples

11-x2=1211-x+1211+x.

Or

(11-x)(n)=n!(1-x)n+1et(11+x)(n)=(-1)nn!(1+x)n+1

donc

(11-x2)(n)=n!2(1-x)n+1+(-1)nn!2(1+x)n+1.
 
Exercice 6  253  

Déterminer les points d’annulation de la dérivée n-ième de la fonction arc tangente.

 
Exercice 7  743   Correction  

Calculer la dérivée n-ième de xcos3(x)

Solution

  • (a)

    On a

    cos(3x)=4cos3(x)-3cos(x)

    donc on peut linéariser

    cos3(x)=14(3cos(x)+cos(3x)).

    On sait

    (cos(x))(n)=cos(x+nπ/2)et(cos(3x))(n)=3ncos(3x+nπ/2)

    et l’on obtient donc

    (cos3(x))(n)=14(3cos(x+nπ/2)+3ncos(3x+nπ/2)).
 
Exercice 8  3863   Correction  

Calculons la dérivée n-ième de la fonction réelle tcos(t)et.

Solution

On peut écrire

cos(t)et=Re(e(1+i)t)

et donc

(cos(t)et)(n)=(Re(e(1+i)t))(n)=Re((1+i)ne(1+i)t).

Or (1+i)n=2n/2einπ/4 puis

(cos(t)et)(n)=2n/2etcos(t+nπ/4).
 
Exercice 9  1363   Correction  

Soit f: définie par f(x)=ex3sin(x). Montrer que

f(n)(x)=2nex3sin(x+nπ6).

Solution

Par récurrence sur n.
Pour n=0: ok
Supposons la propriété établie au rang n0.

f(n+1)(x)=(2nex3sin(x+nπ6))

donc

f(n+1)(x)=2n(3sin(x+nπ6)+cos(x+nπ6))ex3

puis

f(n+1)(x)=2n+1sin(x+(n+1)π6)ex3.

Récurrence établie.
On peut aussi écrire

f(x)=ex3sin(x)=Im(e(3+i)x)

et exploiter cela pour calculer directement la dérivée d’ordre n.

 
Exercice 10  252   Correction  

Soit f:xarctan(x).

  • (a)

    Montrer que pour tout n1

    f(n)(x)=(n-1)!cosn(f(x))sin(nf(x)+nπ/2).
  • (b)

    En déduire les racines de f(n) pour n1.

Solution

  • (a)

    Par récurrence sur n1.
    Pour n=1

    f(x) =11+x2 et
    cos(f(x))sin(f(x)+π/2) =cos2(arctan(x))=11+x2.

    Supposons la propriété vérifiée au rang n1

    f(n+1)(x)=n!1+x2[-sin(f(x))sin(nf(x)+nπ/2)+cos(nf(x)+nπ/2)cos(f(x))]cosn-1(f(x)).

    Or

    11+x2=cos2(f(x))

    donc

    f(n+1)(x)=n![sin(f(x))cos(nf(x)+(n+1)π/2)+sin(nf(x)+(n+1)π/2)cos(f(x))]cosn+1(f(x))

    puis

    f(n+1)(x)=n!sin((n+1)f(x)+(n+1)π/2)cosn+1(f(x)).

    Récurrence établie.

  • (b)

    Puisque arctan(x)]-π/2;π/2[, cos(f(x))0.
    Par suite,

    f(n)(x)=0sin(nf(x)+nπ/2)=0

    et donc

    f(n)(x)=0f(x)=kπn-π2 avec k{1,,n-1}.

    Au final, les racines de f(n) sont les

    cot(kπn) avec k{1,,n-1}.
 
Exercice 11  254   Correction  

Montrer que la dérivée d’ordre n de xn-1e1/x est

(-1)nx-(n+1)e1/x.

Solution

Par récurrence sur n.
Pour n=0: ok.
Supposons la propriété établie au rang n0.

(xne1/x)(n+1)=(x.xn-1e1/x)(n+1)=x(xn-1e1/x)(n+1)+(n+1)(xn-1e1/x)(n)

donc

(xne1/x)(n+1)=x((-1)nx-(n+1)e1/x)+(n+1)(-1)nx-(n+1)e1/x

ce qui donne

(xne1/x)(n+1)=(-1)n+1x-(n+2)e1/x.

Récurrence établie.

 
Exercice 12  568   

Soit f:]0;+[ une fonction indéfiniment dérivable. Pour tout x0 et tout n, établir l’identité

dndxn(xn-1f(1x))=(-1)nxn+1f(n)(1x).
 
Exercice 13  5023    

Soit n*.

  • (a)

    Montrer

    dndxn(xnln(x))=n!(ln(x)+1+12++1n)pour tout x>0.
  • (b)

    En déduire

    k=1n(-1)k-1k(nk)=1+12++1n.

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Édité le 08-11-2019

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