[<] Rang d'une application linéaire [>] Applications linéaires définies sur une base

 
Exercice 1  1665  

Soit f un endomorphisme d’un espace vectoriel E de dimension finie. Montrer que les assertions suivantes sont équivalentes:

(i) E=Im(f)Ker(f);

(ii) E=Im(f)+Ker(f);

(iii) Im(f2)=Im(f);

(iv) Ker(f2)=Ker(f).

 
Exercice 2  1663  

Soit f un endomorphisme d’un espace E de dimension finie. Montrer

Ker(f)=Im(f)(f2=0 et dimE=2rg(f)).
 
Exercice 3  1666  Correction  

Soient E un 𝕂-espace vectoriel de dimension finie et f,g(E) tels que f+g bijectif et gf=0~. Montrer que

rg(f)+rg(g)=dimE.

Solution

gf=0~ donne Im(f)Ker(g) donc rg(f)dimKer(g)=dimE-rg(g). Par suite, rg(f)+rg(g)dimE.
f+g bijectif donne Im(f+g)=E. Or Im(f+g)Im(f)+Im(g) d’où dimErg(f)+rg(g).

 
Exercice 4  3127  Correction  

Soient E un 𝕂-espace vectoriel de dimension n* et u un endomorphisme de E vérifiant u3=0~.
Établir

rg(u)+rg(u2)n.

Solution

Puisque u3=0~, on a Im(u2)Ker(u) et donc

rg(u2)dimKer(u).

Or par la formule du rang

rg(u)+dimKer(u)=dimE

donc

rg(u)+rg(u2)dimE.
 
Exercice 5  4393  

Soient F et G deux sous-espaces de dimensions finies d’un espace vectoriel E. Retrouver la formule de Grassmann en appliquant le théorème du rang à la fonction

σ:{F×GE(x,y)x+y.
 
Exercice 6  5162  

Soient u une application linéaire d’un espace de dimension finie E vers un espace E et F un sous-espace vectoriel supplémentaire de Ker(u) dans E. On introduit l’application restreinte

φ:{FIm(u)xu(x).

Montrer que φ est un isomorphisme d’espaces vectoriels.

 
Exercice 7  1664  

Soit f un endomorphisme d’un espace E de dimension finie vérifiant11 1 f2 désigne l’endomorphisme ff. rg(f2)=rg(f).

  • (a)

    Établir Im(f2)=Im(f) et Ker(f2)=Ker(f).

  • (b)

    Montrer que les espaces Im(f) et Ker(f) sont supplémentaires dans E.

 
Exercice 8  224   

Soient f et g deux endomorphismes d’un espace E de dimension finie vérifiant

Im(f)+Im(g)=Ker(f)+Ker(g)=E.

Montrer que ces sommes sont directes.

 
Exercice 9  196  Correction  

On dit qu’une suite d’applications linéaires

{0}u0E1u1E2u2un-1Enun{0}

est exacte si on a Im(uk)=Ker(uk+1) pour tout k{0,,n-1}. Montrer que si tous les Ek sont de dimension finie, on a la formule dite d’Euler-Poincaré:

k=1n(-1)kdimEk=0.

Solution

La formule du rang du rang donne

dimEk=dimIm(uk)+dimKer(uk)

donc, sachant dimIm(uk)=dimKer(uk+1), on obtient

k=1n(-1)kdimEk=k=2n(-1)k-1dimKer(uk)+k=1n(-1)kdimKer(uk)=-dimKer(u1)=0

car Im(un)={0} et Ker(u1)=Im(u0)={0}.

 
Exercice 10  3251   

Soit f un endomorphisme d’un espace vectoriel E de dimension n. Montrer

f est une projectionrg(f)+rg(IdE-f)=n.
 
Exercice 11  197   

(Images et noyaux itérés d’un endomorphisme)

Soit f un endomorphisme d’un espace vectoriel E. On pose

f0=IdEetfp=fffp facteurspour tout p*.

Pour tout p, on introduit les images et noyaux de fp:

Ip=Im(fp)etNp=Ker(fp).
  • (a)

    Montrer que les suites (Ip) et (Np) sont respectivement décroissante et croissante au sens de l’inclusion11 1 Autrement dit, Ip+1Ip et NpNp+1 pour tout p..

On suppose dans ce qui suit que l’espace E est de dimension finie.

  • (b)

    Justifier l’existence d’un rang r tel que Ir+1=Ir.

  • (c)

    Vérifier que les deux suites (Ip) et (Np) sont alors constantes à partir du rang r.

  • (d)

    Établir IrNr=E.

