[>] Calcul de dérivées

 
Exercice 1  4787  

Étudier la dérivabilité de la fonction f: définie par f(x)=x1+|x|.

 
Exercice 2  736  Correction  

Sur quelles parties de , les fonctions suivantes sont-elles continues, dérivables?

  • (a)

    xx|x|

  • (b)

    xx|x|+1

Solution

  • (a)

    f(x)=x|x| est définie et continue sur .
    Par opérations, f est dérivable sur *.
    Quand h0+,

    f(h)-f(0)h=h0

    et quand h0-,

    f(h)-f(0)h=-h0

    f est dérivable en 0 et f(0)=0.

  • (b)

    f(x)=x|x|+1 est définie et continue sur .
    Par opérations f est dérivable sur *.
    Quand h0,

    f(h)-f(0)h=1|h|+11

    donc f est dérivable en 0 et f(0)=1.

 
Exercice 3  1354  Correction  

Étudier la dérivabilité des fonctions suivantes:

  • (a)

    xx2-x3

  • (b)

    x(x2-1)arccos(x2)

Solution

  • (a)

    f(x)=x2-x3 est définie et continue sur ]-;1].
    Par opérations, f est dérivable sur ]-;0[]0;1[.
    Quand h0+,

    f(h)-f(0)h=1-h1

    et quand h0-,

    f(h)-f(0)h-1

    f n’est pas dérivable en 0 mais y admet un nombre dérivée à droite et à gauche.
    Quand h0-,

    f(1+h)-f(1)h=-h-2h2-h3h-

    f n’est pas dérivable en 1, il y a une tangente verticale à son graphe en cet abscisse.

  • (b)

    f(x)=(x2-1)arccos(x2) est définie et continue sur [-1;1].
    Par opération f est dérivable sur ]-1;1[.
    Quand h0-,

    f(1+h)-f(1)h=(2+h)arccos((1+h)2)0

    f est dérivable en 1 et f(1)=0.
    Par parité, f est aussi dérivable en -1 et f(-1)=0.

 
Exercice 4  1360  

Soit f une fonction complexe dérivable définie sur un intervalle I. On suppose que la fonction f ne s’annule pas, montrer que la fonction |f|:I est dérivable et exprimer sa dérivée.

 
Exercice 5  247  Correction  

Sur quelles parties de , les fonctions suivantes sont-elles continues, dérivables?

  • (a)

    f:x{xsin(1/x) si x00 sinon

  • (b)

    g:x{x2sin(1/x) si x00 sinon

Solution

  • (a)

    f est définie et continue sur .
    Par opérations, f est dérivable sur *.
    Quand h0,

    f(h)-f(0)h=sin(1h)

    n’a pas de limite. La fonction f n’est pas dérivable en 0.

  • (b)

    g est définie et continue sur .
    Par opérations, g est dérivable sur *.
    Quand h0,

    g(h)-g(0)h=hsin(1h)0.

    La fonction g est dérivable en 0 et g(0)=0.

 
Exercice 6  4789   

Déterminer un exemple:

  • (a)

    de fonction dérivable sur mais de dérivée discontinue en 0;

  • (b)

    de fonction dérivable sur ]0;+[ de limite 0 en + mais dont la dérivée n’est pas de limite 0 en +;

  • (c)

    de fonction dérivable sur ]0;+[ de limite + en 0 mais dont la dérivée n’est pas de limite + en 0;

  • (d)

    de fonction dérivable sur , de nombre dérivé strictement positif en 0 mais croissante sur aucun voisinage de 0.

 
Exercice 7  1359   

Soient f:[0;1] une fonction dérivable et φ:[0;1] définie par:

φ(x)={f(2x) si x[0;1/2]f(2x-1) sinon.

À quelle(s) condition(s) la fonction φ est-elle dérivable?

 
Exercice 8  1357  Correction  

(Dérivée symétrique)

Soient f une fonction définie sur un intervalle I et a un point de I qui n’en soit pas une extrémité. Si le rapport

12h(f(a+h)-f(a-h))

admet une limite finie quand h tend vers 0, celle-ci est appelée dérivée symétrique de f en a.

  • (a)

    Montrer que, si f est dérivable à droite et à gauche en a, elle admet une dérivée symétrique en a.

  • (b)

    Que dire de la réciproque?

Solution

  • (a)

    Si fd(a) et fg(a) existent alors

    12h(f(a+h)-f(a-h))=12h(f(a+h)-f(a))+1-2h(f(a-h)-f(a))

    et donc

    12h(f(a+h)-f(a-h))h012(fd(a)+fg(a)).
  • (b)

    Pour f(x)=|x|, la dérivée symétrique en 0 existe alors que la fonction n’y est pas dérivable ni à droite, ni à gauche.

 
Exercice 9  1358  

Soit f: une fonction dérivable en a. Étudier

limxaxaxf(a)-af(x)x-a.
 
Exercice 10  4796    

Soit f:[0;+[ une fonction continue. Montrer que f est dérivable en 0 si, et seulement si, le quotient

f(2x)-f(x)x

admet une limite finie quand x tend vers 0+.

 
Exercice 11  4803    

Soit f:[a;b[ une fonction continue et dérivable à droite en tout point.

  • (a)

    Montrer que f est strictement croissante si fd(x)>0 pour tout x[a;b[.

  • (b)

    Montrer que f est croissante si fd(x)0 pour tout x[a;b[.

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Édité le 08-11-2019

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