Exercice 1 4476

Soit $s : ℕ \to ℕ^{*}$ l’application définie par $s (n) = n + 1$ . Montrer que l’application $s$ est bijective:

(a)

En constatant la définition d’une application bijective.
(b)

En vérifiant injectivité et surjectivité.
(c)

En déterminant une application susceptible d’être sa bijection réciproque.

Exercice 2 1502

Soient $a$ , $b$ et $c$ trois réels tels que $c \neq 0$ et $a^{2} + b c \neq 0$ . On introduit $E = ℝ ∖ {a / c}$ .

On considère la fonction $f : E \to E$ définie par

f (x) = \frac{a x + b}{c x - a} .

(a)

Justifier que l’application $f$ est bien définie.
(b)

Calculer $f \circ f$ . En déduire que $f$ est une bijection dont on déterminera l’application réciproque.

Exercice 3 4483

On considère l’application $f : ℕ \to ℤ$ définie par

f (n) = {\begin{matrix} \frac{n}{2} & si n est pair \\ - \frac{n + 1}{2} & sinon. \end{matrix}

Montrer que l’application $f$ est bijective et exprimer sa bijection réciproque.

Exercice 4 5995 Correction

Soit $f : ℕ^{2} \to ℕ^{*}$ l’application définie par

\forall (p, q) \in ℕ^{2}, f (p, q) = 2^{p} (2 q + 1) .

(a)

Montrer que $f$ est injective.
(b)

Déterminer un antécédent par $f$ à $n$ pour $n \in {4, 7, 20}$ .
(c)

Montrer que $f$ est surjective. Qu’en déduire?

Solution

(a)

Soient $(p, q), (p^{'}, q^{'}) \in ℕ^{2}$ . Supposons $f (p, q) = f (p^{'}, q^{'})$ . On a $2^{p} (2 q + 1) = 2^{p^{'}} (2 q^{'} + 1)$ . Quitte à échanger, on peut supposer $p \leq p^{'}$ et alors simplifier $(2 q + 1) = 2^{p^{'} - p} (2 q^{'} + 1)$ . Puisque $2 q + 1$ est un entier impair, on a nécessairement $p^{'} = p$ . L’égalité $2^{p} (2 q + 1) = 2^{p^{'}} (2 q^{'} + 1)$ se simplifie alors $2 q + 1 = 2 q^{'} + 1$ ce qui donne $q = q^{'}$ . Finalement, $(p, q) = (p^{'}, q^{'})$ : on a établi l’injectivité de $f$ .
(b)

On remarque $f (2, 0) = 4$ , $f (0, 3) = 7$ et $f (2, 2) = 20$ .
(c)

Soit $n \in ℕ^{*}$ . Considérons $p$ le plus grand entier tel que $2^{p}$ divise $n$ . On peut écrire $n = 2^{p} m$ avec $m \in ℕ^{*}$ . L’entier $m$ est nécessairement impair car sinon cela contredirait la maximalité définissant $p$ . On peut donc écrire $m = 2 q + 1$ avec $q \in ℕ$ et l’on constate $f (p, q) = n$ .

L’application $f$ est surjective et donc bijective.

Exercice 5 5708 Correction

On considère l’application $f : ℂ \to ℂ^{*}$ définie par

f (z) = e^{z} pour tout z \in ℂ .

(a)

Justifier que l’application $f$ est correctement définie.
(b)

L’application $f$ est-elle injective?
(c)

L’application $f$ est-elle surjective?

Solution

(a)

Pour tout $z \in ℂ$ , l’exponentielle de $z$ existe et correspond à un nombre complexe non nul. L’application $f$ est donc correctement définie au départ de $ℂ$ et à valeurs dans $ℂ^{*}$ .
(b)

On remarque $f (0) = f (2 i π) = 1$ . L’application $f$ n’est pas injective.
(c)

On sait que pour tout $Z \in ℂ^{*}$ , il existe $z \in ℂ$ tel que $f (z) = Z$ . En effet, si l’on écrit $Z = | Z | e^{i φ}$ avec $φ \in ℝ$ , le complexe $z = \ln (| Z |) + i φ$ convient. L’application $f$ est donc surjective.

Exercice 6 4475

Soient $f : ℕ \to ℕ$ et $g : ℕ \to ℕ$ les applications déterminées par:

f (k) = 2 k et g (k) = {\begin{matrix} k / 2 & si k est pair \\ (k - 1) / 2 & si k est impair. \end{matrix}

(a)

Étudier la bonne définition des applications $f$ et $g$ .
(b)

Étudier les injectivités des applications $f$ et $g$ .
(c)

Étudier les surjectivités des applications $f$ et $g$ .
(d)

Préciser les applications $g \circ f$ et $f \circ g$ . Sont-elles bijectives?

Exercice 7 4481

Soit $f : ℂ \to ℂ$ l’application définie par $f (z) = z^{2}$ .

(a)

Montrer que l’application $f$ est surjective mais non injective.

On note $Ω = {z \in ℂ | Re (z) > 0}$ .

