Exercice 1 1518 Correction

On définit une relation binaire $≼$ sur $ℝ_{+}^{*}$ par:

x ≼ y \Leftrightarrow \exists n \in ℕ, y = x^{n} .

Montrer que $≼$ est une relation d’ordre. Cet ordre est-il total?

Solution

Soit $x > 0$ , on a $x = x^{n}$ pour $n = 1 \in ℕ$ donc $x ≼ x$ . La relation $≼$ est réflexive.
Soient $x, y > 0$ , si $x ≼ y$ et $y ≼ x$ alors il existe $n, m \in ℕ$ tels que $y = x^{n}$ et $x = y^{m}$ .
On a alors $x = x^{n m}$ donc $\ln (x) = n m \ln (x)$
Si $x = 1$ alors $y = x^{n} = 1 = x$ .
Si $x \neq 1$ alors $\ln (x) \neq 0$ puis $1 = n m$ . Or $n, m \in ℕ$ donc $n = m = 1$ puis $x = y$ .

Finalement, la relation $≼$ est antisymétrique.
Soient $x, y, z > 0$ . Si $x ≼ y$ et $y ≼ z$ alors il existe $n, m \in ℕ$ tels que $y = x^{n}$ et $z = y^{m}$ .
On a $z = x^{m n}$ avec $m n \in ℕ$ donc $x ≼ z$ . La relation $≼$ est transitive.

Finalement, $≼$ est une relation d’ordre.
Cet ordre n’est pas total car, par exemple, 2 et 3 ne sont pas comparables.

Exercice 2 1522

Soit $f : E \to ℝ$ une application injective. On définit sur $E$ une relation binaire $≼$ par

x ≼ y \Leftrightarrow f (x) \leq f (y) .

(a)

Montrer que $≼$ est une relation d’ordre sur $E$ .
(b)

S’agit-il d’une relation d’ordre totale?

Exercice 3 4486

(Ordre lexicographique)

Sur $E = ℝ^{2}$ , on définit une relation binaire $≼$ par

(x, y) ≼ (x^{'}, y^{'}) \Leftrightarrow x < x^{'} ou (x = x^{'} et y \leq y^{'}) .

(a)

Vérifier que $≼$ définit une relation d’ordre sur $E$ .
(b)

S’agit-il d’une relation d’ordre totale?

Exercice 4 4487

Soit $≼$ la relation binaire définie sur le demi-plan $E = {(a, b) \in ℝ^{2} | a \leq b}$ par

(a, b) ≼ (a^{'}, b^{'}) \Leftrightarrow (a, b) = (a^{'}, b^{'}) ou b \leq a^{'} .

(a)

Montrer que $≼$ est une relation d’ordre sur $E$ .
(b)

S’agit-il d’une relation d’ordre totale?

Exercice 5 1520 Correction

On définit une relation binaire $≼$ sur ${z \in ℂ | Im (z) \geq 0}$ par:

z ≼ z^{'} \Leftrightarrow | z | < | z^{'} | ou (| z | = | z^{'} | et Re (z) \leq Re (z^{'})) .

Montrer qu’il s’agit d’une relation d’ordre total.

Solution

$≼$ est clairement réflexive.
Si $z ≼ z^{'}$ et $z^{'} ≼ z$ alors nécessairement $| z | = | z^{'} |$ et $Re (z) = Re (z^{'})$ donc $z = z^{'}$ car $Im (z), Im (z^{'}) \geq 0$ .
Si $z ≼ z^{'}$ et $z^{'} ≼ z^{''}$ alors si $| z | < | z^{''} |$ alors $z ≼ z^{''}$ et sinon $| z | = | z^{'} | = | z^{''} |$ et donc $Re (z) \leq Re (z^{'}) \leq Re (z^{''})$ ce qui permet à nouveau d’affirmer $z ≼ z^{''}$ .
Pour $z, z^{'} \in {z \in ℂ | Im (z) \geq 0}$ .
Si $| z | < | z^{'} |$ alors $z ≼ z^{'}$
Si $| z | > | z^{'} |$ alors $z^{'} ≼ z$ .
Si $| z | = | z^{'} |$ alors dans le cas où $Re (z) \leq Re (z^{'})$ on a $z ≼ z^{'}$ et, dans le cas complémentaire, on a $z^{'} ≼ z$ .
Dans tout les cas $z$ et $z^{'}$ sont comparables, la relation d’ordre est totale.

Exercice 6 1521 Correction

Soit $E$ l’ensemble des couples $(I, f)$ formé d’un intervalle $I$ et d’une fonction réelle définie sur $I$ .
On définit une relation $≼$ sur $E$ par: $(I, f) ≼ (J, g) \Leftrightarrow I \subset J$ et ${g |}_{I} = f$ .
Montrer que $≼$ est une relation d’ordre sur $E$ .

