Exercice 1 4466

Soit $f$ une fonction de $ℝ$ vers $ℝ$ . Que signifient les phrases quantifiées suivantes?

(a)

$\exists M \in ℝ, \forall x \in ℝ, f (x) \leq M$ .
(b)

$\forall M \in ℝ, \exists x \in ℝ, f (x) \geq M$ .
(c)

$\forall x \in ℝ, x \geq 0 ⟹ f (x) \geq 0$ .
(d)

$\forall x \in ℝ, f (x) = 0 ⟹ x = 0$ .
(e)

$\exists A \in ℝ, \exists C \in ℝ, \forall x \in ℝ, x \geq A ⟹ f (x) = C$ .

Exercice 2 1485 Correction

Soient $I$ un intervalle de $ℝ$ et $f : I \to ℝ$ une fonction définie sur $I$ à valeurs réelles.
Exprimer verbalement la signification des assertions suivantes:

(a)

$\exists C \in ℝ, \forall x \in I, f (x) = C$
(b)

$\forall x \in I, f (x) = 0 ⟹ x = 0$
(c)

$\forall y \in ℝ, \exists x \in I, f (x) = y$
(d)

$\forall x, y \in I, x \leq y ⟹ f (x) \leq f (y)$
(e)

$\forall x, y \in I, f (x) = f (y) ⟹ x = y$ .

Solution

(a)

la fonction $f$ est constante
(b)

la fonction $f$ ne peut s’annuler qu’en 0 (mais n’y est pas forcée de s’y annuler)
(c)

la fonction $f$ prend toute valeur réelle
(d)

la fonction $f$ est croissante
(e)

la fonction $f$ ne prend jamais deux fois la même valeur

Exercice 3 4468

Soit $f : ℝ \to ℝ$ une application. Signifier à l’aide de phrases quantifiées les affirmations suivantes:

(a)

La fonction $f$ est la fonction nulle.
(b)

La fonction $f$ s’annule.
(c)

La fonction $f$ ne s’annule que sur $ℝ_{+}$ .
(d)

La fonction $f$ s’annule au plus une fois.

Exercice 4 1486 Correction

Soient $I$ un intervalle de $ℝ$ et $f : I \to ℝ$ une fonction définie sur $I$ à valeurs réelles.
Exprimer à l’aide de quantificateurs les assertions suivantes:

(a)

la fonction $f$ s’annule
(b)

la fonction $f$ est la fonction nulle
(c)

$f$ n’est pas une fonction constante
(d)

$f$ ne prend jamais deux fois la même valeur
(e)

la fonction $f$ présente un minimum
(f)

$f$ prend des valeurs arbitrairement grandes
(g)

$f$ ne peut s’annuler qu’une seule fois.

Solution

(a)

$\exists x \in I, f (x) = 0$
(b)

$\forall x \in I, f (x) = 0$
(c)

$\exists x, y \in I, f (x) \neq f (y)$
(d)

$\forall x, y \in I, x \neq y ⟹ f (x) \neq f (y)$ ou encore
$\forall x, y \in I, f (x) = f (y) ⟹ x = y$
(e)

$\exists a \in I, \forall x \in I, f (x) \geq f (a)$
(f)

$\forall M \in ℝ, \exists x \in I, f (x) > M$
(g)

$\forall x, y \in I, f (x) = 0 et f (y) = 0 ⟹ x = y$ .

Exercice 5 4467

Soit $f : ℝ \to ℝ$ une application. Écrire les négations des phrases quantifiées suivantes:

(a)

$\exists M \in ℝ, (\forall x \in ℝ, f (x) \geq M) ou (\forall x \in ℝ, f (x) \leq M)$ .
(b)

$\forall x \in ℝ, f (x) \geq 0 ⟹ x \geq 0$ .
(c)

$\forall (x, y) \in ℝ^{2}, x \leq y ⟹ f (x) \leq f (y)$ .
(d)

$\forall a \in ℝ, \forall ε > 0, \exists α > 0, \forall x \in ℝ, | x - a | \leq α ⟹ | f (x) - f (a) | \leq ε$ .

