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Exercice 1  4466  

Soit f une fonction de vers . Que signifient les phrases quantifiées suivantes?

  • (a)

    M,x,f(x)M.

  • (b)

    M,x,f(x)M.

  • (c)

    x,x0f(x)0.

  • (d)

    x,f(x)=0x=0.

  • (e)

    A,C,x,xAf(x)=C.

 
Exercice 2  1485  Correction  

Soient I un intervalle de et f:I une fonction définie sur I à valeurs réelles.
Exprimer verbalement la signification des assertions suivantes:

  • (a)

    C,xI,f(x)=C

  • (b)

    xI,f(x)=0x=0

  • (c)

    y,xI,f(x)=y

  • (d)

    x,yI,xyf(x)f(y)

  • (e)

    x,yI,f(x)=f(y)x=y.

Solution

  • (a)

    la fonction f est constante

  • (b)

    la fonction f ne peut s’annuler qu’en 0 (mais n’y est pas forcée de s’y annuler)

  • (c)

    la fonction f prend toute valeur réelle

  • (d)

    la fonction f est croissante

  • (e)

    la fonction f ne prend jamais deux fois la même valeur

 
Exercice 3  4468  

Soit f: une application. Signifier à l’aide de phrases quantifiées les affirmations suivantes:

  • (a)

    La fonction f est la fonction nulle.

  • (b)

    La fonction f s’annule.

  • (c)

    La fonction f ne s’annule que sur +.

  • (d)

    La fonction f s’annule au plus une fois.

 
Exercice 4  1486  Correction  

Soient I un intervalle de et f:I une fonction définie sur I à valeurs réelles.
Exprimer à l’aide de quantificateurs les assertions suivantes:

  • (a)

    la fonction f s’annule

  • (b)

    la fonction f est la fonction nulle

  • (c)

    f n’est pas une fonction constante

  • (d)

    f ne prend jamais deux fois la même valeur

  • (e)

    la fonction f présente un minimum

  • (f)

    f prend des valeurs arbitrairement grandes

  • (g)

    f ne peut s’annuler qu’une seule fois.

Solution

  • (a)

    xI,f(x)=0

  • (b)

    xI,f(x)=0

  • (c)

    x,yI,f(x)f(y)

  • (d)

    x,yI,xyf(x)f(y) ou encore
    x,yI,f(x)=f(y)x=y

  • (e)

    aI,xI,f(x)f(a)

  • (f)

    M,xI,f(x)>M

  • (g)

    x,yI,f(x)=0 et f(y)=0x=y.

 
Exercice 5  4467  

Soit f: une application. Écrire les négations des phrases quantifiées suivantes:

  • (a)

    M,(x,f(x)M) ou (x,f(x)M).

  • (b)

    x,f(x)0x0.

  • (c)

    (x,y)2,xyf(x)f(y).

  • (d)

    a,ε>0,α>0,x,|x-a|α|f(x)-f(a)|ε.

 
Exercice 6  1487  Correction  

Soient I un intervalle de non vide et f:I une fonction à valeurs réelles définie sur I.
Exprimer les négations des assertions suivantes:

  • (a)

    xI,f(x)0

  • (b)

    y,xI,f(x)=y

  • (c)

    M,xI,|f(x)|M

  • (d)

    x,yI,xyf(x)f(y)

  • (e)

    x,yI,f(x)=f(y)x=y

  • (f)

    xI,f(x)>0x0.

Solution

  • (a)

    xI,f(x)=0

  • (b)

    y,[xI]f(x)y

  • (c)

    M,xI,|f(x)|>M

  • (d)

    x,yI,xy et f(x)>f(y)

  • (e)

    x,yI,f(x)=f(y) et xy

  • (f)

    xI,f(x)>0 et x>0.

 
Exercice 7  1488  

Soit f:EF une application. Dans chaque cas, donner la différence de sens entre les deux assertions proposées:

  • (a)

    « xE,yF,y=f(x) » et « yF,xE,y=f(x) ».

  • (b)

    « yF,xE,y=f(x) » et « xE,yF,y=f(x) ».

Soit 𝒫(x,y) une assertion dépendant d’un couple (x,y) élément de E×F.

  • (c)

    Laquelle des deux assertions suivantes entraîne l’autre?

    « xE,yF,𝒫(x,y) »et« yF,xE,𝒫(x,y) ».

    Pourquoi ne sont-elles généralement pas équivalentes?

 
Exercice 8  1489  Correction  

Soit f: une fonction continue.
On considère les assertions suivantes:

P« x,f(x)=0 »,Q« x,f(x)=0 »

et

R« (x,f(x)>0) ou (x,f(x)<0) ».

Parmi les implications suivantes lesquelles sont exactes:

  • (a)

    PQ

  • (b)

    QP

  • (c)

    QR

  • (d)

    non(R)Q

  • (e)

    non(Q)non(P)

  • (f)

    non(P)non(R)?

Solution

  • (a)

    d) e) sont les assertions exactes (d) car f est continue…

 
Exercice 9  1490   Correction  

Soit a.

  • (a)

    Montrer que (ε0,|a|ε)a=0.

  • (b)

    Montrer que (ε>0,|a|ε)a=0.

Solution

  • (a)

    Supposons ε0,|a|ε. En particulier, pour ε=0, on a |a|0 donc a=0.

  • (b)

    Par contraposée, montrons: a0ε>0,|a|>ε.
    Supposons a0. Pour ε=|a|2 on a ε>0 et |a|>ε ce qui détermine un ε convenable.

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Édité le 08-11-2019

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