Solution

La relation est clairement réflexive.
Si $(I, f) ≼ (J, g)$ et $(J, g) ≼ (I, f)$ alors $I \subset J$ , $J \subset I$ et ${g |}_{I} = f$ donc $I = J$ et $f = g$ .
Si $(I, f) ≼ (J, g)$ et $(J, g) ≼ (K, h)$ alors $I \subset J \subset K$ et $h_{↾ I} = {({h |}_{J}) |}_{I} = {g |}_{I} = f$ donc $(I, f) ≼ (K, h)$ .

Finalement, $≼$ est une relation d’ordre.

Exercice 7 1523 Correction

Soient $A, B$ deux parties d’un ensemble $E$ ordonné par $≼$ .
On suppose que $A$ et $B$ ont chacun un plus grand élément.
Qu’en est-il de $A \cup B$ lorsque l’ordre est total? lorsqu’il ne l’est pas?
Que dire de $A \cap B$ ?

Solution

Si l’ordre est total $A \cup B$ possède un plus grand élément: $\max (A \cup B) = \max (\max (A), \max (B))$ .
Si l’ordre n’est pas total, les plus grands éléments de $A$ et de $B$ peuvent ne pas être comparés aux éléments de $A$ et $B$ . Dans $(ℕ^{*}, ∣)$ , pour $A = {2,4}$ et $B = {3,9}$ , $A$ et $B$ ont un plus grand élément alors que $A \cup B$ n’en a pas.
$A \cap B$ peut ne pas posséder de plus grand élément, cet ensemble peut notamment être vide.

Exercice 8 1525 Correction

Soit $E$ un ensemble ordonné par une relation $\leq$ .
Un tableau à $n$ lignes et $p$ colonnes est formé d’éléments $a_{i, j} \in E$ avec $i$ indice de ligne( $1 \leq i \leq n$ ) et $j$ indice de colonne( $1 \leq j \leq p$ ).
On note le plus petit élément de chaque colonne et l’on prend le plus grand de ces plus petits:

\max_{1 \leq j \leq p} (\min_{1 \leq i \leq n} a_{i, j}) .

On note aussi le plus grand élément de chaque ligne et l’on prend le plus petit de ces plus grands:

\min_{1 \leq i \leq n} (\max_{1 \leq j \leq p} a_{i, j}) .

(a)

Comparer ces deux nombres.
(b)

Donner un exemple de non égalité.

Solution

(a)

Pour tout $1 \leq m \leq p$ ,

$a_{i, m} \leq \max_{1 \leq j \leq p} a_{i, j}$

donc

$\min_{1 \leq i \leq n} a_{i, m} \leq \min_{1 \leq i \leq n} \max_{1 \leq j \leq p} a_{i, j}$

puis

$\max_{1 \leq m \leq p} \min_{1 \leq i \leq n} a_{i, m} \leq \min_{1 \leq i \leq n} \max_{1 \leq j \leq p} a_{i, j} .$
(b)

Pour le tableau $(\begin{matrix} 1 & 4 \\ 3 & 2 \end{matrix})$

$\max_{1 \leq j \leq 2} \min_{1 \leq i \leq 2} a_{i, j} = 2 et \min_{1 \leq i \leq 2} \max_{1 \leq j \leq 2} a_{i, j} = 3 .$

Exercice 9 2055 Correction

Montrer qu’il n’existe pas de suite strictement décroissante d’entiers naturels.

Solution

Par l’absurde, supposons que $(u_{n})$ soit une telle suite.
$A = {u_{n} | n \in ℕ}$ est une partie non vide de $ℕ$ , elle possède donc un plus petit élément $m$ .
Puisque $m \in A$ , il existe $n \in ℕ$ tel que $m = u_{n}$ . Mais alors $u_{n + 1} < u_{n} \leq m = \min A$ . Absurde.

Exercice 10 1524 Correction

Soit $(E, ≼)$ un ensemble ordonné tel que toute partie non vide admet un plus petit élément et un plus grand élément.
Montrer que $E$ est fini.

Solution

Par l’absurde supposons $E$ infini.
Posons $x_{0} = \min E$ , $x_{1} = \min E ∖ {x_{0}}$ ,…, $x_{n} = \min E ∖ {x_{0}, x_{1}, \dots, x_{n - 1}}$ ,…
L’ensemble ${x_{0}, \dots, x_{n}, \dots}$ n’a pas de plus grand élément. Absurde.

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Édité le 29-08-2023

Relations d'ordre