Exercice 1 2152

Soient $n \in ℕ$ et $Δ : 𝕂_{n + 1} [X] \to 𝕂_{n} [X]$ l’application définie¹¹ 1 L’écriture $P (X + 1)$ fait référence à la composition de deux polynômes et non à un produit: on remplace $X$ par $X + 1$ dans l’expression du polynôme $P$ . L’écriture $P (X)$ fait directement référence à $P$ . par

Δ (P) = P (X + 1) - P (X) .

(a)

Montrer que $Δ$ définit une application linéaire.
(b)

Déterminer le noyau de $Δ$ et établir que l’application $Δ$ est surjective.

Exercice 2 2162 Correction

Soient $a_{0}, \dots, a_{n}$ des réels distincts et $φ : ℝ_{2 n + 1} [X] \to ℝ^{2 n + 2}$ définie par

φ (P) = (P (a_{0}), P^{'} (a_{0}), \dots, P (a_{n}), P^{'} (a_{n})) .

Montrer que $φ$ est bijective.

Solution

$φ$ est clairement linéaire et si $P \in Ker (φ)$ alors $P$ a plus de racines (comptés avec multiplicité) que son degré donc $P = 0$ . Ainsi $φ$ est injective et puisque $dim ℝ_{2 n + 1} [X] = dim ℝ^{2 n + 2}$ , $φ$ est un isomorphisme.

Exercice 3 4386

(Interpolation de Lagrange)

Soient $n \in ℕ^{*}$ et $a_{0}, a_{1}, \dots, a_{n}$ des réels deux à deux distincts.

(a)

Montrer que l’application $φ : ℝ [X] \to ℝ^{n + 1}$ définie par

$φ (P) = (P (a_{0}), P (a_{1}), \dots, P (a_{n}))$

est linéaire et préciser son noyau.
(b)

Établir que la restriction de $φ$ au départ de $ℝ_{n} [X]$ réalise un isomorphisme.

Soit $y = (y_{0}, y_{1}, \dots, y_{n}) \in ℝ^{n + 1}$ .

(c)

Exprimer l’unique polynôme $P_{0}$ de $ℝ_{n} [X]$ vérifiant $φ (P_{0}) = y$ .
(d)

Exprimer en fonction de $P_{0}$ tous les polynômes $P$ vérifiant $φ (P) = y$ .

Exercice 4 5817 Correction

Soient $n \in ℕ$ , $a, b \in ℝ$ distincts.

(a)

Établir que l’application $φ : ℝ_{2 n - 1} [X] \to ℝ^{2 n}$ définie par

$φ (P) = (P (a), P^{'} (a), \dots, P^{(n - 1) (a)}, P (b), P^{'} (b), \dots, P^{(n - 1)} (b))$

est un isomorphisme d’espaces vectoriels.
(b)

En déduire qu’il existe une famille de polynômes ${(Q_{k})}_{0 \leq k < 2 n}$ telle que

$\forall P \in ℝ_{2 n - 1} [X], P = \sum_{k = 0}^{n - 1} P^{(k)} (a) Q_{k} + \sum_{k = 0}^{n - 1} P^{(k)} (b) Q_{n + k} .$

Solution

(a)

L’application $φ$ est clairement linéaire et opère entre deux espaces vectoriels de même dimension finie. Il suffit d’établir que $φ$ est injective pour établir que $φ$ est un isomorphisme. Soit $P \in Ker (φ)$ . On a

$P (a) = P^{'} (a) = \dots = P^{(n - 1) (a)} = 0 et P (b) = P^{'} (b) = \dots = P^{(n - 1)} (b) = 0 .$

Les réels $a$ et $b$ sont donc racines de multiplicité au moins $n$ de $P$ . Or $\deg (P) < 2 n$ donc $P = 0$ .
(b)

Considérons la base canonique de $ℝ^{2 n}$ dont on note les vecteurs $(e_{0}, \dots, e_{2 n - 1})$ . Pour tout $P \in ℝ_{2 n - 1} [X]$ , on peut écrire

