Exercice 1 1491 Correction

Soit $E = {a, b, c}$ un ensemble. Peut-on écrire:

(a)

$a \in E$
(b)

$a \subset E$
(c)

${a} \subset E$
(d)

$\emptyset \in E$
(e)

$\emptyset \subset E$
(f)

${\emptyset} \subset E$ ?

Solution

On peut écrire: (a), (c) et (e).

Exercice 2 1492 Correction

Un ensemble est dit décrit en compréhension lorsqu’il réunit les éléments d’un ensemble vérifiant une propriété. Un ensemble est dit décrit en extension lorsque l’on cite ses éléments. Par exemple, ${n \in ℤ | \exists k \in ℤ, n = 2 k}$ et ${2 k | k \in ℤ}$ sont des descriptions respectivement en compréhension et en extension de l’ensemble des entiers pairs.

(a)

Décrire en compréhension et en extension l’ensemble ${1,3,5,7, \dots}$ .
(b)

Décrire en compréhension et en extension l’ensemble ${1,10,100,1000, \dots}$ .
(c)

Décrire en extension l’ensemble des nombres rationnels.
(d)

Décrire en compréhension l’ensemble $] 0; 1]$ .
(e)

Décrire en compréhension et en extension l’ensemble des valeurs prises par une fonction $f : ℝ \to ℝ$ .
(f)

Décrire en compréhension l’ensemble des antécédents d’un réel $y$ par une fonction $f : ℝ \to ℝ$ .

Solution

(a)

${1,3,5,7, \dots} = {n \in ℕ | \exists k \in ℕ, n = 2 k + 1} = {2 k + 1 | k \in ℕ}$ .
(b)

${1,10,100,1000, \dots} = {x \in ℝ | \exists k \in ℕ, x = 10^{k}} = {10^{k} | k \in ℕ}$ .
(c)

$ℚ = {\frac{p}{q} | p \in ℤ, q \in ℕ^{*}}$ .
(d)

$] 0; 1] = {x \in ℝ | 0 < x \leq 1}$ .
(e)

${y \in ℝ | \exists x \in ℝ, y = f (x)} = {f (x) | x \in ℝ}$ .
(f)

${x \in ℝ | f (x) = y}$ .

Exercice 3 1493 Correction

Décrire $𝒫 (𝒫 ({a}))$ où $a$ désigne un élément.

Solution

$𝒫 ({a}) = {\emptyset, {a}}$ et $𝒫 (𝒫 ({a})) = {\emptyset, {\emptyset}, {{a}}, {\emptyset, {a}}}$ .

Exercice 4 2200 Correction

Soit $A$ une partie d’un ensemble $E$ . On appelle fonction indicatrice de la partie $A$ dans $E$ , l’application $1_{A} : E \to ℝ$ définie par:

1_{A} (x) = {\begin{matrix} 1 & si x \in A \\ 0 & sinon. \end{matrix}

De quels ensembles les fonctions suivantes sont-elles les fonctions indicatrices?

(a)

$\min (1_{A} {,1}_{B})$
(b)

$\max (1_{A} {,1}_{B})$
(c)

$1_{A} {.1}_{B}$
(d)

$1 - 1_{A}$
(e)

$1_{A} + 1_{B} - 1_{A} {.1}_{B}$
(f)

${(1_{A} - 1_{B})}^{2}$

Solution

(a)

$A \cap B$
(b)

$A \cup B$
(c)

$A \cap B$
(d)

$∁_{E} A$ complémentaire de $A$ dans $E$ .
(e)

$A \cup B$
(f)

$A Δ B = (A \cup B) ∖ (A \cap B)$

Sous-ensemble, appartenance, inclusion