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Exercice 1  1653  Correction  

Justifier qu’il existe une unique application linéaire de 3 dans 2 telle que:

f(1,0,0)=(0,1),f(1,1,0)=(1,0)etf(1,1,1)=(1,1).

Exprimer f(x,y,z) et déterminer noyau et image de f.

Solution

Posons e1=(1,0,0), e2=(1,1,0) et e3=(1,1,1).

Il est immédiat d’observer que (e1,e2,e3) est une base de 3. Une application linéaire étant entièrement caractérisée par l’image des vecteurs d’une base, l’application linéaire f existe et est unique.

On écrit

(x,y,z)=(x-y).e1+(y-z).e2+z.e3

et, par linéarité,

f(x,y,z)=(x-y).f(e1)+(y-z).f(e2)+z.f(e3)=(y,x-y+z).

Après résolution, Ker(f)=Vect(u) avec u=(1,0,-1).

Par la formule du rang, dimIm(f)=2 et donc Im(f)=2.

 
Exercice 2  173   

Soit f un endomorphisme d’un 𝕂-espace vectoriel E de dimension n*. On suppose qu’il existe un vecteur x0E pour lequel la famille (x0,f(x0),,fn-1(x0)) est une base de E et l’on introduit

𝒞f={g(E)|gf=fg}.
  • (a)

    Observer que

    𝒞f={a0.IdE+a1.f++an-1.fn-1|(a0,a1,,an-1)𝕂n}.
  • (b)

    Justifier que 𝒞f est un sous-espace vectoriel de (E) et donner sa dimension.

 
Exercice 3  192   

Soient F et G deux sous-espaces vectoriels d’un espace E de dimension finie n. Énoncer une condition nécessaire et suffisante portant sur F et G pour qu’il existe un endomorphisme u de E tel que Ker(u)=F et Im(u)=G.

 
Exercice 4  1671   Correction  

Soit E un 𝕂-espace vectoriel de dimension n.
Montrer qu’il existe un endomorphisme f tel que Im(f)=Ker(f) si, et seulement si, n est pair.

Solution

Si un tel endomorphisme f existe alors

dimE=rg(f)+dimKer(f)=2rg(f)

donc n est pair.
Inversement, si n est pair, n=2p avec p
Si p=0, l’endomorphisme nul convient.
Si p>0, soit e=(e1,,e2p) une base de E et f(E) défini par:

f(e1)=0E,,f(ep)=0E,f(ep+1)=e1,,f(e2p)=ep.

Pour cet endomorphisme, il est clair que Vect(e1,,ep)Im(f) et Vect(e1,,ep)Ker(f).
Par suite, dimIm(f),dimKer(f)p et par le théorème du rang dimIm(f),dimKer(f)=p.
Par inclusion et égalité des dimensions

Im(f)=Vect(e1,,ep)=Ker(f).
 
Exercice 5  2379     CENTRALE (MP)Correction  

Soit f(6) tel que rg(f2)=3. Quels sont les rangs possibles pour f?

Solution

Puisque Im(f2)Im(f)6, on a 3rg(f)6.
Si rg(f)=6 alors f est un isomorphisme, donc f2 aussi et rg(f2)=6. Contradiction.
Si rg(f)=5 alors dimKer(f)=1. Considérons g=f|Im(f). Par le théorème du rang dimKer(g)=5-rg(g). Or Im(g)Im(f2) donc rg(g)3 et par suite dimKer(g)2. Or Ker(g)Ker(f) donc dimKer(f)2. Contradiction.
rg(f)=3 et rg(f)=4 sont possibles en considérant:

(100000010000001000000000000000000000)et(100000010000001000000000000100000000).
 
Exercice 6  4984     MINES (PSI)

Soient (e1,,en) une famille de vecteurs d’un 𝕂-espace vectoriel E de dimension n1 et Φ:(E)En l’application définie par

Φ(u)=(u(e1),,u(en)).

À quelle condition sur la famille (e1,,en), l’application Φ est-elle un isomorphisme d’espaces vectoriels?

 
Exercice 7  5117   

Soit f un endomorphisme d’un espace E de dimension n1.

Montrer que f n’est pas inversible si, et seulement si, il existe un endomorphisme g de E vérifiant gf=fg=0 et g0.

 
Exercice 8  4394    

Soit u un endomorphisme non bijectif d’un espace E de dimension finie. Montrer qu’il existe un isomorphisme φ de E tel que v=φu soit nilpotent11 1 Autrement dit, il existe p* tel que l’itéré vp=vv est nul..

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Édité le 08-11-2019

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