Par opérations, la fonction $f$ est définie et de classe ${𝒞}^1$ (et même ${𝒞}^{\mathrm{\infty }}$) sur $]0;+\mathrm{\infty }[$. Par un calcul direct,

On prolonge $f$ par continuité en $0$ en posant $f(0)=1$.

Aussi, pour $t>0$,

Par le théorème de la limite de la dérivée, $f$ est dérivable en $0$ et $f^{\prime }(0)=-1/2$. Au surplus, la fonction $f^{\prime }$ est continue en $0$ et $f$ est donc de classe ${𝒞}^1$ sur $[0;+\mathrm{\infty }[$.

$f^{\prime }$ est continue sur le segment $[a;b]$ elle y est donc bornée par un certain $M$.

Par l’inégalité des accroissements finis, $f$ est $M$-lipschitzienne.

La dérivée de $f$ est continue et périodique donc bornée par son max sur une période (qui existe par continuité sur un segment). Par l’inégalité des accroissements finis, il en découle que $f$ est lipschitzienne.

$f$ est continue sur ${ℝ}_{+}$ et de classe ${𝒞}^1$ sur $]0;+\mathrm{\infty }[$.
Pour $x>0$, $f^{\prime }(x)=2x\ln (x)+x$.
Quand $x\to 0^{+}$, $f^{\prime }(x)\to 0$ donc $f$ est dérivable en 0 et $f^{\prime }(0)=0$.
De plus, $f^{\prime }$ est continue en 0 et finalement $f$ est de classe ${𝒞}^1$ sur ${ℝ}_{+}$.

Procédons par récurrence sur $n\in \mathbb{N}$.
Pour $n=0$, la fonction considérée est continue.
Supposons la propriété établie au rang $n\ge 0$.
$f_{n+1}$ est continue sur $ℝ$ et dérivable sur ${ℝ}^{*}$.
Pour $x\ne 0$, $f_{n+1}^{\prime }(x)=(n+2)f_n(x)$.
Quand $x\to 0$, $f_{n+1}^{\prime }(x)\to 0=(n+2)f_n(0)$ donc $f_{n+1}$ est dérivable en 0 et $f_{n+1}^{\prime }(0)=0$.
Ainsi $f_{n+1}$ est dérivable sur $ℝ$ et $f_{n+1}^{\prime }=(n+2)f_n$.
Par hypothèse de récurrence, $f_n$ est de classe ${𝒞}^n$ et donc $f_{n+1}$ est de classe ${𝒞}^{n+1}$.
Récurrence établie.

Posons $g:{ℝ}_{+}\to ℝ$ définie par

Par composition $g$ est de classe ${𝒞}^1$ sur ${ℝ}_{+}^{*}$ et

$g$ est continue et

donc $g$ est dérivable et $g^{\prime }$ est continue en 0.
Ainsi $g$ est de classe ${𝒞}^1$.

• (a)

  Il suffit de raisonner par récurrence. On obtient $P_0(x)=1$ et pour tout $n\in \mathbb{N}$,

  $$P_{n+1}=(2-3n{X}^2)P_n+X^3{P}_n^{\prime }\text{.}$$

  Par récurrence, pour $n>0$, $\mathrm{deg}(P_n)=2(n-1)$.

• (b)

  $f$ est continue en 0 et pour tout $n\in {\mathbb{N}}^{*}$, $f^{(n)}(x)\underset{x\to 0}{\overset{}{\to }}0$ dont par le théorème «  limite de la dérivée   », on peut conclure.

• (c)

  $P_1=2$ a toutes ses racines réelles.
  $f^{\prime }(0)={lim}_{x\to +\mathrm{\infty }}{f}^{\prime }(x)={lim}_{x\to -\mathrm{\infty }}{f}^{\prime }(x)=0$ donc par une généralisation du théorème de Rolle, on peut affirmer que $f^{\prime \prime }$ s’annule sur $]0;+\mathrm{\infty }[$ et $]-\mathrm{\infty };0[$. Ses annulations sont aussi des zéros de $P_2$ qui est de degré 2, donc $P_2$ a toutes ses racines réelles.
  $f^{\prime \prime }$ s’annule aussi en 0 et en $\pm \mathrm{\infty }$. Par la généralisation du théorème de Rolle, on obtient 2 annulations sur $]0;+\mathrm{\infty }[$ et 2 annulations sur $]-\mathrm{\infty };0[$ qui seront toutes quatre zéros de $P_3$ qui est un polynôme de degré 4,…on peut itérer la démarche.