$φ (P) = \sum_{k = 0}^{n - 1} P^{(k)} (a) e_{k} + \sum_{k = 0}^{n - 1} P^{(k)} (b) e_{n + k} .$

Par l’isomorphisme $φ^{- 1}$ ,

$P = \sum_{k = 0}^{n - 1} P^{(k)} (a) φ^{- 1} (e_{k}) + \sum_{k = 0}^{n - 1} P^{(k)} (b) φ^{- 1} (e_{n + k}) .$

En introduisant $Q_{k} = φ^{- 1} (e_{k})$ pour $k = 0, \dots, 2 n - 1$ , on obtient l’écriture

$P = \sum_{k = 0}^{n - 1} P^{(k)} (a) Q_{k} + \sum_{k = 0}^{n - 1} P^{(k)} (b) Q_{n + k} .$

Notons que la famille ${(Q_{k})}_{0 \leq k < 2 n}$ est alors une base de $ℝ_{2 n - 1} [X]$ en tant qu’image réciproque d’une base par un isomorphisme.

Exercice 5 163 Correction

Soient $n \in ℕ^{*}$ , $E = ℝ_{n} [X]$ et $Δ$ l’endomorphisme de $E$ déterminé par $Δ (P) = P (X + 1) - P (X)$ .

(a)

Justifier que l’endomorphisme $Δ$ est nilpotent.
(b)

Déterminer des réels $a_{0}, \dots, a_{n}, a_{n + 1}$ non triviaux vérifiant:

$\forall P \in ℝ_{n} [X], \sum_{k = 0}^{n + 1} a_{k} P (X + k) = 0 .$

Solution

(a)

On remarque que si $\deg (P) \leq m$ alors $\deg (Δ (P)) \leq m - 1$ .
On en déduit $Im (Δ) \subset ℝ_{n - 1} [X]$ , $Im (Δ^{2}) \subset ℝ_{n - 2} [X]$ ,…puis $Δ^{n + 1} = 0$ .
(b)

Introduisons l’endomorphisme $T : P (X) \mapsto P (X + 1)$ .
On a $Δ = T - Id$ et par la formule du binôme de Newton( $T$ et $Id$ commutent),

$\sum_{k = 0}^{n + 1} {(- 1)}^{n + 1 - k} (\binom{n + 1}{k}) T^{k} = 0 .$

Ainsi pour

$a_{k} = {(- 1)}^{k} (\binom{n + 1}{k})$

on a

$\forall P \in ℝ_{n} [X], \sum_{k = 0}^{n + 1} a_{k} P (X + k) = 0 .$

Exercice 6 2153 Correction

Soit $Δ : ℂ [X] \to ℂ [X]$ l’application définie par

Δ (P) = P (X + 1) - P (X) .

(a)

Montrer que $Δ$ est un endomorphisme et que pour tout polynôme $P$ non constant $\deg (Δ (P)) = \deg (P) - 1$ .
(b)

Déterminer $Ker (Δ)$ et $Im (Δ)$ .
(c)

Soit $P \in ℂ [X]$ et $n \in ℕ$ . Montrer

$Δ^{n} (P) = {(- 1)}^{n} \sum_{k = 0}^{n} {(- 1)}^{k} (\binom{n}{k}) P (X + k) .$
(d)

En déduire que, si $\deg (P) < n$ , alors

$\sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) {(- 1)}^{k} P (k) = 0 .$

Solution

(a)

$Δ$ est clairement linéaire.
Soit $P \in ℂ [X]$ non nul et $n = \deg (P)$ . On peut écrire $P = a_{0} + a_{1} X + \dots + a_{n} X^{n}$ avec $a_{n} \neq 0$ .
$Δ (P) = a_{1} Δ (X) + \dots + a_{n} Δ (X^{n})$ or $\deg (Δ (X)), \dots, \deg (Δ (X^{n - 1})) \leq n - 1$ et $\deg (Δ (X^{n})) = n - 1$ donc $\deg (Δ (P)) = n - 1$ .
(b)