 
Exercice 12  194  Correction  

Soient f un endomorphisme et F un sous-espace vectoriel d’un 𝕂-espace vectoriel E de dimension finie. Montrer

dimKer(f)FdimF-rg(f).

Solution

Considérons fF restriction de f au départ de F et à l’arrivée dans E.
Ker(fF)=Ker(f)F et rg(fF)rg(f). L’application du théorème du rang fF permet alors de conclure.

 
Exercice 13  5299     ENSTIM (MP)Correction  

Soient f,g deux endomorphismes d’un espace vectoriel réel E de dimension finie n.

Montrer

rg(f)+rg(g)-nrg(gf)min(rg(f),rg(g)).

Solution

Commençons par montrer la deuxième inégalité. Par l’inclusion Im(gf)Im(g), on obtient rg(gf)rg(g). Aussi, de Im(gf)=g(f(E))=Im(gf(E)) qui donne rg(g)dimf(E)=rg(f) car le rang d’une application linéaire est inférieure à la dimension de l’espace de départ.

Montrons maintenant la première inégalité. Comme déjà écrit Im(gf)=Im(gf(E)) et donc par la formule du rang

rg(gf)=dimf(E)-dimKer(gf(E)).

Or Ker(gf(E))Ker(g) et donc

rg(gf)rg(f)-dimKer(g)=rg(g)+rg(f)-dimE.
 
Exercice 14  2585     CCP (MP)Correction  

Soit E un 𝕂-espace vectoriel de dimension finie n, f et g deux endomorphismes de E.

  • (a)

    En appliquant le théorème du rang à la restriction h de f à l’image de g, montrer que

    rg(f)+rg(g)-nrg(fg).
  • (b)

    Pour n=3, trouver tous les endomorphismes de E tels que f2=0.

Solution

  • (a)

    Ker(h)Ker(f) donc dimKer(h)dimKer(f).
    En appliquant la formule du rang à f et à h on obtient

    dimKer(f)=n-rg(f) et dimKer(h)=rg(g)-rg(h).

    On en déduit

    rg(f)+rg(g)-nrg(h).

    Or Im(fg)=Im(h) donc rg(fg)=rg(h) et l’on peut conclure.

  • (b)

    Un endomorphisme f vérifie f2=0 si, et seulement si, Im(f)Ker(f) ce qui entraîne, en dimension 3, rg(f)=1.
    Si l’endomorphisme f n’est pas nul, en choisissant xE tel que xKer(f) et en complétant le vecteur f(x)Ker(f), en une base (f(x),y) de Ker(f), on obtient que la matrice de f dans la base (x,f(x),y) est

    (000100000).

    Inversement, un endomorphisme f représenté par une telle matrice vérifie f2=0.

 
Exercice 15  4214   

Soient u et v deux endomorphismes d’un espace vectoriel E de dimension finie.

Montrer

dimKer(uv)dimKer(u)+dimKer(v).
 
Exercice 16  3156   Correction  

Soit u un endomorphisme d’un 𝕂-espace vectoriel E de dimension finie.
Montrer

k,,dim(Ker(uk+))dim(Ker(uk))+dim(Ker(u)).

Solution

Soient k,. Considérons le sous-espace vectoriel

F=Ker(uk+)

et introduisons l’application linéaire restreinte v:FE définie par

xF,v(x)=u(x).

On vérifie aisément

Ker(v)Ker(u) et Im(v)Ker(uk).

La formule du rang appliquée à v donne

dim(Ker(uk+))=rg(v)+dimKer(v)

ce qui donne

dim(Ker(uk+))dim(Ker(uk))+dim(Ker(u)).
 
Exercice 17  3421   Correction  

Soient E, F, G, H des 𝕂-espaces vectoriels de dimensions finies et f(E,F), g(F,G), h(G,H) des applications linéaires. Montrer

rg(gf)+rg(hg)rg(g)+rg(hgf).

Solution

Pour φ,ψ applications linéaires composables

rg(ψφ)=dimIm(ψIm(φ))=rg(φ)-dim(Im(φ)Ker(ψ)).

Ainsi,

rg(hgf)=rg(gf)-dim(Im(gf)Ker(h))

et

rg(hg)=rg(g)-dim(Im(g)Ker(h)).

Puisque

Im(gf)Im(g)

on a

dim(Im(gf)Ker(h))dim(Im(g)Ker(h))

ce qui fournit l’inégalité demandée.

 
Exercice 18  4391    

Soit u un endomorphisme d’un espace vectoriel de dimension finie E.

Montrer qu’il existe un endomorphisme v de E tel que uv=0 et u+vGL(E) si, et seulement si, les espaces Im(u) et Ker(u) sont supplémentaires.

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Édité le 08-11-2019

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