[<] Injectivité, surjectivité, bijectivité [>] Relations d'équivalence

 
Exercice 1  4473  

Soit f: la fonction définie par f(x)=x2. Déterminer les ensembles suivants:

  • (a)

    f([-1;2])

  • (b)

    f-1([1;2[).

 
Exercice 2  1512  Correction  

Décrire l’image directe de par la fonction exponentielle.
Déterminer l’image réciproque de l’intervalle [-1;4] par la fonction f:xx2 définie sur .

Solution

exp()=+* et f-1([-1;4])=[-2;2].

 
Exercice 3  1510  Correction  

Soit f:EI une application surjective. On pose, pour tout iI, Ai=f-1({i}).
Montrer que les Ai sont non vides, deux à deux disjoints, de réunion égale à E.

Solution

Puisque f est surjective, les Ai sont non vides.
Si AiAj alors pour xAiAj on a f(x)=i et f(x)=j donc i=j.
Par contraposée: ijAiAj=.
Soient xE et i=f(x). On a xAi. Ainsi EiIAi puis l’égalité.

 
Exercice 4  4474  

Soit f:EF une application.

  • (a)

    Soient A et A deux parties de E. Montrer

    AAf(A)f(A).
  • (b)

    Soient B et B deux parties de F. Établir

    BBf-1(B)f-1(B).
  • (c)

    Soient A une partie de E et B une partie de F. Établir

    Af-1(f(A))etf(f-1(B))B.
 
Exercice 5  4485   

Soit f:EF une application.

  • (a)

    Établir

    A(E),Af-1(f(A))etB(F),f(f-1(B))B.
  • (b)

    Montrer

    f est injectiveA(E),A=f-1(f(A)).
  • (c)

    Montrer

    f est surjectiveB(F),f(f-1(B))=B.
 
Exercice 6  1513   

Soit f:EF une application.

  • (a)

    Soient A1 et A2 deux parties de E. Montrer

    f(A1A2)=f(A1)f(A2)etf(A1A2)f(A1)f(A2).
  • (b)

    Soient B1 et B2 deux parties de F. Montrer

    f-1(B1B2)=f-1(B1)f-1(B2)etf-1(B1B2)=f-1(B1)f-1(B2).
 
Exercice 7  4484   

Soit f:EF une application. À quelle condition sur f peut-on affirmer

(A1,A2)(E)2,f(A1A2)=f(A1)f(A2)?
 
Exercice 8  1517    

Soit f:EF une application. Montrer

f est bijectiveA(E),f(EA)=Ff(A).
 
Exercice 9  4491    

Soit f:(E)(E) une application croissante au sens de l’inclusion, c’est-à-dire une application vérifiant

(A,B)(E)2,ABf(A)f(B).

Montrer qu’il existe une partie A de E vérifiant f(A)=A.

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Édité le 08-11-2019

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