[<] Obtention d'inégalités

 
Exercice 1  4788  

Pour quels n{0,1,2,3}, la fonction fn définie sur suivante est-elle continue, dérivable, de classe 𝒞1?

fn:x{xnsin(1x) si x00 sinon.
 
Exercice 2  1387  Correction  

Soit f:[a;b] de classe 𝒞1.

Montrer que f est lipschitzienne.

Solution

f est continue sur le segment [a;b] elle y est donc bornée par un certain M.

Par l’inégalité des accroissements finis, f est M-lipschitzienne.

 
Exercice 3  1388  Correction  

Soit f: de classe 𝒞1 et périodique.
Montrer que f est lipschitzienne.

Solution

La dérivée de f est continue et périodique donc bornée par son max sur une période (qui existe par continuité sur un segment). Par l’inégalité des accroissements finis, il en découle que f est lipschitzienne.

 
Exercice 4  1389  Correction  

Montrer que la fonction f:+ définie par:

f(x)={x2ln(x) si x00 si x=0

est de classe 𝒞1 sur +.

Solution

f est continue sur + et de classe 𝒞1 sur ]0;+[.
Pour x>0, f(x)=2xln(x)+x.
Quand x0+, f(x)0 donc f est dérivable en 0 et f(0)=0.
De plus, f est continue en 0 et finalement f est de classe 𝒞1 sur +.

 
Exercice 5  1390  Correction  

Soit n, montrer que la fonction

fn:x{xn+1 si x00 sinon

est de classe 𝒞n sur .

Solution

Procédons par récurrence sur n.
Pour n=0, la fonction considérée est continue.
Supposons la propriété établie au rang n0.
fn+1 est continue sur et dérivable sur *.
Pour x0, fn+1(x)=(n+2)fn(x).
Quand x0, fn+1(x)0=(n+2)fn(0) donc fn+1 est dérivable en 0 et fn+1(0)=0.
Ainsi fn+1 est dérivable sur et fn+1=(n+2)fn.
Par hypothèse de récurrence, fn est de classe 𝒞n et donc fn+1 est de classe 𝒞n+1.
Récurrence établie.

 
Exercice 6  1368   Correction  

Soit f:+ de classe 𝒞2 telle que f(0)=0.
Montrer qu’il existe g:+ de classe 𝒞1 telle que

x+,f(x)=g(x2).

Solution

Posons g:+ définie par

g(t)=f(t).

Par composition g est de classe 𝒞1 sur +* et

x>0,g(t)=f(t)2t

g est continue et

g(t)=f(t)-f(0)2tt0f′′(0)2

donc g est dérivable et g est continue en 0.
Ainsi g est de classe 𝒞1.

 
Exercice 7  2819     MINES (MP)Correction  

On pose f(x)=e-1/x2 pour x réel non nul et f(0)=0.

  • (a)

    Montrer l’existence pour tout n d’un polynôme Pn tel que:

    x*,f(n)(x)=x-3nPn(x)f(x).

    Quel est le degré de Pn?

  • (b)

    Montrer que f est de classe 𝒞, toutes ses dérivées étant nulles en 0.

  • (c)

    Montrer que toute racine de Pn est réelle.

Solution

  • (a)

    Il suffit de raisonner par récurrence. On obtient P0(x)=1 et pour tout n,

    Pn+1=(2-3nX2)Pn+X3Pn.

    Par récurrence, pour n>0, deg(Pn)=2(n-1).

  • (b)

    f est continue en 0 et pour tout n*, f(n)(x)x00 dont par le théorème «  limite de la dérivée   », on peut conclure.

  • (c)

    P1=2 a toutes ses racines réelles.
    f(0)=limx+f(x)=limx-f(x)=0 donc par une généralisation du théorème de Rolle, on peut affirmer que f′′ s’annule sur ]0;+[ et ]-;0[. Ses annulations sont aussi des zéros de P2 qui est de degré 2, donc P2 a toutes ses racines réelles.
    f′′ s’annule aussi en 0 et en ±. Par la généralisation du théorème de Rolle, on obtient 2 annulations sur ]0;+[ et 2 annulations sur ]-;0[ qui seront toutes quatre zéros de P3 qui est un polynôme de degré 4,…on peut itérer la démarche.

 
Exercice 8  4795    

Soient φ et ψ les fonctions réelles définies sur par

φ(x)={e-1x si x>00 sinonetψ(x)={e2x2-1 si x]-1;1[0 sinon.
  • (a)

    Montrer que la fonction φ est de classe 𝒞 sur .

  • (b)

    En déduire que la fonction ψ est elle aussi de classe 𝒞 sur .

[<] Obtention d'inégalités



Édité le 08-11-2019

Bootstrap Bootstrap 3 - LaTeXML [LOGO] - Powered by MathJax Powered by MathJax