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Exercice 1  712   Correction  

Soient D=diag(a1,,an)n(𝕂) et

φ:Mn(𝕂)DM-MD.
  • (a)

    Déterminer noyau et image de l’endomorphisme φ.

  • (b)

    Préciser ces espaces quand D est à coefficients diagonaux distincts.

Solution

  • (a)

    DEi,j=aiEi,j et Ei,jD=ajEi,j donc

    φ(Ei,j)=(ai-aj)Ei,j.

    Posons I={(i,j)1;n2|aiaj} et J={(i,j)1;n2|ai=aj}=1;n2I.
    Pour (i,j)I, Ei,jIm(φ) et pour (i,j)J, Ei,jKer(φ).
    Ainsi,

    Vect{Ei,j|(i,j)I}Im(φ)etVect{Ei,j|(i,j)J}Ker(φ).

    Or

    dimVect{Ei,j|(i,j)I}+dimVect{Ei,j|(i,j)J}=n2=dimIm(φ)+dimKer(φ)

    donc

    dimVect{Ei,j|(i,j)I}=dimIm(φ)

    et

    dimVect{Ei,j|(i,j)J}=dimKer(φ)

    puis

    Vect{Ei,j|(i,j)I}=Im(φ)etVect{Ei,j|(i,j)J}=Ker(φ).
  • (b)

    Si D est à coefficients diagonaux distincts alors

    I={(i,j)1;n2|ij}etJ={(i,i)|i1;n}.

    Par suite, Im(φ) est l’espace des matrices de diagonale nulle tandis que Ker(φ) est l’espace des matrices diagonales.

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Édité le 29-08-2023

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