[<] Applications linéaires opérant sur les polynômes

 
Exercice 1  5284   Correction  

Soit u un endomorphisme d’un espace vectoriel réel E de dimension finie. Montrer que les assertions suivantes sont équivalentes:

  • (i)

    Ker(u)=Im(u)

  • (ii)

    u2=0 et il existe v(E) tel que uv+vu=IdE.

Solution

(ii)(i) Supposons u2=0 et uv+vu=IdE avec v(E).

D’une part, l’égalité u2=0 entraîne Im(u)Ker(u). D’autre part, pour xKer(u),

x=u(v(x))+v(u(x))=u(v(x))+v(0E)=u(v(x))Im(u).

Par double inclusion, Im(u)=Ker(u).

(i)(ii) Supposons Ker(u)=Im(u). On a immédiatement u2=0 car les vecteurs de l’image de u annulent u.

Soit S un sous-espace supplémentaire de Ker(u) dans E. Par le théorème du rang, u induit par restriction un isomorphisme φ de S vers Im(u)=Ker(u):

φ:{SKer(u)xφ(x)=u(x)

Considérons alors l’endomorphisme v de (E) défini par les restrictions linéaires

xKer(u),v(x)=φ-1(x)etxS,v(x)=0E.

Pour tout xKer(u),

(uv+vu)(x)=u(v(x))+v(0E)=φ(φ-1(x))=x.

Pour tout xS,

(uv+vu)(x)=u(0E)+v(u(x)Ker(u))=0E+φ-1(φ(x))=x.

Par égalité sur deux sous-espaces vectoriels supplémentaires,

uv+vu=IdE.
 
Exercice 2  5894   Correction  

Soit u un endomorphisme d’un espace vectoriel E de dimension finie. Montrer que pour tout sous-espace vectoriel F de E,

dimu-1(F)=dimE-rg(u)+dim(Im(u)F).

Solution

Soit S un sous-espace vectoriel supplémentaire de Ker(u) dans E. Par le théorème du rang, on sait que u induit un isomorphisme Φ de S vers Im(u).

Pour xE,

xu-1(F) u(x)F
u(x)FIm(u).

On écrit x=a+b avec aS et bKer(u) et l’on poursuit

xu-1(F) u(a)FIm(u)
aΦ-1(FIm(u)).

On a donc

u-1(F)=Φ-1(FIm(u))Ker(u).

On en déduit

dimu-1(F)=dimΦ-1(FIm(u))+dimKer(u)

avec, puisque Φ est un isomorphisme,

dimΦ-1(FIm(u))=dim(FIm(u))

et

dimKer(u)=dimE-rg(u).
 
Exercice 3  503    Correction  

(Factorisation par une application linéaire)

On considère E, F et G des 𝕂-espaces vectoriels de dimensions finies.

Soient f(F,G), g(E,G).

Montrer

Im(g)Im(f)h(E,F),g=fh.

Solution

() Supposons qu’il soit possible d’écrire g=fh avec h(E,F). Pour tout zIm(g), il existe xE tel que z=g(x)=f(h(x))=f(y) avec y=h(x). Par conséquent, Im(g)Im(f).

() Supposons Im(g)Im(f). Soit H un sous-espace vectoriel supplémentaire de Ker(f) dans F. Par le théorème du rang, on sait que f définit par restriction un isomorphisme de H vers Im(f). Introduisons celui-ci

ϕ:{HIm(f)yϕ(y)=f(y).

Posons h=ϕ-1g. L’application h est bien définie car g est à valeurs dans Im(g)Im(f) et ϕ-1 est définie sur Im(f). De plus, h est linéaire par composition et

fh=fϕ-1g.

Puisque φ-1 prend ses valeurs dans H,

fφ-1=φφ-1=IdIm(f)

puis

fh=IdIm(f)g=g.
 
Exercice 4  202    Correction  

(Factorisation par une application linéaire)

On considère E, F et G des 𝕂-espaces vectoriels de dimensions finies.

Soient f(E,F), g(E,G).

  • (a)

    Montrer

    Ker(f)Ker(g)h(F,G),g=hf.
  • (b)

    Application : Soient φ1,,φn et φ des formes linéaires sur E. Établir

    i=1nKer(φi)Ker(φ)(λ1,,λn)𝕂n,φ=λ1φ1++λnφn.

Solution

  • (a)

    () Supposons qu’il soit possible d’écrire g=hf avec h(F,G). Pour tout xKer(f),

    g(x)=(hf)(x)=h(f(x))=h(0)=0.

    Ainsi, Ker(f)Ker(g).

    () Supposons Ker(f)Ker(g). Soit H un sous-espace vectoriel supplémentaire de Ker(f) dans E. Par le théorème du rang, on sait que f définit par restriction un isomorphisme de H vers Im(f). Introduisons celui-ci

    ϕ:{HIm(f)xϕ(x)=f(x).

    Considérons aussi K un sous-espace vectoriel supplémentaire de Im(f) dans F. Enfin, introduisons l’application linéaire h(F,G) déterminée par ses restrictions linéaires

    yIm(f),h(y)=gΦ-1(y)etyK,h(y)=0.

    Vérifions g=hf.

    Pour tout xKer(f), on a g(x)=0=(hf)(x) car par hypothèse x est élément de Ker(g).

    Pour tout xH, on a

    (hf)(x)=h(ϕ(x))=g(Φ-1(Φ(x)))=g(x).

    Les applications linéaires g et hf co$̈\mathrm{i}$ncident sur deux sous-espaces vectoriels supplémentaires, elles sont égales sur E.

  • (b)

    Considérons f:E𝕂n donnée par

    f(x)=(φ1(x),,φn(x)).

    L’application f est linéaire.

    Considérons aussi g=φ et rappelons que les formes linéaires sur 𝕂n correspondent aux applications de la forme

    {𝕂n𝕂(x1,,xn)λ1x1++λnxn avec (λ1,,λn)𝕂n.

    Le résultat de la question précédente se relit

    i=1nKer(φi)Ker(φ) Ker(f)Ker(φ)
    h(𝕂n,𝕂),φ=hf
    (λ1,,λn)𝕂n,φ=λ1φ1++λnφn.
 
Exercice 5  185    

Soient u et v deux endomorphismes d’un espace vectoriel E de dimension finie.

Résoudre l’équation uf=v d’inconnue f(E).

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Édité le 14-10-2023

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