$D{E}_{i,j}=a_i{E}_{i,j}$ et $E_{i,j}D=a_j{E}_{i,j}$ donc

$$\phi (E_{i,j})=(a_i-a_j)E_{i,j}\text{.}$$

Posons $I=\{(i,j)\in {⟦1;n⟧}^2|a_i\ne a_j\}$ et $J=\{(i,j)\in {⟦1;n⟧}^2|a_i=a_j\}={⟦1;n⟧}^2\setminus I$.
Pour $(i,j)\in I$, $E_{i,j}\in \mathrm{Im}(\phi )$ et pour $(i,j)\in J$, $E_{i,j}\in \mathrm{Ker}(\phi )$.
Ainsi,

$$\mathrm{Vect}\{E_{i,j}|(i,j)\in I\}\subset \mathrm{Im}(\phi )\mathit{\hspace{1em}}\text{et}\mathit{\hspace{1em}}\mathrm{Vect}\{E_{i,j}|(i,j)\in J\}\subset \mathrm{Ker}(\phi )\text{.}$$

Or

$$dim\mathrm{Vect}\{E_{i,j}|(i,j)\in I\}+dim\mathrm{Vect}\{E_{i,j}|(i,j)\in J\}=n^2=dim\mathrm{Im}(\phi )+dim\mathrm{Ker}(\phi )$$

donc

$$dim\mathrm{Vect}\{E_{i,j}|(i,j)\in I\}=dim\mathrm{Im}(\phi )$$

et

$$dim\mathrm{Vect}\{E_{i,j}|(i,j)\in J\}=dim\mathrm{Ker}(\phi )$$

puis

$$\mathrm{Vect}\{E_{i,j}|(i,j)\in I\}=\mathrm{Im}(\phi )\mathit{\hspace{1em}}\text{et}\mathit{\hspace{1em}}\mathrm{Vect}\{E_{i,j}|(i,j)\in J\}=\mathrm{Ker}(\phi )\text{.}$$

Si $D$ est à coefficients diagonaux distincts alors

$$I=\{(i,j)\in {⟦1;n⟧}^2|i\ne j\}\mathit{\hspace{1em}}\text{et}\mathit{\hspace{1em}}J=\{(i,i)|i\in ⟦1;n⟧\}\text{.}$$

Par suite, $\mathrm{Im}(\phi )$ est l’espace des matrices de diagonale nulle tandis que $\mathrm{Ker}(\phi )$ est l’espace des matrices diagonales.