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Exercice 1  4900  

Calculer les dérivées des fonctions de la variable réelle x dont les expressions suivent:

  • (a)

    (sin(x))3

  • (b)

    cos(x2)

  • (c)

    1ln(x)

  • (d)

    1(x2+1)2

  • (e)

    xe-x2x2+1

  • (f)

    xx2+x+1.

 
Exercice 2  1355  Correction  

Après avoir déterminé le domaine d’existence, calculer les dérivées des fonctions suivantes:

  • (a)

    xarctan(x)x2+1

  • (b)

    x1(x+1)2

  • (c)

    xsin(x)(cos(x)+2)4

Solution

  • (a)

    xarctan(x)x2+1 est définie et dérivable sur ,

    (arctan(x)x2+1)=1-2xarctan(x)(x2+1)2.
  • (b)

    x1(x+1)2 est définie et dérivable sur {-1},

    (1(x+1)2)=-2(x+1)3.
  • (c)

    xsin(x)(cos(x)+2)4 est définie et dérivable sur ,

    (sin(x)(cos(x)+2)4)=cos(x)(cos(x)+2)4+4sin2(x)(cos(x)+2)5=4+2cos(x)-3cos2(x)(cos(x)+2)5.
 
Exercice 3  737   Correction  

Après avoir déterminé le domaine d’existence, calculer les dérivées des fonctions suivantes:

  • (a)

    xxx

  • (b)

    x(ch(x))x

  • (c)

    xln(|x|)

Solution

  • (a)

    xxx est définie et dérivable sur +*,

    (xx)=(exln(x))=(1+ln(x))xx.
  • (b)

    x(ch(x))x est définie et dérivable sur ,

    (ch(x)x)=(exln(ch(x)))=(ln(ch(x))+xth(x))(ch(x))x.
  • (c)

    xln(|x|) est définie et dérivable sur *,

    (ln(|x|))=1x.
 
Exercice 4  249   Correction  

Calculer les dérivées des fonctions suivantes

f1(x)=arctan(ex),f2(x)=arctan(sh(x))etf3(x)=arctan(th(x2)).

Qu’en déduire?

Solution

Par composition, les fonctions f1, f2 et f3 sont dérivables avec

f1(x)=ex1+e2x,f2(x)=2ex1+e2xetf3(x)=ex1+e2x.

Par les valeurs en 0 de ces fonctions, on en déduit

f1(x)=12f2(x)+π4=f3(x)+π4pour tout x.

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Édité le 08-11-2019

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