Exercice 1 4469

Montrer que $\sqrt{2}$ est un nombre irrationnel.

Exercice 2 3947 Correction

Sachant $\sqrt{2} \notin ℚ$ , montrer

\forall x \in ℚ, x + \sqrt{2} \notin ℚ .

Solution

Soit $x \in ℚ$ . Si par l’absurde $y = x + \sqrt{2} \in ℚ$ alors

\sqrt{2} = y - x \in ℚ .

Exercice 3 3946 Correction

Montrer

\forall n \in ℕ, \frac{n (n^{2} + 1)}{2} \in ℕ .

Solution

Opérons par disjonction de cas.

Cas: $n$ pair. On peut écrire $n = 2 p$ avec $p \in ℕ$ et alors

\frac{n (n^{2} + 1)}{2} = p (n^{2} + 1) \in ℕ .

Cas: $n$ impair. On peut écrire $n = 2 p + 1$ avec $p \in ℕ$ et alors

\frac{n (n^{2} + 1)}{2} = n (2 p^{2} + 2 p + 1) \in ℕ .

Dans les deux cas la propriété est vraie.

Exercice 4 2054 Correction

Soient $𝒫 = {2 k | k \in ℤ}$ et $ℐ = {2 k + 1 | k \in ℤ}$ les ensembles formés respectivement des entiers pairs et impairs. Écrire une démonstration de l’identité $𝒫 \cap ℐ = \emptyset$ .

Solution

Par l’absurde, si $𝒫 \cap ℐ \neq \emptyset$ , considérons $x \in 𝒫 \cap ℐ$ .
Comme $x \in 𝒫$ , il existe $k \in ℤ$ tel que $x = 2 k$ .
Comme $x \in ℐ$ , il existe $ℓ \in ℤ$ tel que $x = 2 ℓ + 1$ .
Par suite, $2 k = 2 ℓ + 1$ puis $1 / 2 = k - ℓ \in ℤ$ ce qui est absurde
Une erreur de raisonnement classique est de décrire $x$ comme un nombre pair et impair en choisissant le même entier $k$ .

Exercice 5 4470

(a)

Vérifier que $x^{2} + x + 1$ est strictement positif quelle que soit la valeur du réel $x$ .
(b)

Vérifier que lorsque $n$ est un entier naturel, le nombre $\frac{n (n^{2} + 1)}{2}$ l’est aussi.
(c)

Vérifier que lorsque le produit de deux réels est nul, l’un des facteurs est nul.

Exercice 6 4471

(a)

Montrer que tout nombre rationnel peut s’écrire comme somme de deux nombres irrationnels.
(b)

Montrer que pour tout entier naturel, il existe un nombre premier¹¹ 1 Un nombre premier est un entier $p \geq 2$ dont les seuls diviseurs positifs sont $1$ et lui-même: 2, 3, 5, 7, 11, 13,… sont les premiers nombres premiers. Le théorème d’Euclide assure l’existence d’une infinité de nombres premiers. qui lui est strictement supérieur.
(c)

À quelle condition un réel peut-il s’écrire à la fois comme la somme et le produit des deux mêmes réels?

Exercice 7 4472

(a)

Soit $a \in ℝ$ . Établir l’implication

$(\forall ε \geq 0, | a | \leq ε) ⟹ a = 0 .$
(b)

Soit $a \in ℝ$ . Établir l’implication

$(\forall ε > 0, | a | \leq ε) ⟹ a = 0 .$
(c)

Soient $x$ et $y$ deux réels. Établir l’équivalence

$x^{2} + y^{2} = 0 \Leftrightarrow x = 0 et y = 0 .$

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Édité le 29-08-2023