[<] Applications linéaires opérant sur les polynômes
Soit un endomorphisme d’un espace vectoriel réel de dimension finie. Montrer que les assertions suivantes sont équivalentes:
et il existe tel que .
Solution
(ii)(i) Supposons et avec .
D’une part, l’égalité entraîne . D’autre part, pour ,
Par double inclusion, .
(i)(ii) Supposons . On a immédiatement car les vecteurs de l’image de annulent .
Soit un sous-espace supplémentaire de dans . Par le théorème du rang, induit par restriction un isomorphisme de vers :
Considérons alors l’endomorphisme de défini par les restrictions linéaires
Pour tout ,
Pour tout ,
Par égalité sur deux sous-espaces vectoriels supplémentaires,
Soit un endomorphisme d’un espace vectoriel de dimension finie. Montrer que pour tout sous-espace vectoriel de ,
Solution
Soit un sous-espace vectoriel supplémentaire de dans . Par le théorème du rang, on sait que induit un isomorphisme de vers .
Pour ,
On écrit avec et et l’on poursuit
On a donc
On en déduit
avec, puisque est un isomorphisme,
et
(Factorisation par une application linéaire)
On considère , et des -espaces vectoriels de dimensions finies.
Soient , .
Montrer
Solution
Supposons qu’il soit possible d’écrire avec . Pour tout , il existe tel que avec . Par conséquent, .
Supposons . Soit un sous-espace vectoriel supplémentaire de dans . Par le théorème du rang, on sait que définit par restriction un isomorphisme de vers . Introduisons celui-ci
Posons . L’application est bien définie car est à valeurs dans et est définie sur . De plus, est linéaire par composition et
Puisque prend ses valeurs dans ,
puis
(Factorisation par une application linéaire)
On considère , et des -espaces vectoriels de dimensions finies.
Soient , .
Montrer
Application : Soient et des formes linéaires sur . Établir
Solution
Supposons qu’il soit possible d’écrire avec . Pour tout ,
Ainsi, .
Supposons . Soit un sous-espace vectoriel supplémentaire de dans . Par le théorème du rang, on sait que définit par restriction un isomorphisme de vers . Introduisons celui-ci
Considérons aussi un sous-espace vectoriel supplémentaire de dans . Enfin, introduisons l’application linéaire déterminée par ses restrictions linéaires
Vérifions .
Pour tout , on a car par hypothèse est élément de .
Pour tout , on a
Les applications linéaires et co$̈\mathrm{i}$ncident sur deux sous-espaces vectoriels supplémentaires, elles sont égales sur .
Considérons donnée par
L’application est linéaire.
Considérons aussi et rappelons que les formes linéaires sur correspondent aux applications de la forme
Le résultat de la question précédente se relit
Soient et deux endomorphismes d’un espace vectoriel de dimension finie.
Résoudre l’équation d’inconnue .
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Édité le 14-10-2023
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