Exercice 1 1370 Correction

Soit $f : ℝ \to ℝ$ dérivable. On suppose que $f^{'}$ ne s’annule pas.
Montrer que $f$ ne peut être périodique.

Solution

Si $f$ est $T$ -périodique avec $T > 0$ alors en appliquant le théorème de Rolle entre par exemple $0$ et $T$ , la dérivée de $f$ s’annule.

Exercice 2 1371 Correction

Soient $a, b, c \in ℝ$ . Montrer qu’il existe $x \in] 0; 1 [$ tel que

4 a x^{3} + 3 b x^{2} + 2 c x = a + b + c .

Solution

Soit $φ : [0; 1] \to ℝ$ définie par

φ (x) = a x^{4} + b x^{3} + c x^{2} - (a + b + c) x

$φ$ est dérivable et $φ (0) = 0 = φ (1)$ . Il suffit d’appliquer le théorème de Rolle pour conclure.

Exercice 3 5070

Soit $f : [0; 1] \to ℝ$ une fonction dérivable telle que $f (0) = f (1)$ et $f^{'} (0) f^{'} (1) > 0$ .

Montrer que $f^{'}$ s’annule au moins deux fois sur $] 0; 1 [$ .

Exercice 4 4790

Soit $f : I \to ℝ$ une application $n$ fois dérivable.

On suppose que $f$ s’annule en au moins $n + 1$ points distincts de $I$ . Montrer que la dérivée $n$ -ième de $f$ s’annule au moins une fois sur $I$ .

Exercice 5 1376 Correction

Soient $n \in ℕ$ , $a < b \in ℝ$ et $f : [a; b] \to ℝ$ une fonction $n$ fois dérivable.
Montrer que si

f (a) = f^{'} (a) = \dots = f^{(n - 1)} (a) = 0 et f (b) = 0

alors il existe $c \in] a; b [$ tel que $f^{(n)} (c) = 0$ .

Solution

En appliquant le théorème de Rolle à $f$ entre $a$ et $b$ : il existe $c_{1} \in] a; b [$ tel que $f^{'} (c_{1}) = 0$ .
En appliquant le théorème de Rolle à $f^{'}$ entre $a$ et $c_{1}$ : il existe $c_{2} \in] a; c_{1} [$ tel que $f^{''} (c_{2}) = 0$ .
…
En appliquant le théorème de Rolle à $f^{(n - 1)}$ entre $a$ et $c_{n - 1}$ : il existe $c_{n} \in] a; c_{n - 1} [$ tel que $f^{(n)} (c_{n}) = 0$ .
$c = c_{n}$ résout le problème.

Exercice 6 4797

(Théorème de Rolle généralisé¹¹ 1 On peut proposer et établir de la même façon un énoncé général: pour $a < b$ réels ou infinis, si $f :] a; b [\to R$ est dérivable et présente des limites finies ou infinies égales en $a$ et $b$ alors la dérivée de $f$ s’annule.)

Soit $f : ℝ \to ℝ$ une fonction dérivable admettant les mêmes limites finies en $+ \infty$ et $- \infty$ . Montrer qu’il existe $c \in ℝ$ tel que $f^{'} (c) = 0$ .

Exercice 7 1374 Correction

Soit $f : [0; + \infty [\to ℝ$ une fonction dérivable telle que

lim_{+ \infty} f = f (0) .

Montrer qu’il existe $c > 0$ tel que $f^{'} (c) = 0$ .

Solution

Si $f$ est constante, la propriété est immédiate.
Sinon, il existe $x_{0} \in] 0; + \infty [$ tel que $f (x_{0}) \neq f (0)$ .
Posons $y = \frac{1}{2} (f (x_{0}) + f (0))$ qui est une valeur intermédiaire à $f (0)$ et $f (x_{0})$ .
Par le théorème des valeurs intermédiaires, il existe $a \in] 0; x_{0} [$ tel que $f (a) = y$ .
Puisque ${lim}_{+ \infty} f = f (0)$ , $y$ est une valeur intermédiaire à $f (x_{0})$ et une valeur $f (x_{1})$ avec $x_{1}$ suffisamment grand. Par le théorème des valeurs intermédiaires, il existe $b \in] x_{0}; x_{1}]$ tel que $f (b) = y$ .
En appliquant le théorème de Rolle sur $[a; b]$ , on peut alors conclure.

Exercice 8 1373 Correction

Soit $f : ℝ \to ℝ$ dérivable telle que

lim_{- \infty} f = lim_{+ \infty} f = + \infty .

Montrer qu’il existe $c \in ℝ$ tel que $f^{'} (c) = 0$ .

Solution

Puisque ${lim}_{- \infty} f = + \infty$ et ${lim}_{+ \infty} f = + \infty$ , il existe $a < 0$ et $b > 0$ tels que

f (a) > f (0) + 1 et f (b) > f (0) + 1 .

En appliquant le théorème des valeurs intermédiaires entre $a$ et 0, d’une part, et $0$ et $b$ d’autre part, il existe $α \in] a; 0 [$ et $β \in] 0; b [$ tels que $f (α) = f (0) + 1 = f (β)$ .
En appliquant le théorème de Rolle entre $α$ et $β$ , il existe $c \in] α; β [\subset ℝ$ tel que $f^{'} (c) = 0$ .

Exercice 9 1375 Correction

Soit $f : [a; b] \to ℝ$ dérivable vérifiant

f (a) = f (b) = 0 et f^{'} (a) > 0, f^{'} (b) > 0 .

