[<] Opérations sur les parties d'un ensemble [>] Image directe, image réciproque d'une partie
Soit l’application définie par . Montrer que l’application est bijective:
En constatant la définition d’une application bijective.
En vérifiant injectivité et surjectivité.
En déterminant une application susceptible d’être sa bijection réciproque.
Soient , et trois réels tels que et . On introduit .
On considère la fonction définie par
Justifier que l’application est bien définie.
Calculer . En déduire que est une bijection dont on déterminera l’application réciproque.
On considère l’application définie par
Montrer que l’application est bijective et exprimer sa bijection réciproque.
On considère l’application définie par
Justifier que l’application est correctement définie.
L’application est-elle injective?
L’application est-elle surjective?
Solution
Pour tout , l’exponentielle de existe et correspond à un nombre complexe non nul. L’application est donc correctement définie au départ de et à valeurs dans .
On remarque . L’application n’est pas injective.
On sait que pour tout , il existe tel que . En effet, si l’on écrit avec , le complexe convient. L’application est donc surjective.
Soient et les applications déterminées par:
Étudier la bonne définition des applications et .
Étudier les injectivités des applications et .
Étudier les surjectivités des applications et .
Préciser les applications et . Sont-elles bijectives?
Soit l’application définie par .
Montrer que l’application est surjective mais non injective.
On note .
On considère la restriction de au départ de . Montrer que est injective. Est-elle surjective?
On considère l’application définie par . Montrer que celle-ci est bijective.
Soient et deux parties d’un ensemble et
Montrer que est injective si, et seulement si, .
À quelle condition la fonction est-elle surjective?
Soit une fonction réelle définie au départ d’un intervalle .
Montrer que, si est strictement monotone, alors est injective.
Soient trois ensembles, et .
On suppose et injective. Montrer que .
Solution
Pour tout on a c’est-à-dire donc . Ainsi .
Soient trois ensembles, et .
On suppose surjective et . Montrer que .
Solution
Pour tout , il existe tel que et alors donc .
Soit une application.
Que dire de la restriction de au départ de et à valeurs dans ? Que dire de plus si l’on sait injective?
Soient et deux applications. Établir:
injective injective.
surjective surjective.
injective et surjective injective.
surjective et injective surjective.
Soient trois ensembles, , et
Établir que si est injective et que et sont surjectives alors et sont bijectives.
Solution
Supposons injective et ainsi que surjectives.
Puisque est injective, on a injective.
Puisque est surjective, on a surjective.
Par suite, est bijective et l’on peut introduire .
Par composition est injective et par suite est injective.
D’autre part est surjective et donc aussi.
Finalement, est bijective. Par composition, est injective et est surjective donc est bijective.
Soient et deux applications telles que soit bijective.
Montrer que et sont bijectives
Solution
Par l’exercice précédent, bijective implique injective et surjective.
Ainsi est bijective et l’on peut introduire .
est bijective par composition d’applications bijectives.
Soient un ensemble et une application telle que .
Montrer que est injective si, et seulement si, est surjective.
Soient et des ensembles non vides. Montrer qu’il existe une injection de dans si, et seulement si, il existe une surjection de sur .
Soit un ensemble. Montrer qu’il n’existe pas d’applications surjectives de vers .
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Édité le 29-08-2023
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