[<] Théorème des accroissements finis [>] Classe d'une fonction

 
Exercice 1  4898  

Pour tout réel x]-1;+[, montrer11 1 Cette inégalité aussi sera souvent utilisée.

ln(1+x)x.
 
Exercice 2  5268   
  • (a)

    Montrer

    x-16x3sin(x)xpour tout x0.
  • (b)

    Que devient cet encadrement pour x négatif?

  • (c)

    Montrer

    sin(x)2πxpour tout x[0;π/2].
 
Exercice 3  4792  

Montrer

|sin(y)-sin(x)||y-x|pour tous x et y réels.
 
Exercice 4  1383  Correction  

Établir les inégalités suivantes:

  • (a)

    x]-1;+[,x1+xln(1+x)x

  • (b)

    x+,ex1+x+x22.

Solution

  • (a)

    Soit f:xx-ln(1+x) définie et de classe 𝒞 sur ]-1;+[.

    f(x)=x1+x.

    Le tableau des variations de f est alors

    x-10+f(x)+0+.

    On en déduit que f est positive.
    Soit g:xln(1+x)-x/(1+x) définie et de classe 𝒞 sur ]-1;+[.

    g(x)=x(1+x)2.

    Le tableau des variations de g est alors

    x-10+g(x)+0+.

    On en déduit que g est positive.

  • (b)

    Soit f:xex-1-x-12x2 définie et de classe 𝒞 sur +.

    f′′′(x)=ex0.

    On obtient les variations suivantes

    x0+f′′(x)0+f(x)0+f(x)0+.

    On en déduit que f est positive.

 
Exercice 5  1402  Correction  

Soit p]0;1].

  • (a)

    Établir que pour tout t0, on a

    (1+t)p1+tp.
  • (b)

    En déduire que pour tout x,y0,

    (x+y)pxp+yp.

Solution

  • (a)

    Étudions la fonction δ:t1+tp-(1+t)p définie continue sur + et dérivable sur +*.
    On a δ(0)=0 et pour t>0,

    δ(t)=p(tp-1-(1+t)p-1).

    Puisque p-10, tp-1(1+t)p-1 et donc δ(t)0. On en déduit que pour tout t0, δ(t)0 puis l’inégalité demandée.

  • (b)

    Pour x=0, l’inégalité est immédiate et pour x>0,

    (x+y)p=xp(1+yx)pxp(1+(yx)p)=xp+yp.
 
Exercice 6  4791  

Montrer l’encadrement

xx+1<ln(1+x)<xpour tout x>0.
 
Exercice 7  1385   Correction  

Montrer que

x>0,11+x<ln(1+x)-ln(x)<1x.

En déduire, pour k{0,1},

limn+p=n+1kn1p.

Solution

On applique le théorème des accroissements finis à xln(x) entre x et x+1.
Il existe c]x;x+1[ tel que

ln(1+x)-ln(x)=1c.

Or x<c<x+1 donne

1x+1<1c<1x

puis l’encadrement voulu.

p=n+1knln(p+1)-ln(p)p=n+1kn1pp=n+1knln(p)-ln(p-1)

donne

ln(kn+1n+1)p=n+1kn1pln(k).

Par le théorème des gendarmes

limn+p=n+1kn1p=ln(k).

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Édité le 08-11-2019

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