Si $P$ est constant alors $Δ (P) = 0$ et sinon $Δ (P) \neq 0$ donc $Ker (Δ) = ℂ_{0} [X]$ .
Soit $P \in ℂ_{n} [X]$ . La restriction $\tilde{Δ}$ de $Δ$ au départ $ℂ_{n + 1} [X]$ et à l’arrivée dans $ℂ_{n} [X]$ est bien définie, de noyau de dimension 1 et en vertu du théorème du rang surjective. Il s’ensuit que $Δ$ est surjective.
(c)

Notons $T \in ℒ (ℂ [X])$ défini par $T (P) = P (X + 1)$ .
$Δ = T - I$ donc

$Δ^{n} = \sum_{k = 0}^{n} {(- 1)}^{n - k} (\binom{n}{k}) T^{k}$

avec $T^{k} (P) = P (X + k)$ donc

$Δ^{n} (P) = {(- 1)}^{n} \sum_{k = 0}^{n} {(- 1)}^{k} (\binom{n}{k}) P (X + k) .$
(d)

Si $\deg (P) < n$ alors $Δ^{n} (P) = 0$ donc

$\sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) {(- 1)}^{k} P (k) = 0 .$

Exercice 7 2154 Correction

Soit $φ : 𝕂_{n + 1} [X] \to 𝕂_{n} [X]$ définie par $φ (P) = (n + 1) P - X P^{'}$ .

(a)

Justifier que $φ$ est bien définie et que c’est une application linéaire.
(b)

Déterminer le noyau de $φ$ .
(c)

En déduire que $φ$ est surjective.

Solution

(a)

Si $P \in 𝕂_{n} [X]$ alors $φ (P) \in 𝕂_{n} [X]$ .
Si $\deg (P) = n + 1$ alors $(n + 1) P$ et $X P^{'}$ ont même degré( $n + 1$ ) et même coefficient dominant donc $\deg (n + 1) P - X P^{'} < n + 1$ puis $(n + 1) P - X P^{'} \in 𝕂_{n} [X]$ .

Finalement, pour tout $P \in 𝕂_{n + 1} [X]$ , $φ (P) \in 𝕂_{n} [X]$ et l’application $φ$ est donc bien définie.
Pour $λ, μ \in 𝕂$ et tout $P, Q \in 𝕂_{n + 1} [X]$ :
$φ (λ P + μ Q) = (n + 1) (λ P + μ Q) - X {(λ P + μ Q)}^{'} = λ ((n + 1) P - X P^{'}) + μ ((n + 1) Q - X Q^{'})$
et donc $φ (λ P + μ Q) = λ φ (P) + μ φ (Q)$ .
(b)

Soit $P = \sum_{k = 0}^{n + 1} a_{k} X^{k} \in 𝕂_{n + 1} [X]$ .

$φ (P) = 0 \Leftrightarrow \forall k \in {0,1, \dots, n + 1}, (n + 1) a_{k} = k a_{k} .$

Ainsi,

$P \in Ker (φ) \Leftrightarrow \forall k \in {0,1 \dots, n}, a_{k} = 0 .$

Par suite, $Ker (φ) = Vect (X^{n + 1})$ .
(c)

Par le théorème du rang $rg (φ) = dim 𝕂_{n + 1} [X] - dim Ker (φ) = n + 2 - 1 = dim 𝕂_{n} [X]$ donc $φ$ est surjective.

Exercice 8 2665 MINES (MP)Correction

Montrer, pour tout $n \in ℕ$ , qu’il existe un unique $P_{n} \in ℝ_{n + 1} [X]$ tel que $P_{n} (0) = 0$ et $P_{n} (X + 1) - P_{n} (X) = X^{n}$ .

