Exercice 1 4793

Soit $n \in ℕ$ . Vérifier que les dérivées $n$ -ièmes des fonctions $\cos$ et $\sin$ s’expriment

\frac{d^{n}}{d x^{n}} (\cos (x)) = \cos (x + n \frac{π}{2}) et \frac{d^{n}}{d x^{n}} (\sin (x)) = \sin (x + n \frac{π}{2}) .

Exercice 2 1362 Correction

Calculer la dérivée $n$ -ième de

(a)

$x \mapsto x^{2} {(1 + x)}^{n}$
(b)

$x \mapsto (x^{2} + 1) e^{x}$

Solution

On exploite la formule de Leibniz

(a)

${(x^{2} {(1 + x)}^{n})}^{(n)} = (\binom{n}{0}) x^{2} {({(1 + x)}^{n})}^{(n)} + (\binom{n}{1}) {(x^{2})}^{'} {({(1 + x)}^{n})}^{(n - 1)} + (\binom{n}{2}) {(x^{2})}^{''} {({(1 + x)}^{n})}^{(n - 2)}$

donc

${(x^{2} {(1 + x)}^{n})}^{(n)} = n! x^{2} + 2 n \cdot n! x (1 + x) + n (n - 1) \frac{n!}{2} {(1 + x)}^{2} .$
(b)

${((x^{2} + 1) e^{x})}^{(n)} = \sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) {(x^{2} + 1)}^{(k)} {(e^{x})}^{(n - k)} = (x^{2} + 2 n x + n (n - 1) + 1) e^{x} .$

Exercice 3 1364

En calculant de deux façons la dérivée $n$ -ième de $x \mapsto x^{2 n}$ , établir

\sum_{k = 0}^{n} {(\binom{n}{k})}^{2} .

Exercice 4 4794

Soit $n \in ℕ$ . Calculer les dérivées $n$ -ièmes des fonctions suivantes:

(a)

$x \mapsto x^{p}$ (avec $p \in ℕ$ )
(b)

$x \mapsto \frac{1}{x}$
(c)

$x \mapsto (x^{2} - x + 1) e^{- x}$
(d)

$x \mapsto \cos^{3} (x)$
(e)

$x \mapsto \cos (x) e^{x}$
(f)

$x \mapsto \frac{1}{x^{2} - 1}$ .

Exercice 5 251 Correction

Calculer la dérivée $n$ -ième de

x \mapsto \frac{1}{1 - x^{2}} .

Solution

Par décomposition en éléments simples

\frac{1}{1 - x^{2}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1 - x} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1 + x} .

{(\frac{1}{1 - x})}^{(n)} = \frac{n!}{{(1 - x)}^{n + 1}} et {(\frac{1}{1 + x})}^{(n)} = {(- 1)}^{n} \frac{n!}{{(1 + x)}^{n + 1}}

donc

{(\frac{1}{1 - x^{2}})}^{(n)} = \frac{n!}{2 {(1 - x)}^{n + 1}} + \frac{{(- 1)}^{n} n!}{2 {(1 + x)}^{n + 1}} .

Exercice 6 253

Déterminer les points d’annulation de la dérivée $n$ -ième de la fonction arc tangente.

Exercice 7 743 Correction

Calculer la dérivée $n$ -ième de $x \mapsto \cos^{3} (x)$

Solution

On a

\cos (3 x) = 4 \cos^{3} (x) - 3 \cos (x)

donc on peut linéariser

\cos^{3} (x) = \frac{1}{4} (3 \cos (x) + \cos (3 x)) .

On sait

{(\cos (x))}^{(n)} = \cos (x + n π / 2) et {(\cos (3 x))}^{(n)} = 3^{n} \cos (3 x + n π / 2)

et l’on obtient donc

{(\cos^{3} (x))}^{(n)} = \frac{1}{4} (3 \cos (x + n π / 2) + 3^{n} \cos (3 x + n π / 2)) .

Exercice 8 3863 Correction

Calculer la dérivée $n$ -ième de la fonction réelle $t \mapsto \cos (t) e^{t}$ .

Solution

On peut écrire

\cos (t) e^{t} = Re (e^{(1 + i) t})

et donc

{(\cos (t) e^{t})}^{(n)} = {(Re (e^{(1 + i) t}))}^{(n)} = Re ({(1 + i)}^{n} e^{(1 + i) t}) .

Or ${(1 + i)}^{n} = 2^{n / 2} e^{i n π / 4}$ puis

{(\cos (t) e^{t})}^{(n)} = 2^{n / 2} e^{t} \cos (t + n π / 4) .

Exercice 9 1363 Correction

Soit $f : ℝ \to ℝ$ définie par $f (x) = e^{x \sqrt{3}} \sin (x)$ . Montrer que

f^{(n)} (x) = 2^{n} e^{x \sqrt{3}} \sin (x + \frac{n π}{6}) .

Solution

Par récurrence sur $n \in ℕ$ .
Pour $n = 0$ : ok
Supposons la propriété établie au rang $n \geq 0$ .

f^{(n + 1)} (x) = {(2^{n} e^{x \sqrt{3}} \sin (x + \frac{n π}{6}))}^{'}

donc

f^{(n + 1)} (x) = 2^{n} (\sqrt{3} \sin (x + \frac{n π}{6}) + \cos (x + \frac{n π}{6})) e^{x \sqrt{3}}

puis

f^{(n + 1)} (x) = 2^{n + 1} \sin (x + \frac{(n + 1) π}{6}) e^{x \sqrt{3}} .

