[<] Calcul de dérivées [>] Dérivation d'application réciproque

 
Exercice 1  4901  

Étudier les variations de la fonction f définie sur par la relation

f(x)=xex+1.
 
Exercice 2  4905  

On considère la fonction f définie sur par f(x)=xe-x.

  • (a)

    Étudier les variations de la fonction f.

  • (b)

    Calculer la dérivée seconde de f. En quelle valeur x0 s’annule-t-elle?

  • (c)

    Vérifier que la courbe représentative de f traverse11 1 Cela signifie que la courbe représentative de f se situe d’un côté au-dessus de sa tangente et de l’autre en dessous. sa tangente en x0.

  • (d)

    Donner l’allure du graphe de f.

 
Exercice 3  1356  

Pour λ, on considère la fonction fλ: définie par

fλ(x)=x+λx2+1.
  • (a)

    Montrer que les tangentes en 0 aux courbes représentatives des fonctions fλ sont parallèles.

  • (b)

    Observer que les tangentes en 1 sont concourantes11 1 Autrement dit, les tangentes passent toutes par un même point..

 
Exercice 4  1366  

Soit f:[0;+[ une fonction de classe 𝒞1 telle que

f(0)<0etlim+f=+.

Montrer que si f s’annule au moins deux fois, alors f aussi.

 
Exercice 5  1365   Correction  

Déterminer toutes les applications f: dérivables telles que

f(x+y)=f(x)+f(y)pour tout (x,y)2.

Solution

Soit f solution. En dérivant la relation par rapport à x, on obtient

f(x+y)=f(x).

La fonction f est donc de dérivée constante et par suite f est affine.
De plus, la relation f(0+0)=f(0)+f(0) entraîne f(0)=0 et donc f est linéaire.
Inversement: ok.

 
Exercice 6  360     CENTRALE (MP)

Déterminer les fonctions f: dérivables vérifiant ff=f.

 
Exercice 7  2811      MINES (MP)

Soit h: l’application11 1 L’application h est une homothétie de centre ω et de rapport a définie sur la droite réelle. déterminée par h(x)=ω+a(x-ω) avec a,ω et a{0,1}.

On note S l’ensemble des fonctions f: dérivables telles que ff=h.

  • (a)

    Vérifier que ω est point fixe de tout élément f de S.

  • (b)

    Montrer que S est vide lorsque a<0.

On suppose désormais a>0 (et toujours a1).

  • (c)

    Soit fS. Montrer h-1fh=f.

  • (d)

    En déduire une expression de f en commençant par le cas 0<a<1.

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Édité le 08-11-2019

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