Solution

Considérons l’application $φ : ℝ_{n + 1} [X] \to ℝ_{n} [X]$ définie par $φ (P) = P (X + 1) - P (X)$ . L’application $φ$ est bien définie, linéaire et de noyau $ℝ_{0} [X]$ . Par le théorème du rang, elle est surjective et les solutions de l’équation $φ (P) = X^{n}$ se déduisent les unes des autres par l’ajout d’un élément de $ℝ_{0} [X]$ , c’est-à-dire d’une constante. Ainsi, il existe une unique solution vérifiant $P (0) = 0$ .

Exercice 9 2155 Correction

(a)

Montrer que $φ : ℝ_{n} [X] \to ℝ_{n} [X]$ définie par $φ (P) = P (X) + P (X + 1)$ est bijective.
On en déduit qu’il existe un unique $P_{n} \in ℝ_{n} [X]$ tel que

$P_{n} (X) + P_{n} (X + 1) = 2 X^{n} .$

Montrer que pour tout $n \in ℕ$ , il existe $P_{n} \in ℝ_{n} [X]$ unique tel que

$P_{n} (X) + P_{n} (X + 1) = 2 X^{n} .$
(b)

Justifier que l’on peut exprimer $P_{n} (X + 1)$ en fonction de $P_{0}, \dots, P_{n}$ .
(c)

En calculant de deux façons $P_{n} (X + 2) + P_{n} (X + 1)$ déterminer une relation donnant $P_{n}$ en fonction de $P_{0}, \dots, P_{n - 1}$ .

Solution

(a)

$φ$ est linaire. Si $\deg (P) = k \in ℕ$ alors $\deg (φ (P)) = k$ donc $Ker (φ) = {0}$ . Par suite, $φ$ est bijective.
(b)

$(P_{0}, \dots, P_{n})$ est une famille de polynômes de degrés étagés, c’est donc une base de $ℝ_{n} [X]$ . Puisque $P_{n} (X + 1) \in ℝ_{n} [X]$ , on peut écrire

$P_{n} (X + 1) = \sum_{k = 0}^{n} λ_{k} P_{k} .$
(c)

D’une part

$P_{n} (X + 2) + P_{n} (X + 1) = 2 {(X + 1)}^{n}$

et d’autre part

$P_{n} (X + 2) + P_{n} (X + 1) = \sum_{k = 0}^{n} 2 λ_{k} X^{k} .$

On identifie $λ_{k} = (\binom{n}{k})$ et

$P_{n} = 2 X^{n} - P_{n} (X + 1) = 2 X^{n} - \sum_{k = 0}^{n - 1} (\binom{n}{k}) P_{k} - P_{n}$

puis

$P_{n} = X^{n} - \frac{1}{2} \sum_{k = 0}^{n - 1} (\binom{n}{k}) P_{k} .$

Exercice 10 74 CCINP (MP)Correction

Pour $p \in ℕ$ et $a \in ℝ ∖ {0,1}$ , on note $S_{p}$ l’ensemble des suites $(u_{n})$ vérifiant

\exists P \in ℝ_{p} [X], \forall n \in ℕ, u_{n + 1} = a u_{n} + P (n) .

(a)

Montrer que si $u \in S_{p}$ , $P$ est unique; on le notera $P_{u}$ .
(b)

Montrer que $S_{p}$ est un $ℝ$ -espace vectoriel.
(c)

Montrer que $ϕ$ , qui à $u$ associe $P_{u}$ , est linéaire et donner une base de son noyau.
Que représente son image?
(d)

Donner une base de $S_{p}$ (on pourra utiliser $R_{k} (X) = {(X + 1)}^{k} - a X^{k}$ pour $k \in ⟦ 0; p ⟧$ ).
(e)

Application : Déterminer la suite $(u_{n})$ définie par

$u_{0} = - 2 et u_{n + 1} = 2 u_{n} - 2 n + 7 .$

Solution

(a)

Si $u \in S_{p}$ et si deux polynômes $P, Q$ conviennent pour exprimer $u_{n + 1}$ en fonction de $u_{n}$ alors

$\forall n \in ℕ, P (n) = Q (n) .$

Puisque le polynôme $P - Q$ possède une infinité de racines, c’est le polynôme nul et donc $P = Q$ .
(b)

