[<] Calcul de dérivées n-ième [>] Théorème de Rolle et fonction auxiliaire

 
Exercice 1  1370  Correction  

Soit f: dérivable. On suppose que f ne s’annule pas.
Montrer que f ne peut être périodique.

Solution

Si f est T-périodique avec T>0 alors en appliquant le théorème de Rolle entre par exemple 0 et T, la dérivée de f s’annule.

 
Exercice 2  1371  Correction  

Soient a,b,c. Montrer qu’il existe x]0;1[ tel que

4ax3+3bx2+2cx=a+b+c.

Solution

Soit φ:[0;1] définie par

φ(x)=ax4+bx3+cx2-(a+b+c)x

φ est dérivable et φ(0)=0=φ(1). Il suffit d’appliquer le théorème de Rolle pour conclure.

 
Exercice 3  5070  

Soit f:[0;1] une fonction dérivable telle que f(0)=f(1) et f(0)f(1)>0.

Montrer que f s’annule au moins deux fois sur ]0;1[.

 
Exercice 4  4790  

Soit f:I une application n fois dérivable.

On suppose que f s’annule en au moins n+1 points distincts de I. Montrer que la dérivée n-ième de f s’annule au moins une fois sur I.

 
Exercice 5  1376  Correction  

Soient n, a<b et f:[a;b] une fonction n fois dérivable.
Montrer que si

f(a)=f(a)==f(n-1)(a)=0etf(b)=0

alors il existe c]a;b[ tel que f(n)(c)=0.

Solution

En appliquant le théorème de Rolle à f entre a et b: il existe c1]a;b[ tel que f(c1)=0.
En appliquant le théorème de Rolle à f entre a et c1: il existe c2]a;c1[ tel que f′′(c2)=0.

En appliquant le théorème de Rolle à f(n-1) entre a et cn-1: il existe cn]a;cn-1[ tel que f(n)(cn)=0.
c=cn résout le problème.

 
Exercice 6  4797   

(Théorème de Rolle généralisé11 1 On peut proposer et établir de la même façon un énoncé général: pour a<b réels ou infinis, si f:]a;b[R est dérivable et présente des limites finies ou infinies égales en a et b alors la dérivée de f s’annule.)

Soit f: une fonction dérivable admettant les mêmes limites finies en + et -. Montrer qu’il existe c tel que f(c)=0.

 
Exercice 7  1374   Correction  

Soit f:[0;+[ une fonction dérivable telle que

lim+f=f(0).

Montrer qu’il existe c>0 tel que f(c)=0.

Solution

Si f est constante, la propriété est immédiate.
Sinon, il existe x0]0;+[ tel que f(x0)f(0).
Posons y=12(f(x0)+f(0)) qui est une valeur intermédiaire à f(0) et f(x0).
Par le théorème des valeurs intermédiaires, il existe a]0;x0[ tel que f(a)=y.
Puisque lim+f=f(0), y est une valeur intermédiaire à f(x0) et une valeur f(x1) avec x1 suffisamment grand. Par le théorème des valeurs intermédiaires, il existe b]x0;x1] tel que f(b)=y.
En appliquant le théorème de Rolle sur [a;b], on peut alors conclure.

 
Exercice 8  1373   Correction  

Soit f: dérivable telle que

lim-f=lim+f=+.

Montrer qu’il existe c tel que f(c)=0.

Solution

Puisque lim-f=+ et lim+f=+, il existe a<0 et b>0 tels que

f(a)>f(0)+1 et f(b)>f(0)+1.

En appliquant le théorème des valeurs intermédiaires entre a et 0, d’une part, et 0 et b d’autre part, il existe α]a;0[ et β]0;b[ tels que f(α)=f(0)+1=f(β).
En appliquant le théorème de Rolle entre α et β, il existe c]α;β[ tel que f(c)=0.

 
Exercice 9  1375  Correction  

Soit f:[a;b] dérivable vérifiant

f(a)=f(b)=0 et f(a)>0,f(b)>0.

Montrer qu’il existe c1,c2,c3]a;b[ tels que c1<c2<c3 et

f(c1)=f(c2)=f(c3)=0.

Solution

Puisque f(a)=0 et f(a)>0, il existe x1]a;b[ tel que f(x1)>0.
En effet, si pour tout x1]a;b[, f(x1)0 alors quand h0+, f(a+h)-f(a)h0 et donc f(a)0.
De même, puisque f(b)=0 et f(b)>0, il existe x2]a;b[ tel que f(x2)<0.
Puisque f prend une valeur positive et une valeur négative dans ]a;b[, par le théorème des valeurs intermédiaires, f s’y annule.
Ainsi il existe c2]a;b[ tel que f(c2)=0.
En appliquant le théorème de Rolle sur [a;c2] et [c2;b], on obtient c1 et c3.

 
Exercice 10  1377   Correction  

Soient a>0 et f une fonction réelle continue sur [0;a] et dérivable sur ]0;a].
On suppose

f(0)=0etf(a)f(a)<0.

Montrer qu’il existe c]0;a[ tel que f(c)=0.

Solution

Quitte à considérer -f, on peut supposer f(a)>0 et f(a)<0.
Puisque f(a)<0, il existe b]0;a[ tel que f(b)>f(a).
En appliquant le théorème de valeurs intermédiaires entre 0 et b, il existe α]0;b[ tel que f(α)=f(a).
En appliquant le théorème de Rolle entre α et a, on obtient c]α;a[]0;a[ tel que f(c)=0.

 
Exercice 11  4799   

(Théorème de Darboux)

Soit f:[a;b] une fonction dérivable

  • (a)

    On suppose f(a)<0 et f(b)>0. Montrer que la dérivée de f s’annule.

  • (b)

    Plus généralement, on considère y un réel strictement compris entre f(a) et f(b). Montrer que la dérivée de f prend la valeur y.

 
Exercice 12  262   Correction  

On pose f:x((x2-1)n)(n).

  • (a)

    Montrer que f est une fonction polynomiale de degré n.

  • (b)

    Calculer f(1) et f(-1).

  • (c)

    Montrer que f possède exactement n racines distinctes toutes dans ]-1;1[.

Solution

  • (a)

    (X2-1)n est de degré 2n donc ((X2-1)n)(n) est de degré n.

  • (b)

    Introduisons g:x(x2-1)n de sorte que f=g(n)
    Quand x1 On a

    g(x)=(x+1)n(x-1)n=2n(x-1)n+o((x-1)n).

    Par la formule de Taylor-Young, on a parallèlement

    g(x)=g(n)(1)n!(x-1)n+o((x-1)n)

    donc

    f(1)=g(n)(1)=2nn!

    et de manière similaire

    f(-1)=(-1)n2nn!
  • (c)

    1 et -1 sont racines de multiplicité n de g:x(x2-1)n, 1 et -1 sont donc racines de g,g,,g(n-1).
    En appliquant le théorème de Rolle, on montre que g,g′′,,g(n)=f admettent resp. 1,2,,n racines dans ]-1;1[. Puisque f est de degré n, celles-ci sont simples et il ne peut y en avoir d’autres.

 
Exercice 13  4802   

Soit f: définie par f(x)=e-x2.

Montrer que pour tout n, il existe un polynôme réel Pn tel que

f(n)(x)=Pn(x)e-x2pour tout x.

Établir que Pn possède exactement n racines réelles.

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Édité le 08-11-2019

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