Notons $n_1,\mathrm{\dots },n_k$ les cardinaux respectifs des $k$ classes d’équivalence de $ℛ$. D’une part,

$$n=n_1+\mathrm{\cdots }+n_k,$$

et d’autre part,

$$p=n_1^2+\mathrm{\cdots }+n_k^2\text{.}$$

Par l’inégalité de Cauchy-Schwarz,

$${(n_1+\mathrm{\cdots }+n_k)}^2\le k(n_1^2+\mathrm{\cdots }+n_k^2)\text{.}$$

• (a)

  La relation étudiée est évidemment réflexive, symétrique et transitive.

• (b)

  Pour $Y\in \mathrm{\wp }(E)$,

  $$Y\in \mathrm{Cl}(X)\iff Y\cup A=X\cup A\text{.}$$

  Soit $Y\in \mathrm{Cl}(X)$. On a $Y\cup A=X\cup A$. Pour tout $x\in Y\setminus A$, on a $x\in Y\cup A=X\cup A$ et $x\notin A$ donc $x\in X\setminus A$. Ainsi, $Y\setminus A\subset X\setminus A$ et inversement $X\setminus A\subset Y\setminus A$ donc $X\setminus A=Y\setminus A$.

  Puisque $Y=(Y\setminus A)\cup (Y\cap A)$, on a $Y=(X\setminus A)\cup B$ avec $B\in \mathrm{\wp }(A)$.

  Inversement, soit $Y=(X\setminus A)\cup B$ avec $B\in \mathrm{\wp }(A)$. On a

  $$Y\cup A=(X\setminus A)\cup (B\cup A)=(X\cap \overline{A})\cup A=X\cup A\text{.}$$

  Finalement,

  $$Cl(X)=\{(X\setminus A)\cup B|B\in \mathrm{\wp }(A)\}\text{.}$$

$𝒮$ est réflexive, symétrique et transitive sans difficultés.

On définit

$$\mathrm{Cl}(x)\preccurlyeq \mathrm{Cl}(y)\iff xℛy\text{.}$$

La relation $\preccurlyeq$ est bien définie, réflexive transitive.

Si $\mathrm{Cl}(x)\preccurlyeq \mathrm{Cl}(y)$ et $\mathrm{Cl}(y)\preccurlyeq \mathrm{Cl}(x)$ alors $x𝒮y$ donc $Cl(x)=Cl(y)$.

Soit $x\in G$. On a $xℛx$ car $x{x}^{-1}=1\in H$.

Soient $x,y\in G$. Si $xℛy$ alors $x{y}^{-1}\in H$ et donc $y{x}^{-1}\in H$ d’où $yℛx$.

Soient $x,y,z\in G$. Si $xℛy$ et $yℛz$ alors $x{y}^{-1}\in H$ et $y{z}^{-1}\in H$ donc $x{z}^{-1}\in H$ d’où $xℛz$.

Finalement, $ℛ$ est une relation d’équivalence.

Pour $a\in G$,

	$x\in Cl(a)$	$\iff xℛa$
		$\iff x{a}^{-1}\in H\text{.}$

On en déduit

$$Cl(a)=Ha=\{ha|h\in H\}\text{.}$$

Considérons la relation binaire $ℛ$ sur $G$ définie par

$$y_1ℛy_2\iff \exists x\in G,x{y}_1=y_{2}x\text{.}$$

Il est immédiat de vérifier que $ℛ$ est une relation d’équivalence sur $G$. Les classes d’équivalence de $ℛ$ forment donc une partition de $G$ ce qui permet d’affirmer que le cardinal de $G$ est la somme des cardinaux des classes d’équivalence de $ℛ$.
Une classe d’équivalence d’un élément $y$ est réduite à un singleton si, et seulement si,

$$\forall x\in G,xy=yx$$

c’est-à-dire

$$y\in Z(G)\text{.}$$

En dénombrant $G$ en fonction des classes d’équivalence de $ℛ$ et en isolant parmi celles-ci celles qui sont réduites à un singleton on a

$$\mathrm{Card}(G)=\mathrm{Card}(Z(G))+N$$

avec $N$ la somme des cardinaux des classes d’équivalence de $ℛ$ qui ne sont pas réduites à un singleton.
Pour poursuivre, montrons maintenant que le cardinal d’une classe d’équivalence de la relation $ℛ$ divise le cardinal de $G$.
Considérons une classe d’équivalence $\{y_1,\mathrm{\dots },y_n\}$ pour la relation $ℛ$ et notons

$$H_i=\{x\in G|x{y}_1=y_{i}x\}\text{.}$$

Pour $i\in \{1,\mathrm{\dots },n\}$, puisque $y_1ℛy_i$, il existe $x_i\in G$ tel que

$$x_i{y}_1=y_i{x}_i\text{.}$$

Considérons alors l’application $\phi :H_1\to H_i$ définie par

$$\phi (x)=x_{i}x\text{.}$$

On vérifie que cette application est bien définie et qu’elle est bijective.
On en déduit

$$\mathrm{Card}(H_1)=\mathrm{\dots }=\mathrm{Card}(H_n)=m$$

et puisque $G$ est la réunion disjointes des $H_1,\mathrm{\dots },H_n$

$$\mathrm{Card}(G)=mn=p^{\alpha }\text{.}$$

Ainsi, toutes les classes d’équivalences qui ne sont pas réduites à un élément ont un cardinal multiple de $p$ et donc $p\mid N$.
Puisque $p$ divise $\mathrm{Card}(G)=\mathrm{Card}(Z(G))+N$, on a

$$p\mid \mathrm{Card}(Z(G))\text{.}$$

Sachant $Z(G)\ne \mathrm{\varnothing }$ (car $1\in Z(G)$) on peut affirmer

$$\mathrm{Card}(Z(G))\ge p\text{.}$$