Exercice 1 2122 Correction

Soit $θ \in ℝ$ . Établir

\forall n \in ℕ, | \sin (n θ) | \leq n | \sin (θ) | .

Solution

On sait la formule

\sin (a + b) = \sin (a) \cos (b) + \sin (b) \cos (a) .

On en déduit

| \sin (a + b) | \leq | \sin (a) | \underset{\begin{matrix} \leq 1 \end{matrix}}{\underset{⏟}{| \cos (b) |}} + | \sin (b) | \underset{\begin{matrix} \leq 1 \end{matrix}}{\underset{⏟}{| \cos (a) |}} \leq | \sin (a) | + | \sin (b) | .

On montre alors l’inégalité en raisonnant par récurrence sur $n \in ℕ$ .

Pour $n = 0$ , la propriété est immédiate car $\sin (0 \cdot θ) = 0$ .

Supposons la propriété vraie au rang $n \in ℕ$ . Au rang suivant,

\sin ((n + 1) θ) = \sin (n θ + θ)

donc

| \sin ((n + 1) θ) | \leq | \sin (n θ) | + | \sin (θ) | \leq n | \sin (θ) | + | \sin (θ) | = (n + 1) | \sin (θ) | .

La récurrence est établie.

Exercice 2 2057 Correction

Soit $(u_{n})$ la suite réelle déterminée par

u_{0} = 2, u_{1} = 3 et \forall n \in ℕ, u_{n + 2} = 3 u_{n + 1} - 2 u_{n} .

Montrer

\forall n \in ℕ, u_{n} = 2^{n} + 1 .

Solution

Par récurrence double.
Pour $n = 0$ et $n = 1$ : ok
Supposons la propriété établie aux rangs $n$ et $n + 1$ (avec $n \geq 0$ ).

u_{n + 2} = 3 u_{n + 1} - 2 u_{n} \underset{H R}{=} {3.2}^{n + 1} + 3 - {2.2}^{n} - 2 = 2^{n + 2} + 1 .

Récurrence établie

Exercice 3 2060 Correction

Le raisonnement suivant est erroné:
Montrons, par récurrence sur $n \in ℕ^{*}$ , la propriété:
$𝒫 (n)$ = $n$ points deux à deux distincts quelconques du plan sont toujours alignés.
Pour $n = 1 et n = 2$ , la propriété est vraie.
Supposons la propriété établie au rang $n \geq 2$ .
Considérons alors $n + 1$ points deux à deux distincts $A_{1}, A_{2}, \dots, A_{n}, A_{n + 1}$ .
(HR) Les points $A_{1}, A_{2}, \dots, A_{n}$ sont alignés sur une droite $𝒟$ .
(HR) Les points $A_{2}, \dots, A_{n}, A_{n + 1}$ sont alignés sur une droite $𝒟^{'}$ .
Or $𝒟$ et $𝒟^{'}$ contiennent les deux points distincts $A_{2}$ et $A_{n}$ , donc $𝒟 = 𝒟^{'}$ .
Par suite, $A_{1}, A_{2}, \dots, A_{n}, A_{n + 1}$ sont alignés sur la droite $𝒟 = 𝒟^{'}$ .
Récurrence établie.
Où est l’erreur?

Solution

À l’avant dernière ligne, pour que $A_{2} et A_{n}$ soient distincts, il est nécessaire que $n \geq 3$ .
L’hérédité de la récurrence ne s’enchaîne alors plus avec l’initialisation.

Exercice 4 2061

Établir que tout entier naturel non nul $n$ s’écrit

n = 2^{k} (2 p + 1) avec (p, k) \in ℕ^{2}

en procédant de deux manières:

(a)

En introduisant le plus grand entier $k$ tel que $2^{k}$ divise $n$ .
(b)

En raisonnant par récurrence.

Exercice 5 1274

Soit $x$ un réel non nul tel que $x + \frac{1}{x}$ soit entier.

(a)

Montrer que pour tout $n \in ℕ$ ,

$x^{n} + \frac{1}{x^{n}} \in ℤ .$
(b)

Donner un exemple de réel $x$ non trivial¹¹ 1 Les solutions $x = 1$ et $x = - 1$ sont évidentes, on cherche ici une solution qui ne l’est pas. ayant la propriété qui précède.

Exercice 6 2058 Correction

Montrer que

\forall n \in ℕ ∖ {0,1}, 1 + \frac{1}{2^{2}} + \dots + \frac{1}{n^{2}} > \frac{3 n}{2 n + 1} .

Solution

Par récurrence sur $n \geq 2$ .
Pour $n = 2$ ok.
Supposons la propriété établie au rang $n \geq 2$ .

1 + \dots + \frac{1}{n^{2}} + \frac{1}{{(n + 1)}^{2}} \underset{H R}{\geq} \frac{3 n}{2 n + 1} + \frac{1}{{(n + 1)}^{2}} \underset{?}{\geq} \frac{3 (n + 1)}{2 n + 3} .

Vérifions l’inégalité proposée:

\frac{3 n}{2 n + 1} + \frac{1}{{(n + 1)}^{2}} - \frac{3 (n + 1)}{2 n + 3} = \frac{n^{2} + 2 n}{(2 n + 1) {(n + 1)}^{2} (2 n + 3)} \geq 0 .

Récurrence établie.

Exercice 7 2059 Correction

Montrer que

\forall n \in ℕ^{*}, 1! 3! \dots (2 n + 1)! \geq {((n + 1)!)}^{n + 1} .

Solution

Par récurrence sur $n \geq 1$ .
Pour $n = 1$ : ok
Supposons la propriété établie au rang $n \geq 1$ .

1! 3! \dots (2 n + 1)! (2 n + 3)! \underset{H R}{\geq} {((n + 1)!)}^{n + 1} (2 n + 3)! \underset{?}{\geq} {((n + 2)!)}^{n + 2} .

Vérifions l’inégalité proposée:

\frac{{((n + 1)!)}^{n + 1} (2 n + 3)!}{((n + 2)!^{n + 2}} = \frac{(2 n + 3)!}{(n + 1)! {(n + 2)}^{n + 2}} = \frac{(n + 2) (n + 3) \dots (2 n + 3)}{(n + 2) (n + 2) \dots (n + 2)} \geq 1 .

Récurrence établie.

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Édité le 29-08-2023

Raisonnements par récurrence