Exercice 1 5752 Correction

Soit $f : ℝ \to ℝ$ une fonction dérivable et périodique.

Justifier que la dérivée de $f$ est périodique et s’annule au moins deux fois sur chaque période.

Solution

Notons $T > 0$ une période de $f$ .

Pour tout $x \in ℝ$ , $f (x + T) = f (x)$ . Par dérivation en la variable $x$ de cette identité, on obtient $f^{'} (x + T) = f^{'} (x)$ . La fonction $f^{'}$ est donc périodique.

Soit $a \in ℝ$ . Montrons que $f^{'}$ s’annule au moins deux fois sur la période $[a; a + T]$ .

La fonction $f$ est continue sur $[a; a + T]$ , il existe donc $α, β \in [a; a + T]$ tels que

\forall t \in [a; a + T], f (α) \leq f (t) \leq f (β)

Si $f (α) = f (β)$ alors la fonction $f$ est constante et sa dérivée est identiquement nulle.

Si $f (α) < f (β)$ alors la fonction $f$ présente un minimum et un maximum en $α$ et $β$ , y est dérivable et définie de part et d’autre donc $f^{'}$ s’annule en $α$ et $β$ .

Exercice 2 4901

Étudier les variations de la fonction $f$ définie sur $ℝ$ par la relation

f (x) = \frac{x}{e^{x} + 1} .

Exercice 3 4905

On considère la fonction $f$ définie sur $ℝ$ par $f (x) = x e^{- x}$ .

(a)

Étudier les variations de la fonction $f$ .
(b)

Calculer la dérivée seconde de $f$ . En quelle valeur $x_{0}$ s’annule-t-elle?
(c)

Vérifier que la courbe représentative de $f$ traverse¹¹ 1 Cela signifie que la courbe représentative de $f$ se situe d’un côté au-dessus de sa tangente et de l’autre en dessous. sa tangente en $x_{0}$ .
(d)

Donner l’allure du graphe de $f$ .

Exercice 4 1356

Pour $λ \in ℝ$ , on considère la fonction $f_{λ} : ℝ \to ℝ$ définie par

f_{λ} (x) = \frac{x + λ}{x^{2} + 1} .

(a)

Montrer que les tangentes en $0$ aux courbes représentatives des fonctions $f_{λ}$ sont parallèles.
(b)

Observer que les tangentes en $1$ sont concourantes¹¹ 1 Autrement dit, les tangentes passent toutes par un même point..

Exercice 5 1366

Soit $f : [0; + \infty [\to ℝ$ une fonction de classe $𝒞^{1}$ telle que

f (0) < 0 et lim_{+ \infty} f = + \infty .

Montrer que si $f$ s’annule au moins deux fois, alors $f^{'}$ aussi.

Exercice 6 1365 Correction

Déterminer toutes les applications $f : ℝ \to ℝ$ dérivables telles que

f (x + y) = f (x) + f (y) pour tout (x, y) \in ℝ^{2} .

Solution

Soit $f$ solution. En dérivant la relation par rapport à $x$ , on obtient

f^{'} (x + y) = f^{'} (x) .

La fonction $f$ est donc de dérivée constante et par suite $f$ est affine.
De plus, la relation $f (0 + 0) = f (0) + f (0)$ entraîne $f (0) = 0$ et donc $f$ est linéaire.
Inversement: ok.

Exercice 7 360 CENTRALE (MP)

Déterminer les fonctions $f : ℝ \to ℝ$ dérivables vérifiant $f \circ f = f$ .

Exercice 8 5454 Correction

Soit $f : ℝ \to ℝ$ une fonction dérivable vérifiant $f \circ f = h$ avec $h = 2 I d_{ℝ}$ .

(a)

Vérifier $h \circ f \circ h^{- 1} = f$ .
(b)

Montrer que $f (0) = 0$ et calculer $f^{'} (0)$ .
(c)

Déterminer $f$ .

Solution

(a)

Puisque $f$ est solution de l’équation $f \circ f = h$ , on a immédiatement

$h \circ f \circ h^{- 1} = f \circ f \circ f \circ h^{- 1} = f \circ h \circ h^{- 1} = f .$
(b)

L’identité précédente se relit

$\forall x \in ℝ, f (x) = 2 f (\frac{x}{2}) .$

Pour $x = 0$ , il vient $f (0) = 2 f (0)$ et donc $f (0) = 0$ .

Par dérivation de fonctions composées,

$f^{'} (0) \times f^{'} (f (0)) = 2$

et donc ${(f^{'} (0))}^{2} = 2$ . On en déduit $f^{'} (0) = \pm \sqrt{2}$ .
(c)

Par récurrence,

$\forall x \in ℝ, \forall n \in ℕ, f (x) = 2^{n} f (\frac{x}{2^{n}}) .$

Or

$\frac{1}{t} f (t) = \frac{f (t) - f (0)}{t} \to_{t \to 0}^{} f^{'} (0)$

et donc, pour $x \neq 0$ ,

$2^{n} f (\frac{x}{2^{n}}) = x \frac{2^{n}}{n} f (\frac{x}{2^{n}}) \to_{n \to + \infty}^{} x f^{'} (0) .$

On en déduit $f (x) = x f^{'} (0)$ pour tout $x \neq 0$ et aussi pour $x = 0$ .

Finalement, les solutions sont les fonctions

$x \mapsto \sqrt{2} x et x \mapsto - \sqrt{2} x .$

Exercice 9 2811 MINES (MP)

Soit $h : ℝ \to ℝ$ l’application¹¹ 1 L’application $h$ est une homothétie de centre $ω$ et de rapport $a$ définie sur la droite réelle. déterminée par $h (x) = ω + a (x - ω)$ avec $a, ω \in ℝ$ et $a \notin {0,1}$ .

On note $S$ l’ensemble des fonctions $f : ℝ \to ℝ$ dérivables telles que $f \circ f = h$ .

(a)

Vérifier que $ω$ est point fixe de tout élément $f$ de $S$ .
(b)

Montrer que $S$ est vide lorsque $a < 0$ .

On suppose désormais $a > 0$ (et toujours $a \neq 1$ ).

(c)

Soit $f \in S$ . Montrer $h^{- 1} \circ f \circ h = f$ .
(d)

En déduire une expression de $f$ en commençant par le cas $0 < a < 1$ .

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Édité le 29-08-2023

Application de la dérivation