Récurrence établie.
On peut aussi écrire

f (x) = e^{x \sqrt{3}} \sin (x) = Im (e^{(\sqrt{3} + i) x})

et exploiter cela pour calculer directement la dérivée d’ordre $n$ .

Exercice 10 252 Correction

Soit $f : x \mapsto \arctan (x)$ .

(a)

Montrer que pour tout $n \geq 1$

$f^{(n)} (x) = (n - 1)! \cos^{n} (f (x)) \sin (n f (x) + n π / 2) .$
(b)

En déduire les racines de $f^{(n)}$ pour $n \geq 1$ .

Solution

(a)

Par récurrence sur $n \geq 1$ .
Pour $n = 1$

$f^{'} (x)$ $= \frac{1}{1 + x^{2}} et$

$\cos (f (x)) \sin (f (x) + π / 2)$ $= \cos^{2} (\arctan (x)) = \frac{1}{1 + x^{2}} .$

Supposons la propriété vérifiée au rang $n \geq 1$

$f^{(n + 1)} (x) = \frac{n!}{1 + x^{2}} [\begin{matrix} - \sin (f (x)) \sin (n f (x) + n π / 2) \\ + \cos (n f (x) + n π / 2) \cos (f (x)) \end{matrix}] \cos^{n - 1} (f (x)) .$

Or

$\frac{1}{1 + x^{2}} = \cos^{2} (f (x))$

donc

$f^{(n + 1)} (x) = n! [\begin{matrix} \sin (f (x)) \cos (n f (x) + (n + 1) π / 2) \\ + \sin (n f (x) + (n + 1) π / 2) \cos (f (x)) \end{matrix}] \cos^{n + 1} (f (x))$

puis

$f^{(n + 1)} (x) = n! \sin ((n + 1) f (x) + (n + 1) π / 2) \cos^{n + 1} (f (x)) .$

Récurrence établie.
(b)

Puisque $\arctan (x) \in] - π / 2; π / 2 [$ , $\cos (f (x)) \neq 0$ .
Par suite,

$f^{(n)} (x) = 0 \Leftrightarrow \sin (n f (x) + n π / 2) = 0$

et donc

$f^{(n)} (x) = 0 \Leftrightarrow f (x) = \frac{k π}{n} - \frac{π}{2} avec k \in {1, \dots, n - 1} .$

Au final, les racines de $f^{(n)}$ sont les

$\cot (\frac{k π}{n}) avec k \in {1, \dots, n - 1} .$

Exercice 11 254 Correction

Montrer que la dérivée d’ordre $n$ de $x^{n - 1} e^{1 / x}$ est

{(- 1)}^{n} x^{- (n + 1)} e^{1 / x} .

Solution

Par récurrence sur $n \in ℕ$ .
Pour $n = 0$ : ok.
Supposons la propriété établie au rang $n \geq 0$ .

{(x^{n} e^{1 / x})}^{(n + 1)} = {(x . x^{n - 1} e^{1 / x})}^{(n + 1)} = x {(x^{n - 1} e^{1 / x})}^{(n + 1)} + (n + 1) {(x^{n - 1} e^{1 / x})}^{(n)}

donc

{(x^{n} e^{1 / x})}^{(n + 1)} = x {({(- 1)}^{n} x^{- (n + 1)} e^{1 / x})}^{'} + (n + 1) {(- 1)}^{n} x^{- (n + 1)} e^{1 / x}

ce qui donne

{(x^{n} e^{1 / x})}^{(n + 1)} = {(- 1)}^{n + 1} x^{- (n + 2)} e^{1 / x} .

Récurrence établie.

Exercice 12 568

Soit $f :] 0; + \infty [\to ℝ$ une fonction indéfiniment dérivable. Pour tout $x \neq 0$ et tout $n \in ℕ$ , établir l’identité

\frac{d^{n}}{d x^{n}} (x^{n - 1} f (\frac{1}{x})) = \frac{{(- 1)}^{n}}{x^{n + 1}} f^{(n)} (\frac{1}{x}) .

Exercice 13 5023

Soit $n \in ℕ^{*}$ .

(a)

Montrer

$\frac{d^{n}}{d x^{n}} (x^{n} \ln (x)) = n! (\ln (x) + 1 + \frac{1}{2} + \dots + \frac{1}{n}) pour tout x > 0 .$
(b)

En déduire

$\sum_{k = 1}^{n} \frac{{(- 1)}^{k - 1}}{k} (\binom{n}{k}) = 1 + \frac{1}{2} + \dots + \frac{1}{n} .$

[<] Dérivation d'application réciproque [>] Théorème de Rolle

Édité le 29-08-2023

	$f^{'} (x)$	$= \frac{1}{1 + x^{2}} et$
	$\cos (f (x)) \sin (f (x) + π / 2)$	$= \cos^{2} (\arctan (x)) = \frac{1}{1 + x^{2}} .$

Calcul de dérivées n-ième