Exercice 1 1653 Correction

Justifier qu’il existe une unique application linéaire de $ℝ^{3}$ dans $ℝ^{2}$ telle que:

f (1,0,0) = (0,1), f (1,1,0) = (1,0) et f (1,1,1) = (1,1) .

Exprimer $f (x, y, z)$ et déterminer noyau et image de $f$ .

Solution

Posons $e_{1} = (1,0,0)$ , $e_{2} = (1,1,0)$ et $e_{3} = (1,1,1)$ .

Il est immédiat d’observer que $(e_{1}, e_{2}, e_{3})$ est une base de $ℝ^{3}$ . Une application linéaire étant entièrement caractérisée par l’image des vecteurs d’une base, l’application linéaire $f$ existe et est unique.

On écrit

(x, y, z) = (x - y) . e_{1} + (y - z) . e_{2} + z . e_{3}

et, par linéarité,

f (x, y, z) = (x - y) . f (e_{1}) + (y - z) . f (e_{2}) + z . f (e_{3}) = (y, x - y + z) .

Après résolution, $Ker (f) = Vect (u)$ avec $u = (1,0, - 1)$ .

Par la formule du rang, $dim Im (f) = 2$ et donc $Im (f) = ℝ^{2}$ .

Exercice 2 173

Soit $f$ un endomorphisme d’un $𝕂$ -espace vectoriel $E$ de dimension $n \in ℕ^{*}$ . On suppose qu’il existe un vecteur $x_{0} \in E$ pour lequel la famille $(x_{0}, f (x_{0}), \dots, f^{n - 1} (x_{0}))$ est une base de $E$ et l’on introduit

𝒞_{f} = {g \in ℒ (E) | g \circ f = f \circ g} .

(a)

Observer que

$𝒞_{f} = {a_{0} . {Id}_{E} + a_{1} . f + \dots + a_{n - 1} . f^{n - 1} | (a_{0}, a_{1}, \dots, a_{n - 1}) \in 𝕂^{n}} .$
(b)

Justifier que $𝒞_{f}$ est un sous-espace vectoriel de $ℒ (E)$ et donner sa dimension.

Exercice 3 192

Soient $F$ et $G$ deux sous-espaces vectoriels d’un espace $E$ de dimension finie $n$ . Énoncer une condition nécessaire et suffisante portant sur $F$ et $G$ pour qu’il existe un endomorphisme $u$ de $E$ tel que $Ker (u) = F$ et $Im (u) = G$ .

Exercice 4 1671 Correction

Soit $E$ un $𝕂$ -espace vectoriel de dimension $n \in ℕ$ .
Montrer qu’il existe un endomorphisme $f$ tel que $Im (f) = Ker (f)$ si, et seulement si, $n$ est pair.

Solution

Si un tel endomorphisme $f$ existe alors

dim E = rg (f) + dim Ker (f) = 2 rg (f)

donc $n$ est pair.
Inversement, si $n$ est pair, $n = 2 p$ avec $p \in ℕ$
Si $p = 0$ , l’endomorphisme nul convient.
Si $p > 0$ , soit $e = (e_{1}, \dots, e_{2 p})$ une base de $E$ et $f \in ℒ (E)$ défini par:

f (e_{1}) = 0_{E}, \dots, f (e_{p}) = 0_{E}, f (e_{p + 1}) = e_{1}, \dots, f (e_{2 p}) = e_{p} .

Pour cet endomorphisme, il est clair que $Vect (e_{1}, \dots, e_{p}) \subset Im (f)$ et $Vect (e_{1}, \dots, e_{p}) \subset Ker (f)$ .
Par suite, $dim Im (f), dim Ker (f) \geq p$ et par le théorème du rang $dim Im (f), dim Ker (f) = p$ .
Par inclusion et égalité des dimensions

Im (f) = Vect (e_{1}, \dots, e_{p}) = Ker (f) .

Exercice 5 2379 CENTRALE (MP)Correction

Soit $f \in ℒ (ℝ^{6})$ tel que $rg (f^{2}) = 3$ . Quels sont les rangs possibles pour $f$ ?

Solution

Puisque $Im (f^{2}) \subset Im (f) \subset ℝ^{6}$ , on a $3 \leq rg (f) \leq 6$ .
Si $rg (f) = 6$ alors $f$ est un isomorphisme, donc $f^{2}$ aussi et $rg (f^{2}) = 6$ . Contradiction.
Si $rg (f) = 5$ alors $dim Ker (f) = 1$ . Considérons $g = {f |}_{Im (f)}$ . Par le théorème du rang $dim Ker (g) = 5 - rg (g)$ . Or $Im (g) \subset Im (f^{2})$ donc $rg (g) \leq 3$ et par suite $dim Ker (g) \geq 2$ . Or $Ker (g) \subset Ker (f)$ donc $dim Ker (f) \geq 2$ . Contradiction.
$rg (f) = 3$ et $rg (f) = 4$ sont possibles en considérant:

(\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix}) et (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix}) .

Exercice 6 4984 MINES (PSI)

Soient $(e_{1}, \dots, e_{n})$ une famille de vecteurs d’un $𝕂$ -espace vectoriel $E$ de dimension $n \geq 1$ et $Φ : ℒ (E) \to E^{n}$ l’application définie par

Φ (u) = (u (e_{1}), \dots, u (e_{n})) .

À quelle condition sur la famille $(e_{1}, \dots, e_{n})$ , l’application $Φ$ est-elle un isomorphisme d’espaces vectoriels?

Exercice 7 5117

Soit $f$ un endomorphisme d’un espace $E$ de dimension $n \geq 1$ .

Montrer que $f$ n’est pas inversible si, et seulement si, il existe un endomorphisme $g$ de $E$ vérifiant $g \circ f = f \circ g = 0$ et $g \neq 0$ .

Exercice 8 4394

Soit $u$ un endomorphisme non bijectif d’un espace $E$ de dimension finie. Montrer qu’il existe un isomorphisme $φ$ de $E$ tel que $v = φ \circ u$ soit nilpotent¹¹ 1 Autrement dit, il existe $p \in ℕ^{*}$ tel que l’itéré $v^{p} = v \circ \dots \circ v$ est nul..

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Édité le 29-08-2023

Applications linéaires définies sur une base