[<] Raisonnements [>] Sous-ensemble, appartenance, inclusion
Soit . Établir
Solution
On sait la formule
On en déduit
On montre alors l’inégalité en raisonnant par récurrence sur .
Pour , la propriété est immédiate car .
Supposons la propriété vraie au rang . Au rang suivant,
donc
La récurrence est établie.
Soit la suite réelle déterminée par
Montrer
Solution
Par récurrence double.
Pour et : ok
Supposons la propriété établie aux rangs et (avec ).
Récurrence établie
Le raisonnement suivant est erroné:
Montrons, par récurrence sur , la propriété:
= points deux à deux distincts quelconques du plan sont toujours alignés.
Pour , la propriété est vraie.
Supposons la propriété établie au rang .
Considérons alors points deux à deux distincts .
(HR) Les points sont alignés sur une droite .
(HR) Les points sont alignés sur une droite .
Or et contiennent les deux points distincts et , donc .
Par suite, sont alignés sur la droite .
Récurrence établie.
Où est l’erreur?
Solution
À l’avant dernière ligne, pour que soient distincts, il est nécessaire que .
L’hérédité de la récurrence ne s’enchaîne alors plus avec l’initialisation.
Établir que tout entier naturel non nul s’écrit
en procédant de deux manières:
En introduisant le plus grand entier tel que divise .
En raisonnant par récurrence.
Soit un réel non nul tel que soit entier.
Montrer que pour tout ,
Donner un exemple de réel non trivial11 1 Les solutions et sont évidentes, on cherche ici une solution qui ne l’est pas. ayant la propriété qui précède.
Montrer que
Solution
Par récurrence sur .
Pour ok.
Supposons la propriété établie au rang .
Vérifions l’inégalité proposée:
Récurrence établie.
Montrer que
Solution
Par récurrence sur .
Pour : ok
Supposons la propriété établie au rang .
Vérifions l’inégalité proposée:
Récurrence établie.
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Édité le 29-08-2023
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