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Exercice 1  2057  Correction  

Soit (un) la suite réelle déterminée par

u0=2,u1=3 et n,un+2=3un+1-2un.

Montrer

n,un=2n+1.

Solution

Par récurrence double.
Pour n=0 et n=1: ok
Supposons la propriété établie aux rangs n et n+1 (avec n0).

un+2=3un+1-2un=HR3.2n+1+3-2.2n-2=2n+2+1.

Récurrence établie

 
Exercice 2  2060  Correction  

Le raisonnement suivant est erroné:
Montrons, par récurrence sur n*, la propriété:
𝒫(n) = n points deux à deux distincts quelconques du plan sont toujours alignés.
Pour n=1 et n=2, la propriété est vraie.
Supposons la propriété établie au rang n2.
Considérons alors n+1 points deux à deux distincts A1,A2,,An,An+1.
(HR) Les points A1,A2,,An sont alignés sur une droite 𝒟.
(HR) Les points A2,,An,An+1 sont alignés sur une droite 𝒟.
Or 𝒟 et 𝒟 contiennent les deux points distincts A2 et An, donc 𝒟=𝒟.
Par suite, A1,A2,,An,An+1 sont alignés sur la droite 𝒟=𝒟.
Récurrence établie.
Où est l’erreur?

Solution

À l’avant dernière ligne, pour que A2 et An soient distincts, il est nécessaire que n3.
L’hérédité de la récurrence ne s’enchaîne alors plus avec l’initialisation.

 
Exercice 3  2061  

Établir que tout entier naturel non nul n s’écrit

n=2k(2p+1) avec (p,k)2

en procédant de deux manières:

  • (a)

    En introduisant le plus grand entier k tel que 2k divise n.

  • (b)

    En raisonnant par récurrence.

 
Exercice 4  1274   

Soit x un réel non nul tel que x+1x soit entier.

  • (a)

    Montrer que pour tout n,

    xn+1xn.
  • (b)

    Donner un exemple de réel x non trivial11 1 Les solutions x=1 et x=-1 sont évidentes, on cherche ici une solution qui ne l’est pas. ayant la propriété qui précède.

 
Exercice 5  2058   Correction  

Montrer que

n{0,1}, 1+122++1n2>3n2n+1.

Solution

Par récurrence sur n2.
Pour n=2 ok.
Supposons la propriété établie au rang n2.

1++1n2+1(n+1)2HR3n2n+1+1(n+1)2?3(n+1)2n+3.

Vérifions l’inégalité proposée:

3n2n+1+1(n+1)2-3(n+1)2n+3=n2+2n(2n+1)(n+1)2(2n+3)0.

Récurrence établie.

 
Exercice 6  2059   Correction  

Montrer que

n*, 1! 3!(2n+1)!((n+1)!)n+1.

Solution

Par récurrence sur n1.
Pour n=1: ok
Supposons la propriété établie au rang n1.

1! 3!(2n+1)!(2n+3)!HR((n+1)!)n+1(2n+3)!?((n+2)!)n+2.

Vérifions l’inégalité proposée:

((n+1)!)n+1(2n+3)!((n+2)!n+2=(2n+3)!(n+1)!(n+2)n+2=(n+2)(n+3)(2n+3)(n+2)(n+2)(n+2)1.

Récurrence établie.

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Édité le 08-11-2019

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