Exercice 1 4787

Étudier la dérivabilité de la fonction $f : ℝ \to ℝ$ définie par $f (x) = \frac{x}{1 + | x |}$ .

Exercice 2 736 Correction

Sur quelles parties de $ℝ$ , les fonctions suivantes sont-elles continues, dérivables?

(a)

$x \mapsto x | x |$
(b)

$x \mapsto \frac{x}{| x | + 1}$

Solution

(a)

$f (x) = x | x |$ est définie et continue sur $ℝ$ .
Par opérations, $f$ est dérivable sur $ℝ^{*}$ .
Quand $h \to 0^{+}$ ,

$\frac{f (h) - f (0)}{h} = h \to 0$

et quand $h \to 0^{-}$ ,

$\frac{f (h) - f (0)}{h} = - h \to 0$

$f$ est dérivable en 0 et $f^{'} (0) = 0$ .
(b)

$f (x) = \frac{x}{| x | + 1}$ est définie et continue sur $ℝ$ .
Par opérations $f$ est dérivable sur $ℝ^{*}$ .
Quand $h \to 0$ ,

$\frac{f (h) - f (0)}{h} = \frac{1}{| h | + 1} \to 1$

donc $f$ est dérivable en 0 et $f^{'} (0) = 1$ .

Exercice 3 1354 Correction

Étudier la dérivabilité des fonctions suivantes:

(a)

$x \mapsto \sqrt{x^{2} - x^{3}}$
(b)

$x \mapsto (x^{2} - 1) \arccos (x^{2})$

Solution

(a)

$f (x) = \sqrt{x^{2} - x^{3}}$ est définie et continue sur $] - \infty; 1]$ .
Par opérations, $f$ est dérivable sur $] - \infty; 0 [\cup] 0; 1 [$ .
Quand $h \to 0^{+}$ ,

$\frac{f (h) - f (0)}{h} = \sqrt{1 - h} \to 1$

et quand $h \to 0^{-}$ ,

$\frac{f (h) - f (0)}{h} \to - 1$

$f$ n’est pas dérivable en 0 mais y admet un nombre dérivée à droite et à gauche.
Quand $h \to 0^{-}$ ,

$\frac{f (1 + h) - f (1)}{h} = \frac{\sqrt{- h - 2 h^{2} - h^{3}}}{h} \to - \infty$

$f$ n’est pas dérivable en 1, il y a une tangente verticale à son graphe en cet abscisse.
(b)

$f (x) = (x^{2} - 1) \arccos (x^{2})$ est définie et continue sur $[- 1; 1]$ .
Par opération $f$ est dérivable sur $] - 1; 1 [$ .
Quand $h \to 0^{-}$ ,

$\frac{f (1 + h) - f (1)}{h} = (2 + h) \arccos ({(1 + h)}^{2}) \to 0$

$f$ est dérivable en 1 et $f^{'} (1) = 0$ .
Par parité, $f$ est aussi dérivable en $- 1$ et $f^{'} (- 1) = 0$ .

Exercice 4 1360

Soit $f$ une fonction complexe dérivable définie sur un intervalle $I$ . On suppose que la fonction $f$ ne s’annule pas, montrer que la fonction $| f | : I \to ℝ$ est dérivable et exprimer sa dérivée.

Exercice 5 247 Correction

Sur quelles parties de $ℝ$ , les fonctions suivantes sont-elles continues, dérivables?

