• (a)

  $(⟹)$ Supposons $A\subset B$. On a toujours $B\subset A\cup B$.
  Pour $x\in A\cup B$. Que $x\in A$ ou $x\in B$ on a $x\in B$ donc $A\cup B\subset B$. Ainsi $A\cup B=B$.

  $(⟸)$ Supposons $A\cup B=B$. Puisque $A\subset A\cup B$, on a $A\subset B$.

• (b)

  $(⟹)$ Supposons $A=B$. On a $A\cap B=A=A\cup B$.

  $(⟸)$ Supposons $A\cap B=A\cup B$. On a $A\subset A\cup B\subset A\cap B\subset B$ et de même $B\subset A$ donc $A=B$.

• (c)

  $(⟹)$ Supposons $A\cup B=A\cap C$.
  On a $B\subset A\cup B=A\cap C\subset A\subset A\cup B=A\cap C\subset C$.

  $(⟸)$ Supposons $B\subset A\subset C$. $A\cup B=A=A\cap C$.

• (d)

  $(⟹)$ Supposons $A\cup B=A\cup C$ et $A\cap B=A\cap C$.
  Soit $x\in B$.
  Si $x\in A$ alors $x\in A\cap B=A\cap C$ donc $x\in C$.
  Si $x\notin A$ alors sachant $x\in A\cup B$ on a $x\in A\cup C$, or $x\notin A$ donc $x\in C$.
  Dans les deux cas, $x\in C$. Ainsi, $B\subset C$ et de manière symétrique $C\subset B$ d’où l’égalité.

  $(⟸)$ Si $B=C$ alors clairement $A\cup B=A\cup C$ et $A\cap B=A\cap C$.

Puisque la privation correspond à l’intersection avec le complémentaire

Soit $x\in E$.

d’où l’égalité des ensembles.

• (a)

  Si $A\mathrm{\Delta }B=A\mathrm{\Delta }C$ alors pour tout $x\in B$:
  Si $x\in A$ alors $x\notin A\mathrm{\Delta }B$ et donc $x\notin A\mathrm{\Delta }C$ et puisque $x\in A$, $x\in C$.
  Si $x\notin A$ alors $x\in A\mathrm{\Delta }B$ et donc $x\in A\mathrm{\Delta }C$ et puisque $x\notin A$, $x\in C$.
  Dans les deux cas $x\in C$. Ainsi $B\subset C$ et un raisonnement symétrique donne $C\subset B$ puis l’égalité.
  Réciproque immédiate.

• (b)

  $A\setminus B=A\iff A\cap {\mathrm{\complement }}_{E}B=A\iff A\subset {\mathrm{\complement }}_{E}B$ or $A\subset {\mathrm{\complement }}_{E}B\iff B\subset {\mathrm{\complement }}_{E}A$ et donc $A\setminus B=A\iff B\setminus A=B$.

• (c)

  $A\mathrm{\Delta }B=(A\cup B)\setminus (A\cap B)$ donc $A\mathrm{\Delta }B=A\cap B⟹A\cap B=\mathrm{\varnothing }=A\cup B⟹A=B=\mathrm{\varnothing }$.