Exercice 1 180 Correction

Soit $f$ un endomorphisme d’un $𝕂$ -espace vectoriel $E$ de dimension finie.
Montrer que l’ensemble des endomorphismes $g$ de $E$ tels que $f \circ g = 0$ est un sous-espace vectoriel de $ℒ (E)$ de dimension $dim E \times dim Ker (f)$ .

Solution

Posons $F = {g \in ℒ (E) | f \circ g = 0}$ . Soit $g \in ℒ (E)$ . On a clairement $g \in F \Leftrightarrow Im (g) \subset Ker (f)$ . Par conséquent, $F = ℒ (E, Ker (f))$ d’où la dimension.

Exercice 2 3771 ENSTIM (MP)Correction

Soient $E$ et $F$ deux $𝕂$ -espaces vectoriels de dimensions finies.
Soit $W$ un sous-espace vectoriel de $E$
Soit $A$ l’ensemble des applications linéaires de $E$ dans $F$ s’annulant sur $W$ .

(a)

Montrer que $A$ est un espace vectoriel.
(b)

Trouver la dimension de $A$ .

Solution

(a)

Si $f, g \in ℒ (E, F)$ s’annulent sur $W$ , il en est de même de $λ f + μ g$ …
(b)

Soit $V$ un supplémentaire de $W$ dans $E$ . L’application

$Φ : A \to ℒ (V, F)$

qui à $f \in A$ associe sa restriction au départ de $V$ est un isomorphisme car une application linéaire est entièrement déterminée par ses restrictions linéaires sur deux espaces supplémentaires.
On en déduit

$dim A = dim ℒ (V, F) = (dim E - dim W) \times dim F .$

Exercice 3 4215

Soit $F$ un sous-espace vectoriel d’un espace vectoriel $E$ de dimension finie.

(a)

Déterminer la dimension de l’espace $A = {f \in ℒ (E) | Im (f) \subset F}$ .
(b)

Déterminer la dimension de l’espace $B = {f \in ℒ (E) | F \subset Ker (f)}$ .

Exercice 4 200 Correction

Soient $E$ un $𝕂$ -espace vectoriel de dimension finie $n$ et $F$ un sous-espace vectoriel de $E$ de dimension $p$ . On note

A_{F} = {f \in ℒ (E) | Im (f) \subset F} et B_{F} = {f \in ℒ (E) | F \subset Ker (f)} .

(a)

Montrer que $A_{F}$ et $B_{F}$ sont des sous-espaces vectoriels de $ℒ (E)$ et calculer leurs dimensions.
(b)

Soient $u$ un endomorphisme de $ℒ (E)$ et $φ : ℒ (E) \to ℒ (E)$ définie par $φ (f) = u \circ f$ . Montrer que $φ$ est un endomorphisme de $ℒ (E)$ . Déterminer $dim Ker (φ)$ .
(c)

Soit $v \in Im (φ)$ . Établir que $Im (v) \subset Im (u)$ . Réciproque? Déterminer $rg (φ)$ .

Solution

(a)

$A_{F}$ et $B_{F}$ sont des parties de $ℒ (E)$ contenant l’endomorphisme nul.
$Im (λ f) \subset Im (f)$ avec égalité si $λ \neq 0$ et $Im (f + g) \subset Im (f) + Im (g)$ donc $A_{F}$ est un sous-espace vectoriel de $ℒ (E)$ .
Aussi $Ker (f) \subset Ker (λ f)$ et $Ker (f) \cap Ker (g) \subset Ker (f + g)$ donc $B_{F}$ est un sous-espace vectoriel de $ℒ (E)$ .
$A_{F}$ s’identifie avec $ℒ (E, F)$ donc

$dim A_{F} = n p .$

En introduisant $G$ un supplémentaire de $F$ dans $E$ , $B_{F}$ est isomorphe à $ℒ (G, E)$ et donc

$dim B_{F} = n (n - p) .$
(b)

$φ$ est linéaire en vertu de la linéarité du produit de composition.

$f \in Ker (φ) \Leftrightarrow Im (f) \subset Ker (u)$

donc $Ker (φ) = B_{Im (f)}$ puis

$dim Ker (φ) = n (n - rg (u)) .$
(c)

Si $v \in Im (φ)$ alors il existe $f \in ℒ (E)$ tel que $v = u \circ f$ et donc $Im (v) \subset Im (u)$ .
Inversement, si $Im (v) \subset Im (u)$ alors en introduisant $(e_{1}, \dots, e_{n})$ une base de $E$ , pour tout $i$ , il existe $f_{i} \in E$ tel que $v (e_{i}) = u (f_{i})$ . Considérons alors l’endomorphisme $f$ déterminé par $f (e_{i}) = f_{i}$ . On vérifie $v = u \circ f$ car ces deux applications prennent mêmes valeurs sur une base. $Im (φ) = A_{Im (u)}$ donc

$rg (φ) = n rg (u) .$

Exercice 5 203 Correction

Soient $E$ et $F$ des $𝕂$ -espaces vectoriels de dimensions finies et $f \in ℒ (F, E)$ .
Exprimer la dimension de ${g \in ℒ (E, F) | f \circ g \circ f = 0}$ en fonction du rang de $f$ et des dimensions de $E$ et $F$ .

Solution

Notons

A = {g \in ℒ (E, F) | f \circ g \circ f = 0} = {g \in ℒ (E, F) | Im (g_{↾ Im (f)}) \subset Ker (f)} .

Soit $G$ un supplémentaire de $Im (f)$ dans $E$ . Un élément de $A$ est entièrement déterminée par:

—

sa restriction de $Im (f)$ à valeurs dans $Ker (f)$ ;
—

sa restriction de $G$ à valeurs dans $F$ .

Par suite, $A$ est isomorphe à $ℒ (Im (f), Ker (f)) \times ℒ (G, F)$ . Il en découle

dim A = dim E dim F - {(rg (f))}^{2} .

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Édité le 29-08-2023

Espaces d'applications linéaires