(a)

$f : x \mapsto {\begin{matrix} x \sin (1 / x) & si x \neq 0 \\ 0 & sinon \end{matrix}$
(b)

$g : x \mapsto {\begin{matrix} x^{2} \sin (1 / x) & si x \neq 0 \\ 0 & sinon \end{matrix}$

Solution

(a)

$f$ est définie et continue sur $ℝ$ .
Par opérations, $f$ est dérivable sur $ℝ^{*}$ .
Quand $h \to 0$ ,

$\frac{f (h) - f (0)}{h} = \sin (\frac{1}{h})$

n’a pas de limite. La fonction $f$ n’est pas dérivable en $0$ .
(b)

$g$ est définie et continue sur $ℝ$ .
Par opérations, $g$ est dérivable sur $ℝ^{*}$ .
Quand $h \to 0$ ,

$\frac{g (h) - g (0)}{h} = h \sin (\frac{1}{h}) \to 0 .$

La fonction $g$ est dérivable en $0$ et $g^{'} (0) = 0$ .

Exercice 6 4789

Déterminer un exemple:

(a)

de fonction dérivable sur $ℝ$ mais de dérivée discontinue en $0$ ;
(b)

de fonction dérivable sur $] 0; + \infty [$ de limite $0$ en $+ \infty$ mais dont la dérivée n’est pas de limite $0$ en $+ \infty$ ;
(c)

de fonction dérivable sur $] 0; + \infty [$ de limite $+ \infty$ en $0$ mais dont la dérivée n’est pas de limite $+ \infty$ en $0$ ;
(d)

de fonction dérivable sur $ℝ$ , de nombre dérivé strictement positif en $0$ mais croissante sur aucun voisinage de $0$ .

Exercice 7 1359

Soient $f : [0; 1] \to ℝ$ une fonction dérivable et $φ : [0; 1] \to ℝ$ définie par:

φ (x) = {\begin{matrix} f (2 x) & si x \in [0; 1 / 2] \\ f (2 x - 1) & sinon. \end{matrix}

À quelle(s) condition(s) la fonction $φ$ est-elle dérivable?

Exercice 8 1357 Correction

(Dérivée symétrique)

Soient $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ et $a$ un point de $I$ qui n’en soit pas une extrémité. Si le rapport

\frac{1}{2 h} (f (a + h) - f (a - h))

admet une limite finie quand $h$ tend vers 0, celle-ci est appelée dérivée symétrique de $f$ en $a$ .

(a)

Montrer que, si $f$ est dérivable à droite et à gauche en $a$ , elle admet une dérivée symétrique en $a$ .
(b)

Que dire de la réciproque?

Solution

(a)

Si $f_{d}^{'} (a)$ et $f_{g}^{'} (a)$ existent alors

$\frac{1}{2 h} (f (a + h) - f (a - h)) = \frac{1}{2 h} (f (a + h) - f (a)) + \frac{1}{- 2 h} (f (a - h) - f (a))$

et donc

$\frac{1}{2 h} (f (a + h) - f (a - h)) \to_{h \to 0}^{} \frac{1}{2} (f_{d}^{'} (a) + f_{g}^{'} (a)) .$
(b)

Pour $f (x) = \sqrt{| x |}$ , la dérivée symétrique en 0 existe alors que la fonction n’y est pas dérivable ni à droite, ni à gauche.

Exercice 9 1358

Soit $f : ℝ \to ℝ$ une fonction dérivable en $a \in ℝ$ . Étudier

lim_{\begin{matrix} x \to a \\ x \neq a \end{matrix}} \frac{x f (a) - a f (x)}{x - a} .

Exercice 10 4796

Soit $f : [0; + \infty [\to ℝ$ une fonction continue. Montrer que $f$ est dérivable en $0$ si, et seulement si, le quotient

\frac{f (2 x) - f (x)}{x}

admet une limite finie quand $x$ tend vers $0^{+}$ .

Exercice 11 4803

Soit $f : [a; b [\to ℝ$ une fonction continue et dérivable à droite en tout point.

(a)

Montrer que, si $f_{d}^{'} (x) > 0$ pour tout $x \in [a; b [$ , alors $f$ est strictement croissante.
(b)

Montrer que, si $f_{d}^{'} (x) \geq 0$ pour tout $x \in [a; b [$ , alors $f$ est croissante.

[>] Calcul de dérivées

Édité le 29-08-2023

Dérivabilité