(b)

On considère ${f |}_{Ω} : Ω \to ℂ$ la restriction de $f$ au départ de $Ω$ . Montrer que ${f |}_{Ω}$ est injective. Est-elle surjective?
(c)

On considère l’application $f^{'} : Ω \to ℂ ∖ ℝ_{-}$ définie par $f^{'} (z) = z^{2}$ . Montrer que celle-ci est bijective.

Exercice 8 1511

Soient $A$ et $B$ deux parties d’un ensemble $E$ et

f : {\begin{matrix} ℘ (E) & \to & ℘ (A) \times ℘ (B) \\ X & \mapsto & (X \cap A, X \cap B) . \end{matrix}

(a)

Montrer que $f$ est injective si, et seulement si, $A \cup B = E$ .
(b)

À quelle condition la fonction $f$ est-elle surjective?

Exercice 9 4480

Soit $f$ une fonction réelle définie au départ d’un intervalle $I$ .

Montrer que, si $f$ est strictement monotone, alors $f$ est injective.

Exercice 10 1508 Correction

Soient $E, F, G$ trois ensembles, $f_{1}, f_{2} : E \to F$ et $g : F \to G$ .
On suppose $g \circ f_{1} = g \circ f_{2}$ et $g$ injective. Montrer que $f_{1} = f_{2}$ .

Solution

Pour tout $x \in E$ on a $(g \circ f_{1}) (x) = (g \circ f_{2}) (x)$ c’est-à-dire $g (f_{1} (x)) = g (f_{2} (x))$ donc $f_{1} (x) = f_{2} (x)$ . Ainsi $f_{1} = f_{2}$ .

Exercice 11 1509 Correction

Soient $E, F, G$ trois ensembles, $f : E \to F$ et $g_{1}, g_{2} : F \to G$ .
On suppose $f$ surjective et $g_{1} \circ f = g_{2} \circ f$ . Montrer que $g_{1} = g_{2}$ .

Solution

Pour tout $y \in F$ , il existe $x \in E$ tel que $y = f (x)$ et alors $g_{1} (y) = (g_{1} \circ f) (x) = (g_{2} \circ f) (x) = g_{2} (y)$ donc $g_{1} = g_{2}$ .

Exercice 12 4482

Soit $f : E \to F$ une application.

Que dire de la restriction de $f$ au départ de $E$ et à valeurs dans $f (E))$ ? Que dire de plus si l’on sait $f$ injective?

Exercice 13 1504

Soient $f : E \to F$ et $g : F \to G$ deux applications. Établir:

(a)

$g \circ f$ injective $⟹$ $f$ injective.
(b)

$g \circ f$ surjective $⟹$ $g$ surjective.
(c)

$g \circ f$ injective et $f$ surjective $⟹$ $g$ injective.
(d)

$g \circ f$ surjective et $g$ injective $⟹$ $f$ surjective.

Exercice 14 1505 Correction

Soient $E, F, G$ trois ensembles, $f : E \to F$ , $g : F \to G$ et $h : G \to E$
Établir que si $h \circ g \circ f$ est injective et que $g \circ f \circ h$ et $f \circ h \circ g$ sont surjectives alors $f, g$ et $h$ sont bijectives.

Solution

Supposons $h \circ g \circ f$ injective et $g \circ f \circ h$ ainsi que $f \circ h \circ g$ surjectives.
Puisque $(h \circ g) \circ f$ est injective, on a $f$ injective.
Puisque $f \circ (h \circ g)$ est surjective, on a $f$ surjective.
Par suite, $f$ est bijective et l’on peut introduire $f^{- 1}$ .
Par composition $h \circ g = (h \circ g \circ f) \circ f^{- 1}$ est injective et par suite $g$ est injective.
D’autre part $g \circ f \circ h$ est surjective et donc $g$ aussi.

Finalement, $g$ est bijective. Par composition, $h = (h \circ g) \circ g^{- 1}$ est injective et $h = f^{- 1} \circ (f \circ h \circ g) \circ g^{- 1}$ est surjective donc $h$ est bijective.

Exercice 15 1507 Correction

Soient $f : E \to F$ et $g : F \to E$ deux applications telles que $f \circ g \circ f$ soit bijective.
Montrer que $f$ et $g$ sont bijectives

Solution

Par l’exercice précédent, $f \circ g \circ f$ bijective implique $f$ injective et $f$ surjective.
Ainsi $f$ est bijective et l’on peut introduire $f^{- 1}$ .
$g = f^{- 1} \circ (f \circ g \circ f) \circ f^{- 1}$ est bijective par composition d’applications bijectives.

Exercice 16 1506

Soient $E$ un ensemble et $f : E \to E$ une application telle que $f \circ f \circ f = f$ .

Montrer que $f$ est injective si, et seulement si, $f$ est surjective.

Exercice 17 4489

Soient $E$ et $F$ des ensembles non vides. Montrer qu’il existe une injection de $E$ dans $F$ si, et seulement si, il existe une surjection de $F$ sur $E$ .

Exercice 18 4490

Soit $E$ un ensemble. Montrer qu’il n’existe pas d’applications surjectives de $E$ vers $℘ (E)$ .

[<] Opérations sur les parties d'un ensemble [>] Image directe, image réciproque d'une partie

Édité le 15-11-2024

Injectivité, surjectivité, bijectivité