$S_{p} \subset ℝ^{ℕ}$ , $0 \in S_{p}$ (avec $P = 0$ ).
Soient $λ, μ \in ℝ$ et $u, v \in S_{p}$ .
Pour tout $n \in ℕ$ , on obtient aisément

${(λ u + μ v)}_{n + 1} = a {(λ u + μ v)}_{n} + (λ P_{u} + μ P_{v}) (n)$

et donc $λ u + μ v \in S_{p}$ avec $P_{λ u + μ v} = λ P_{u} + μ P_{v} \in ℝ_{p} [X]$ .
$S_{p}$ est un sous-espace vectoriel de $ℝ^{ℕ}$ donc c’est un $ℝ$ -espace vectoriel.
(c)

Ci-dessus, on a obtenu $P_{λ u + μ v} = λ P_{u} + μ P_{v}$ ce qui correspond à la linéarité de l’application $ϕ$ .
$u \in Ker (ϕ)$ si, et seulement si, $P_{u} = 0$ ce qui signifie que $u$ est une suite géométrique de raison $a$ .
On en déduit que la suite ${(a^{n})}_{n \in ℕ}$ est un vecteur directeur de la droite vectorielle qu’est le noyau de $ϕ$ .
L’image de $ϕ$ est $ℝ_{p} [X]$ car l’application $ϕ$ est surjective puisque pour tout polynôme $P \in ℝ [X]$ , on peut définir une suite élément de $S_{p}$ par la relation

$u_{0} \in ℝ et \forall n \in ℕ, u_{n + 1} = a u_{n} + P (n) .$
(d)

La famille $(R_{0}, R_{1}, \dots, R_{p})$ est une famille de polynômes de degrés étagés de $ℝ_{p} [X]$ , elle forme donc une base de $ℝ_{p} [X]$ . Pour $k \in ⟦ 0; p ⟧$ , il est facile de déterminer une suite $u = (u_{n}) \in S_{p}$ vérifiant $S_{u} = R_{k}$ car

$u_{n + 1} = a u_{n} + R_{k} (n) \Leftrightarrow u_{n + 1} - {(n + 1)}^{k} = a (u_{n} - n^{k}) .$

Ainsi la suite

$u : n \mapsto n^{k}$

convient.
Considérons alors la famille formée des suites

$v : n \mapsto a^{n} et v_{k} : n \mapsto n^{k} avec k \in ⟦ 0; p ⟧ .$

Supposons

$λ v + λ_{0} v_{0} + \dots + λ_{p} v_{p} = 0 .$

En appliquant $ϕ$ , on obtient

$λ_{0} R_{0} + \dots + λ_{p} R_{p} = 0$

donc $λ_{0} = \dots = λ_{p} = 0$ puis la relation initiale donne $λ = 0$ car $v \neq 0$ .
La famille $(v, v_{0}, \dots, v_{p})$ est donc libre.
De plus, en vertu de la formule du rang

$dim S_{p} = dim Ker (ϕ) + rg (ϕ) = 1 + (p + 1) = p + 2$

donc la famille $(v, v_{0}, \dots, v_{p})$ est une base de $S_{p}$ .
(e)

En reprenant les notations qui précèdent, on peut écrire

$u = λ v + λ_{0} v_{0} + λ_{1} v_{1} .$

On a

$P_{u} = λ_{0} R_{0} + λ_{1} R_{1} = - 2 X + 7 .$

Puisque $R_{0} = - 1$ et $R_{1} = 1 - X$ , on obtient $λ_{1} = 2$ et $λ_{0} = - 5$ .
Par suite,

$u_{n} = λ 2^{n} + 2 n - 5 .$

Puisque $u_{0} = - 2$ , on obtient $λ = 7$ .

Finalement,

$u_{n} = 3 \cdot 2^{n} + 2 n - 5 .$

[<] Applications linéaires opérant sur les matrices [>] Isomorphisme induit

Édité le 29-08-2023

Applications linéaires opérant sur les polynômes