[<] Sous-ensemble, appartenance, inclusion [>] Injectivité, surjectivité, bijectivité

 
Exercice 1  1494  

Soient A, B et C trois parties d’un ensemble E.

  • (a)

    Montrer A(BC)=(AB)(AC).

  • (b)

    On suppose ABAC et ABAC. Montrer BC.

  • (c)

    On suppose AB=C. Montrer AB=BC.

  • (d)

    On suppose AB=BC=CA et AB=BC=CA. Montrer que les trois ensembles A, B et C sont égaux.

 
Exercice 2  4478  

Soient A, B et C trois parties d’un ensemble E. Vérifier

(AB)(BC)(CA)=(AB)(BC)(CA).
 
Exercice 3  1496   Correction  

Étant donné A, B et C trois parties de E, justifier les équivalences suivantes:

  • (a)

    ABAB=B.

  • (b)

    A=BAB=AB.

  • (c)

    AB=ACBAC

  • (d)

    {AB=ACAB=ACB=C

Solution

  • (a)

    () Supposons AB. On a toujours BAB.
    Pour xAB. Que xA ou xB on a xB donc ABB. Ainsi AB=B.

    () Supposons AB=B. Puisque AAB, on a AB.

  • (b)

    () Supposons A=B. On a AB=A=AB.

    () Supposons AB=AB. On a AABABB et de même BA donc A=B.

  • (c)

    () Supposons AB=AC.
    On a BAB=ACAAB=ACC.

    () Supposons BAC. AB=A=AC.

  • (d)

    () Supposons AB=AC et AB=AC.
    Soit xB.
    Si xA alors xAB=AC donc xC.
    Si xA alors sachant xAB on a xAC, or xA donc xC.
    Dans les deux cas, xC. Ainsi, BC et de manière symétrique CB d’où l’égalité.

    () Si B=C alors clairement AB=AC et AB=AC.

 
Exercice 4  1495  Correction  

Étant donné A et B deux parties de E, justifier

EAEB=BA.

Solution

Puisque la privation correspond à l’intersection avec le complémentaire

EAEB=EAEEB=BEA=BA.
 
Exercice 5  1497  Correction  

Soient A et B deux parties de E, on appelle différence symétrique de A et B, l’ensemble

AΔB=(AB)(BA).

Montrer

AΔB=(AB)(AB).

Solution

Soit xE.

xAΔB (xA et xB) ou (xB et xA)
(xA ou xB) et (xA ou xA)
   et (xB ou xB) et (xB ou xA)
xAB et xAB
x(AB)(AB)

d’où l’égalité des ensembles.

 
Exercice 6  1498  Correction  

Étant données A, B et C trois parties d’un ensemble E, montrer que:

  • (a)

    AΔB=AΔCB=C

  • (b)

    AB=ABA=B

  • (c)

    AΔB=ABA=B=.

Solution

  • (a)

    Si AΔB=AΔC alors pour tout xB:
    Si xA alors xAΔB et donc xAΔC et puisque xA, xC.
    Si xA alors xAΔB et donc xAΔC et puisque xA, xC.
    Dans les deux cas xC. Ainsi BC et un raisonnement symétrique donne CB puis l’égalité.
    Réciproque immédiate.

  • (b)

    AB=AAEB=AAEB or AEBBEA et donc AB=ABA=B.

  • (c)

    AΔB=(AB)(AB) donc AΔB=ABAB==ABA=B=.

 
Exercice 7  4479   

(Différence symétrique)

On définit la différence symétrique de deux parties A et B d’un ensemble E par

AΔB=déf(AB)(AB¯).

Soient A, B et C trois parties de E.

  • (a)

    Calculer AΔA, AΔA¯, AΔE et AΔ.

  • (b)

    Vérifier la propriété d’associativité

    AΔ(BΔC)=(AΔB)ΔC.
  • (c)

    Établir

    AΔB=AΔCB=C.
 
Exercice 8  1499   

Soient A et B des parties d’un ensemble E.

Discuter et résoudre l’équation AX=B d’inconnue X(E).

 
Exercice 9  1500   Correction  

Soient A,B deux parties de E.
Discuter et résoudre l’équation AX=B d’inconnue X𝒫(E).

Solution

Si BA alors l’équation n’a pas de solution.
Si BA. Soit X une solution de l’équation.
On a X=(AX)(A¯X)=BC avec C=A¯XA¯.
Inversement, pour X=BC avec CA¯, AX=(AB)(AC)=B.
Ainsi 𝒮={X=BC|CA¯}={X𝒫(E)|BXBA¯}.

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Édité le 08-11-2019

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