Exercice 1 4898

Pour tout réel $x \in] - 1; + \infty [$ , montrer¹¹ 1 Cette inégalité aussi sera souvent utilisée.

\ln (1 + x) \leq x .

Exercice 2 5268

Exercice 3 4792

Montrer

| \sin (y) - \sin (x) | \leq | y - x | pour tous x et y réels.

Exercice 4 1383 Correction

Établir les inégalités suivantes:

Solution

Exercice 5 1402 Correction

Soit $p \in] 0; 1]$ .

(a)

Établir que pour tout $t \geq 0$ , on a

${(1 + t)}^{p} \leq 1 + t^{p} .$
(b)

En déduire que pour tout $x, y \geq 0$ ,

${(x + y)}^{p} \leq x^{p} + y^{p} .$

Solution

(a)

Étudions la fonction $δ : t \mapsto 1 + t^{p} - {(1 + t)}^{p}$ définie continue sur $ℝ_{+}$ et dérivable sur $ℝ_{+}^{*}$ .
On a $δ (0) = 0$ et pour $t > 0$ ,

$δ^{'} (t) = p (t^{p - 1} - {(1 + t)}^{p - 1}) .$

Puisque $p - 1 \leq 0$ , $t^{p - 1} \geq {(1 + t)}^{p - 1}$ et donc $δ^{'} (t) \geq 0$ . On en déduit que pour tout $t \geq 0$ , $δ (t) \geq 0$ puis l’inégalité demandée.
(b)

Pour $x = 0$ , l’inégalité est immédiate et pour $x > 0$ ,

${(x + y)}^{p} = x^{p} {(1 + \frac{y}{x})}^{p} \leq x^{p} (1 + {(\frac{y}{x})}^{p}) = x^{p} + y^{p} .$

Exercice 6 4791

Montrer l’encadrement

\frac{x}{x + 1} < \ln (1 + x) < x pour tout x > 0 .

Exercice 7 1385 Correction

Montrer que

\forall x > 0, \frac{1}{1 + x} < \ln (1 + x) - \ln (x) < \frac{1}{x} .

En déduire, pour $k \in ℕ ∖ {0,1}$ ,

lim_{n \to + \infty} \sum_{p = n + 1}^{k n} \frac{1}{p} .

Solution

On applique le théorème des accroissements finis à $x \mapsto \ln (x)$ entre $x$ et $x + 1$ .
Il existe $c \in] x; x + 1 [$ tel que

\ln (1 + x) - \ln (x) = \frac{1}{c} .

Or $x < c < x + 1$ donne

\frac{1}{x + 1} < \frac{1}{c} < \frac{1}{x}

puis l’encadrement voulu.

\sum_{p = n + 1}^{k n} \ln (p + 1) - \ln (p) \leq \sum_{p = n + 1}^{k n} \frac{1}{p} \leq \sum_{p = n + 1}^{k n} \ln (p) - \ln (p - 1)

donne

\ln (\frac{k n + 1}{n + 1}) \leq \sum_{p = n + 1}^{k n} \frac{1}{p} \leq \ln (k) .

Par le théorème des gendarmes

lim_{n \to + \infty} \sum_{p = n + 1}^{k n} \frac{1}{p} = \ln (k) .

Édité le 29-08-2023

Obtention d'inégalités