Montrer qu’il existe $c_{1}, c_{2}, c_{3} \in] a; b [$ tels que $c_{1} < c_{2} < c_{3}$ et

f^{'} (c_{1}) = f (c_{2}) = f^{'} (c_{3}) = 0 .

Solution

Puisque $f (a) = 0$ et $f^{'} (a) > 0$ , il existe $x_{1} \in] a; b [$ tel que $f (x_{1}) > 0$ .
En effet, si pour tout $x_{1} \in] a; b [$ , $f (x_{1}) \leq 0$ alors quand $h \to 0^{+}$ , $\frac{f (a + h) - f (a)}{h} \leq 0$ et donc $f^{'} (a) \leq 0$ .
De même, puisque $f (b) = 0$ et $f^{'} (b) > 0$ , il existe $x_{2} \in] a; b [$ tel que $f (x_{2}) < 0$ .
Puisque $f$ prend une valeur positive et une valeur négative dans $] a; b [$ , par le théorème des valeurs intermédiaires, $f$ s’y annule.
Ainsi il existe $c_{2} \in] a; b [$ tel que $f (c_{2}) = 0$ .
En appliquant le théorème de Rolle sur $[a; c_{2}]$ et $[c_{2}; b]$ , on obtient $c_{1}$ et $c_{3}$ .

Exercice 10 1377 Correction

Soient $a > 0$ et $f$ une fonction réelle continue sur $[0; a]$ et dérivable sur $] 0; a]$ .
On suppose

f (0) = 0 et f (a) f^{'} (a) < 0 .

Montrer qu’il existe $c \in] 0; a [$ tel que $f^{'} (c) = 0$ .

Solution

Quitte à considérer $- f$ , on peut supposer $f (a) > 0$ et $f^{'} (a) < 0$ .
Puisque $f^{'} (a) < 0$ , il existe $b \in] 0; a [$ tel que $f (b) > f (a)$ .
En appliquant le théorème de valeurs intermédiaires entre 0 et $b$ , il existe $α \in] 0; b [$ tel que $f (α) = f (a)$ .
En appliquant le théorème de Rolle entre $α$ et $a$ , on obtient $c \in] α; a [\subset] 0; a [$ tel que $f^{'} (c) = 0$ .

Exercice 11 4799

(Théorème de Darboux)

Soit $f : [a; b] \to ℝ$ une fonction dérivable

(a)

On suppose $f^{'} (a) < 0$ et $f^{'} (b) > 0$ . Montrer que la dérivée de $f$ s’annule.
(b)

Plus généralement, on considère $y$ un réel strictement compris entre $f^{'} (a)$ et $f^{'} (b)$ . Montrer que la dérivée de $f$ prend la valeur $y$ .

Exercice 12 262 Correction

Pour $n \in ℕ$ , on pose $f_{n}$ la dérivée $n$ -ième de la fonction $x \mapsto {(x^{2} - 1)}^{n}$ .

(a)

Montrer que $f_{n}$ est une fonction polynomiale de degré $n$ .
(b)

Calculer $f_{n} (1)$ et $f_{n} (- 1)$ .
(c)

Montrer que $f_{n}$ possède exactement $n$ racines distinctes toutes dans $] - 1; 1 [$ .

Solution

(a)

${(X^{2} - 1)}^{n}$ est de degré $2 n$ donc ${({(X^{2} - 1)}^{n})}^{(n)}$ est de degré $n$ .
(b)

Introduisons $g_{n} : x \mapsto {(x^{2} - 1)}^{n}$ de sorte que $f_{n} = g_{n}^{(n)}$ .

On a

$g_{n} (x) = {(x + 1)}^{n} {(x - 1)}^{n} \underset{x \to 1}{=} 2^{n} {(x - 1)}^{n} + o ({(x - 1)}^{n}) .$

Par la formule de Taylor-Young, on a parallèlement

$g_{n} (x) \underset{x \to 1}{=} \frac{g_{n}^{(n)} (1)}{n!} {(x - 1)}^{n} + o ({(x - 1)}^{n})$

donc

$f_{n} (1) = g_{n}^{(n)} (1) = 2^{n} n! .$

De manière similaire,

$f_{n} (- 1) = {(- 1)}^{n} 2^{n} n! .$
(c)

1 et $- 1$ sont racines de multiplicité $n$ de $g_{n} : x \mapsto {(x^{2} - 1)}^{n}$ , 1 et $- 1$ sont donc racines des fonctions $g_{n}, g_{n}^{'}, \dots, g_{n}^{(n - 1)}$ .

En appliquant successivement le théorème de Rolle, on montre que $g_{n}^{'}, g_{n}^{''}, \dots, g_{n}^{(n)} = f_{n}$ admettent resp. $1,2, \dots, n$ racines dans $] - 1; 1 [$ .

Puisque $f_{n}$ est une fonction polynomiale de degré $n$ , ces racines sont simples et il ne peut y en avoir d’autres.

Exercice 13 4802

Soit $f : ℝ \to ℝ$ définie par $f (x) = e^{- x^{2}}$ .

Montrer que pour tout $n \in ℕ$ , il existe un polynôme réel $P_{n}$ tel que

f^{(n)} (x) = P_{n} (x) e^{- x^{2}} pour tout x \in ℝ .

Établir que $P_{n}$ possède exactement $n$ racines réelles.

[<] Calcul de dérivées n-ième [>] Théorème de Rolle et fonction auxiliaire

Édité le 29-08-2023