[<] Usage des quantificateurs [>] Raisonnements par récurrence

 
Exercice 1  4469  

Montrer que 2 est un nombre irrationnel.

 
Exercice 2  3947  Correction  

Sachant 2, montrer

x,x+2.

Solution

Soit x. Si par l’absurde y=x+2 alors

2=y-x.
 
Exercice 3  3946  Correction  

Montrer

n,n(n2+1)2.

Solution

Opérons par disjonction de cas.

Cas: n pair. On peut écrire n=2p avec p et alors

n(n2+1)2=p(n2+1).

Cas: n impair. On peut écrire n=2p+1 avec p et alors

n(n2+1)2=n(2p2+2p+1).

Dans les deux cas la propriété est vraie.

 
Exercice 4  2054  Correction  

Soient 𝒫={2k|k} et ={2k+1|k} les ensembles formés respectivement des entiers pairs et impairs. Écrire une démonstration de l’identité 𝒫=.

Solution

Par l’absurde, si 𝒫, considérons x𝒫.
Comme x𝒫, il existe k tel que x=2k.
Comme x, il existe tel que x=2+1.
Par suite, 2k=2+1 puis 1/2=k- ce qui est absurde
Une erreur de raisonnement classique est de décrire x comme un nombre pair et impair en choisissant le même entier k.

 
Exercice 5  4470  
  • (a)

    Vérifier que x2+x+1 est strictement positif quelle que soit la valeur du réel x.

  • (b)

    Vérifier que lorsque n est un entier naturel, le nombre n(n2+1)2 l’est aussi.

  • (c)

    Vérifier que lorsque le produit de deux réels est nul, l’un des facteurs est nul.

 
Exercice 6  4471   
  • (a)

    Montrer que tout nombre rationnel peut s’écrire comme somme de deux nombres irrationnels.

  • (b)

    Montrer que pour tout entier naturel, il existe un nombre premier11 1 Un nombre premier est un entier p2 dont les seuls diviseurs positifs sont 1 et lui-même: 2, 3, 5, 7, 11, 13,… sont les premiers nombres premiers. Le théorème d’Euclide () assure l’existence d’une infinité de nombres premiers. qui lui est strictement supérieur.

  • (c)

    À quelle condition un réel peut-il s’écrire à la fois comme la somme et le produit des deux mêmes réels?

 
Exercice 7  4472   
  • (a)

    Soit a. Établir l’implication

    (ε0,|a|ε)a=0.
  • (b)

    Soit a. Établir l’implication

    (ε>0,|a|ε)a=0.
  • (c)

    Soient x et y deux réels. Établir l’équivalence

    x2+y2=0x=0 et y=0.

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Édité le 08-11-2019

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