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Exercice 1  1481  Correction  

Décrire les parties de dans lesquelles évoluent x pour que les assertions suivantes soient vraies:

  • (a)

    (x>0 et x<1) ou x=0

  • (b)

    x>3 et x<5 et x4

  • (c)

    (x0 et x>1) ou x=4

  • (d)

    x0x2.

Solution

  • (a)

    [0;1[

  • (b)

    ]3;4[]4;5[

  • (c)

    {4}

  • (d)

    ]-;0[[2;+[ (et il n’y a pas d’erreurs!)

 
Exercice 2  1482  Correction  

Étant donné P, Q et R trois assertions, vérifier en dressant la table de vérité:

  • (a)

    P ou (Q et R)(P ou Q) et (P ou R)

  • (b)

    non(PQ)P et non(Q).

Solution

  • (a)

    Dans les deux cas on obtient la table

    PvvvvffffQvvffvvffRvfvfvfvfvvvvvfff.
  • (b)

    Dans les deux cas on obtient la table

    PvvffQvfvffvff.
 
Exercice 3  1483   Correction  

On dispose de neuf billes visuellement identiques, huit d’entre elles ont même masse mais la neuvième est plus lourde. Comment, en deux pesées sur une balance à deux plateaux, peut-on démasquer l’intrus?

Solution

On compare deux paquets de trois billes.
Si l’un est plus lourd que l’autre, c’est qu’il contient l’intrus.
Sinon, l’intrus est parmi les trois billes restantes.
Ainsi, on sait dans quel paquet de trois billes se situe l’intrus.
Dans ce celui-ci, on compare deux billes.
Si l’une est plus lourde que l’autre, c’est l’intrus.
Sinon, l’intrus est la troisième.

 
Exercice 4  1484    Correction  

On dispose de neuf billes visuellement identiques, elles ont toutes la même masse sauf une.
Comment, à l’aide d’une balance à deux plateaux, démasquer l’intrus en trois pesées?

Solution

L’exercice serait facile à résoudre en deux pesées si l’on savait si la bille différente était plus lourde ou plus légère que les autres. Ignorant ce fait, l’exercice devient d’autant plus croustillant…
Notons 1,2,3,4,5,6,7,8,9 nos billes.
On commence par comparer 2 lots constituées de 1,2,3 et de 4,5,6.
Si ceux-ci ont même masse alors l’intrus figure parmi 7,8,9 et l’on peut utiliser la bille 1 comme bille témoin. On compare alors les billes 1 et 7 puis les billes 1 et 8 pour démasquer l’intrus.
Si en revanche les deux premiers lots n’ont pas même masse, l’intrus se trouve parmi l’un deux. La bille 9 servira alors de bille témoin. Pour fixer les idées (et sans perte de généralités), supposons que le premier lot est plus lourd que le second. Comparons maintenant les billes 1 et 4 avec les billes 2 et 5.
Si celles-ci ont même masse commune, l’intrus se trouve dans les deux autres billes 3 et 6. Une comparaison de 3 avec 9 permet alors de savoir qui est l’intrus de 3 ou de 6.
Si celles-ci n’ont pas même masse commune, pour fixer les idées (et sans perte de généralités), supposons que 1 et 4 soient plus lourdes que 2 et 5.
Si l’intrus est plus lourd que ses congénères alors cela ne peut ni être 4 ni être 2 à cause respectivement des première et deuxième pesées.
Si l’intrus est plus léger que ses congénères alors cela ne peut ni être 2 ni être 4 à cause respectivement des première et deuxième pesées.
Dans tous les cas l’intrus est soit 1, soit 5.
Une comparaison de la bille 1 avec la bille 9 permet alors de démasquer cet intrus.

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Édité le 08-11-2019

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