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Exercice 1  180  Correction  

Soit f un endomorphisme d’un 𝕂-espace vectoriel E de dimension finie.
Montrer que l’ensemble des endomorphismes g de E tels que fg=0 est un sous-espace vectoriel de (E) de dimension dimE×dimKer(f).

Solution

Posons F={g(E)|fg=0}. Soit g(E). On a clairement gFIm(g)Ker(f). Par conséquent, F=(E,Ker(f)) d’où la dimension.

 
Exercice 2  3771     ENSTIM (MP)Correction  

Soient E et F deux 𝕂-espaces vectoriels de dimensions finies.
Soit W un sous-espace vectoriel de E
Soit A l’ensemble des applications linéaires de E dans F s’annulant sur W.

  • (a)

    Montrer que A est un espace vectoriel.

  • (b)

    Trouver la dimension de A.

Solution

  • (a)

    Si f,g(E,F) s’annulent sur W, il en est de même de λf+μg

  • (b)

    Soit V un supplémentaire de W dans E. L’application

    Φ:A(V,F)

    qui à fA associe sa restriction au départ de V est un isomorphisme car une application linéaire est entièrement déterminée par ses restrictions linéaires sur deux espaces supplémentaires.
    On en déduit

    dimA=dim(V,F)=(dimE-dimW)×dimF.
 
Exercice 3  4215   

Soit F un sous-espace vectoriel d’un espace vectoriel E de dimension finie.

  • (a)

    Déterminer la dimension de l’espace A={f(E)|Im(f)F}.

  • (b)

    Déterminer la dimension de l’espace B={f(E)|FKer(f)}.

 
Exercice 4  200   Correction  

Soient E un 𝕂-espace vectoriel de dimension finie n et F un sous-espace vectoriel de E de dimension p. On note

AF={f(E)|Im(f)F}etBF={f(E)|FKer(f)}.
  • (a)

    Montrer que AF et BF sont des sous-espaces vectoriels de (E) et calculer leurs dimensions.

  • (b)

    Soient u un endomorphisme de (E) et φ:(E)(E) définie par φ(f)=uf. Montrer que φ est un endomorphisme de (E). Déterminer dimKer(φ).

  • (c)

    Soit vIm(φ). Établir que Im(v)Im(u). Réciproque? Déterminer rg(φ).

Solution

  • (a)

    AF et BF sont des parties de (E) contenant l’endomorphisme nul.
    Im(λf)Im(f) avec égalité si λ0 et Im(f+g)Im(f)+Im(g) donc AF est un sous-espace vectoriel de (E).
    Aussi Ker(f)Ker(λf) et Ker(f)Ker(g)Ker(f+g) donc BF est un sous-espace vectoriel de (E).
    AF s’identifie avec (E,F) donc

    dimAF=np.

    En introduisant G un supplémentaire de F dans E, BF est isomorphe à (G,E) et donc

    dimBF=n(n-p).
  • (b)

    φ est linéaire en vertu de la linéarité du produit de composition.

    fKer(φ)Im(f)Ker(u)

    donc Ker(φ)=BIm(f) puis

    dimKer(φ)=n(n-rg(u)).
  • (c)

    Si vIm(φ) alors il existe f(E) tel que v=uf et donc Im(v)Im(u).
    Inversement, si Im(v)Im(u) alors en introduisant (e1,,en) une base de E, pour tout i, il existe fiE tel que v(ei)=u(fi). Considérons alors l’endomorphisme f déterminé par f(ei)=fi. On vérifie v=uf car ces deux applications prennent mêmes valeurs sur une base. Im(φ)=AIm(u) donc

    rg(φ)=nrg(u).
 
Exercice 5  203    Correction  

Soient E et F des 𝕂-espaces vectoriels de dimensions finies et f(F,E).
Exprimer la dimension de {g(E,F)|fgf=0} en fonction du rang de f et des dimensions de E et F.

Solution

Notons

A={g(E,F)|fgf=0}={g(E,F)|Im(gIm(f))Ker(f)}

Soit G un supplémentaire de Im(f) dans E. Un élément de A est entièrement déterminée par:

  • sa restriction de Im(f) à valeurs dans Ker(f);

  • sa restriction de G à valeurs dans F.

Par suite, A est isomorphe à (Im(f),Ker(f))×(G,F). Il en découle

dimA=dimEdimF-(rg(f))2.

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Édité le 08-11-2019

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