Exercice 1 4473

Soit $f : ℝ \to ℝ$ la fonction définie par $f (x) = x^{2}$ . Déterminer les ensembles suivants:

(a)

$f ([- 1; 2])$
(b)

$f^{- 1} ([1; 2 [)$ .

Exercice 2 1512 Correction

Décrire l’image directe de $ℝ$ par la fonction exponentielle.
Déterminer l’image réciproque de l’intervalle $[- 1; 4]$ par la fonction $f : x \mapsto x^{2}$ définie sur $ℝ$ .

Solution

$\exp (ℝ) = ℝ_{+}^{*}$ et $f^{- 1} ([- 1; 4]) = [- 2; 2]$ .

Exercice 3 1510 Correction

Soit $f : E \to I$ une application surjective. On pose, pour tout $i \in I$ , $A_{i} = f^{- 1} ({i})$ .
Montrer que les $A_{i}$ sont non vides, deux à deux disjoints, de réunion égale à $E$ .

Solution

Puisque $f$ est surjective, les $A_{i}$ sont non vides.
Si $A_{i} \cap A_{j} \neq \emptyset$ alors pour $x \in A_{i} \cap A_{j}$ on a $f (x) = i$ et $f (x) = j$ donc $i = j$ .
Par contraposée: $i \neq j ⟹ A_{i} \cap A_{j} = \emptyset$ .
Soient $x \in E$ et $i = f (x)$ . On a $x \in A_{i}$ . Ainsi $E \subset ⋃_{i \in I} A_{i}$ puis l’égalité.

Exercice 4 5707 Correction

Soit $f : E \to F$ une application et $B \in ℘ (F)$ . Établir

f^{- 1} (∁_{B} F) = ∁_{E} (f^{- 1} (F)) .

Solution

Méthode: On vérifie l’égalité des deux ensembles par correspondance des éléments qui les constituent.

Pour $x \in E$ ,

	$x \in f^{- 1} (∁_{B} F)$	$\Leftrightarrow f (x) \in ∁_{B} F$
		$\Leftrightarrow f (x) \notin F$
		$\Leftrightarrow x \notin f^{- 1} (F)$
		$\Leftrightarrow x \in ∁_{E} (f^{- 1} (F)) .$

On peut alors conclure $f^{- 1} (∁_{B} F) = ∁_{E} (f^{- 1} (F))$ .

Exercice 5 4474

Soit $f : E \to F$ une application.

(a)

Soient $A$ et $A^{'}$ deux parties de $E$ . Montrer

$A \subset A^{'} ⟹ f (A) \subset f (A^{'}) .$
(b)

Soient $B$ et $B^{'}$ deux parties de $F$ . Établir

$B \subset B^{'} ⟹ f^{- 1} (B) \subset f^{- 1} (B^{'}) .$
(c)

Soient $A$ une partie de $E$ et $B$ une partie de $F$ . Établir

$A \subset f^{- 1} (f (A)) et f (f^{- 1} (B)) \subset B .$

Exercice 6 4485

Soit $f : E \to F$ une application.

(a)

Établir

$\forall A \in ℘ (E), A \subset f^{- 1} (f (A)) et \forall B \in ℘ (F), f (f^{- 1} (B)) \subset B .$
(b)

Montrer

$f est injective \Leftrightarrow \forall A \in ℘ (E), A = f^{- 1} (f (A)) .$
(c)

Montrer

$f est surjective \Leftrightarrow \forall B \in ℘ (F), f (f^{- 1} (B)) = B .$

Exercice 7 1513

Soit $f : E \to F$ une application.

(a)

Soient $A_{1}$ et $A_{2}$ deux parties de $E$ . Montrer

$f (A_{1} \cup A_{2}) = f (A_{1}) \cup f (A_{2}) et f (A_{1} \cap A_{2}) \subset f (A_{1}) \cap f (A_{2}) .$
(b)

Soient $B_{1}$ et $B_{2}$ deux parties de $F$ . Montrer

$f^{- 1} (B_{1} \cup B_{2}) = f^{- 1} (B_{1}) \cup f^{- 1} (B_{2}) et f^{- 1} (B_{1} \cap B_{2}) = f^{- 1} (B_{1}) \cap f^{- 1} (B_{2}) .$

Exercice 8 4484

Soit $f : E \to F$ une application. À quelle condition sur $f$ peut-on affirmer

\forall (A_{1}, A_{2}) \in ℘ {(E)}^{2}, f (A_{1} \cap A_{2}) = f (A_{1}) \cap f (A_{2}) ?

Exercice 9 1517

Soit $f : E \to F$ une application. Montrer

f est bijective \Leftrightarrow \forall A \in ℘ (E), f (∁_{E} A) = ∁_{F} f (A) .

Exercice 10 4491

Soit $f : ℘ (E) \to ℘ (E)$ une application croissante au sens de l’inclusion, c’est-à-dire une application vérifiant

\forall (A, B) \in ℘ {(E)}^{2}, A \subset B ⟹ f (A) \subset f (B) .

Montrer qu’il existe une partie $A$ de $E$ vérifiant $f (A) = A$ .

[<] Injectivité, surjectivité, bijectivité [>] Relations d'équivalence

Édité le 29-08-2023

Image directe, image réciproque d'une partie