• (a)

  $x\mapsto \frac{\arctan (x)}{x^2+1}$ est définie et dérivable sur $ℝ$,

  $${\left(\frac{\arctan (x)}{x^2+1}\right)}^{\prime }=\frac{1-2x\arctan (x)}{{(x^2+1)}^2}\text{.}$$

• (b)

  $x\mapsto \frac{1}{{(x+1)}^2}$ est définie et dérivable sur $ℝ\setminus \{-1\}$,

  $${\left(\frac{1}{{(x+1)}^2}\right)}^{\prime }=\frac{-2}{{(x+1)}^3}\text{.}$$

• (c)

  $x\mapsto \frac{\sin (x)}{{\left(\cos (x)+2\right)}^4}$ est définie et dérivable sur $ℝ$,

  $${\left(\frac{\sin (x)}{{\left(\cos (x)+2\right)}^4}\right)}^{\prime }=\frac{\cos (x)}{{\left(\cos (x)+2\right)}^4}+\frac{4{\sin }^2(x)}{{\left(\cos (x)+2\right)}^5}=\frac{4+2\cos (x)-3{\cos }^2(x)}{{\left(\cos (x)+2\right)}^5}\text{.}$$

• (a)

  $x\mapsto x^x$ est définie et dérivable sur ${ℝ}_{+}^{*}$,

  $${(x^x)}^{\prime }={\left({\mathrm{e}}^{x\ln (x)}\right)}^{\prime }=\left(1+\ln (x)\right)x^x\text{.}$$

• (b)

  $x\mapsto {\left(\mathrm{ch}(x)\right)}^x$ est définie et dérivable sur $ℝ$,

  $${\left(\mathrm{ch}{(x)}^x\right)}^{\prime }={\left({\mathrm{e}}^{x\ln \left(\mathrm{ch}(x)\right)}\right)}^{\prime }=(\ln \left(\mathrm{ch}(x)\right)+x\mathrm{th}(x)){\left(\mathrm{ch}(x)\right)}^x\text{.}$$

• (c)

  $x\mapsto \ln \left(|x|\right)$ est définie et dérivable sur ${ℝ}^{*}$,

  $${\left(\ln (|x|)\right)}^{\prime }=\frac{1}{x}\text{.}$$

Par composition, les fonctions $f_1$, $f_2$ et $f_3$ sont dérivables avec

Par les valeurs en $0$ de ces fonctions, on en déduit