Exercice 6 1487 Correction

Soient $I$ un intervalle de $ℝ$ non vide et $f : I \to ℝ$ une fonction à valeurs réelles définie sur $I$ .
Exprimer les négations des assertions suivantes:

(a)

$\forall x \in I, f (x) \neq 0$
(b)

$\forall y \in ℝ, \exists x \in I, f (x) = y$
(c)

$\exists M \in ℝ, \forall x \in I, | f (x) | \leq M$
(d)

$\forall x, y \in I, x \leq y ⟹ f (x) \leq f (y)$
(e)

$\forall x, y \in I, f (x) = f (y) ⟹ x = y$
(f)

$\forall x \in I, f (x) > 0 ⟹ x \leq 0$ .

Solution

(a)

$\exists x \in I, f (x) = 0$
(b)

$\exists y \in ℝ, [x \in I] f (x) \neq y$
(c)

$\forall M \in ℝ, \exists x \in I, | f (x) | > M$
(d)

$\exists x, y \in I, x \leq y et f (x) > f (y)$
(e)

$\exists x, y \in I, f (x) = f (y) et x \neq y$
(f)

$\exists x \in I, f (x) > 0 et x > 0$ .

Exercice 7 1488

Soit $f : E \to F$ une application. Dans chaque cas, donner la différence de sens entre les deux assertions proposées:

(a)

$« \forall x \in E, \exists y \in F, y = f (x) »$ et $« \exists y \in F, \forall x \in E, y = f (x) »$ .
(b)

$« \forall y \in F, \exists x \in E, y = f (x) »$ et $« \exists x \in E, \forall y \in F, y = f (x) »$ .

Soit $𝒫 (x, y)$ une assertion dépendant d’un couple $(x, y)$ élément de $E \times F$ .

(c)

Laquelle des deux assertions suivantes entraîne l’autre?

$« \exists x \in E, \forall y \in F, 𝒫 (x, y) » et « \forall y \in F, \exists x \in E, 𝒫 (x, y) ».$

Pourquoi ne sont-elles généralement pas équivalentes?

Exercice 8 1489 Correction

Soit $f : ℝ \to ℝ$ une fonction continue.

On considère les assertions suivantes:

P \sim « \forall x \in ℝ, f (x) = 0 », Q \sim « \exists x \in ℝ, f (x) = 0 »

R \sim « (\forall x \in ℝ, f (x) > 0) ou (\forall x \in ℝ, f (x) < 0) ».

Parmi les implications suivantes lesquelles sont correctes:

(a)

$P ⟹ Q$
(b)

$Q ⟹ P$
(c)

$Q ⟹ R$
(d)

$non (R) ⟹ Q$
(e)

$non (Q) ⟹ non (P)$
(f)

$non (P) ⟹ non (R)$ ?

Solution

(a) (d) (e) sont les assertions correctes (l’assertion (d) car $f$ est continue).

Exercice 9 1490 Correction

Soit $a \in ℝ$ .

(a)

Montrer que $(\forall ε \geq 0, | a | \leq ε) ⟹ a = 0$ .
(b)

Montrer que $(\forall ε > 0, | a | \leq ε) ⟹ a = 0$ .

Solution

(a)

Supposons $\forall ε \geq 0, | a | \leq ε$ . En particulier, pour $ε = 0$ , on a $| a | \leq 0$ donc $a = 0$ .
(b)

Par contraposée, montrons: $a \neq 0 ⟹ \exists ε > 0, | a | > ε$ .
Supposons $a \neq 0$ . Pour $ε = \frac{| a |}{2}$ on a $ε > 0$ et $| a | > ε$ ce qui détermine un $ε$ convenable.

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Édité le 29-08-2023

Usage des quantificateurs