Si $f=0$ la propriété est immédiate.
Sinon $f^2=0$ donne $\mathrm{Im}(f)\subset \mathrm{Ker}(f)$ et en vertu du théorème du rang, $dim\mathrm{Im}(f)=1$.
Soit $a$ un vecteur directeur de la droite $\mathrm{Im}(f)$. Pour tout $x\in {ℝ}^3$, il existe un unique $\alpha \in ℝ$ tel que $f(x)=\alpha .a$. Posons $\phi (x)=\alpha$ ce qui définit $\phi :{ℝ}^3\to ℝ$.
Les identités

$$f(\lambda x+\mu y)=\phi (\lambda x+\mu y)a$$

et

$$f(\lambda x+\mu y)=\lambda f(x)+\mu f(y)=(\lambda \phi (x)+\mu \phi (y))a$$

avec $a\ne 0_E$ donnent la linéarité

$$\phi (\lambda x+\mu y)=\lambda \phi (x)+\mu \phi (y)\text{.}$$

L’application $\phi$ est donc une forme linéaire sur ${ℝ}^3$.

Posons ${\phi }_k:{ℝ}_n[X]\to ℝ$ la forme linéaire définie par

$${\phi }_k(P)=P(a_k)\text{.}$$

Supposons

$${\lambda }_0{\phi }_0+\mathrm{\cdots }+{\lambda }_n{\phi }_n=0\text{.}$$

Pour tout polynôme $P\in {ℝ}_n[X]$, on a

$${\lambda }_{0}P(a_0)+\mathrm{\cdots }+{\lambda }_{n}P(a_n)=0\text{.}$$

Considérons le polynôme d’interpolation de Lagrange

$$L_k=\prod _{j\ne k}\frac{X-a_j}{a_k-a_j}$$

défini de sorte que

$$L_k\in {ℝ}_n[X]\text{ et }{L}_k(a_j)={\delta }_{j,k}\text{.}$$

En prenant $P=L_k$, on obtient ${\lambda }_k=0$.
La famille $({\phi }_0,\mathrm{\dots },{\phi }_n)$ est libre et puisque formée de $n+1=dim{({ℝ}_n[X])}^{*}$ éléments de ${({ℝ}_n[X])}^{*}$, c’est une base de ${({ℝ}_n[X])}^{*}$.
Puisque

$$\phi :P\mapsto {\int }_0^{1}P(t)dt$$

est une forme linéaire sur ${ℝ}_n[X]$, on peut affirmer qu’il existe $({\lambda }_0,\mathrm{\dots },{\lambda }_n)\in {ℝ}^{n+1}$ unique vérifiant

$$\phi ={\lambda }_0{\phi }_0+\mathrm{\cdots }+{\lambda }_n{\phi }_n\text{.}$$

Il est clair que les application $F_j$ sont éléments de ${({ℝ}_n[X])}^{*}$ espace de dimension $n+1$. Pour conclure, il suffit d’observer la liberté de la famille $(F_0,\mathrm{\dots },F_n)$.
Supposons ${\lambda }_0{F}_0+\mathrm{\cdots }+{\lambda }_n{F}_n=0$.
En appliquant cette égalité aux polynômes $\mathrm{1,2}X,\mathrm{\dots },(n+1)X^n$ on obtient les équations formant le système linéaire:

$$\{\begin{array}{ccccccccccccccccccccc}\hfill {\lambda }_0{a}_0+\mathrm{\cdots }+{\lambda }_n{a}_n& =0\hfill & & & & & & & & & & & & & & & & & & & \\ \hfill {\lambda }_0{a}_0^2+\mathrm{\cdots }+{\lambda }_n{a}_n^2& =0\hfill & & & & & & & & & & & & & & & & & & & \\ \hfill \mathrm{\cdots }& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & \\ \hfill {\lambda }_0{a}_0^{n+1}+\mathrm{\cdots }+{\lambda }_n{a}_n^{n+1}& =0\text{.}\hfill & & & & & & & & & & & & & & & & & & & \end{array}$$

Par un déterminant de Vandermonde, ce système est de Cramer ce qui entraîne

$${\lambda }_0=\mathrm{\dots }={\lambda }_n=0\text{.}$$

La famille est alors libre et constituée du bon nombre de vecteurs pour former une base de ${({ℝ}_n[X])}^{*}$.

Pour $f\in E^{*}$ et $g\in F^{*}$, posons $f\otimes g$ l’application définie sur $E\times F$ par $(f\otimes g)(x,y)=f(x)+g(y)$. Il est facile d’observer $f\otimes g\in {(E\times F)}^{*}$. Considérons $\phi :E^{*}\times F^{*}\to {(E\times F)}^{*}$ définie par $\phi (f,g)=f\otimes g$.
L’application $\phi$ est linéaire.
Si $\phi (f,g)=0$ alors pour tout $(x,y)\in E\times F$, $f(x)+g(y)=0$.
Pour $y=0$, on peut affirmer $f=0$ et pour $x=0$, on affirme $g=0$. Ainsi $(f,g)=(\mathrm{0,0})$ et donc $\phi$ est injective.
Soit $h\in {(E\times F)}^{*}$. Posons $f:x\mapsto h(x\mathrm{,0})$, $g:y\mapsto h(y\mathrm{,0})$. On vérifie aisément $f\in E^{*}$, $g\in F^{*}$ et $\phi (f,g)=h$ car $h(x,y)=h(x\mathrm{,0})+h(0,y)$.

Méthode: Lorsque la famille $(v_1,\mathrm{\dots },v_n)$ est une base, on inclut les vecteurs $v_i-v_j$ dans le noyau d’une forme linéaire non nulle.

Cas: La famille $(v_1,\mathrm{\dots },v_n)$ est liée. L’espace engendré par cette famille est alors de dimension inférieure ou égale à $n-1$. Or

$$\mathrm{Vect}\left({(v_i-v_j)}_{1\le i,j\le n}\right)\subset \mathrm{Vect}(v_1,\mathrm{\dots },v_n)$$

et donc

$$\mathrm{rg}\left({(v_i-v_j)}_{1\le i,j\le n}\right)=dim\mathrm{Vect}\left({(v_i-v_j)}_{1\le i,j\le n}\right)\le n-1\text{.}$$

Cas: La famille $(v_1,\mathrm{\dots },v_n)$ est libre. Cette famille forme une base de l’espace $E$ car celui-ci est de dimension $n$. On peut alors introduire une forme linéaire sur $E$ en posant les images dans $ℝ$ des vecteurs de base $v_i$. Considérons $\phi$ la forme linéaire prenant la valeur $1$ sur chaque vecteur $v_i$. Pour tous $i,j$ compris entre $1$ et $n$, on constate

$$\phi (v_i-v_j)=\phi (v_i)-\phi (v_j)=0\text{.}$$

Les vecteurs $v_i-v_j$ appartiennent donc tous au noyau de $\phi$ et, par conséquent,

$$\mathrm{Vect}\left({(v_i-v_j)}_{1\le i,j\le n}\right)\subset \mathrm{Ker}(\phi )\text{.}$$

La forme linéaire $\phi$ étant non nulle, son noyau est de dimension $n-1$ et l’on retrouve

$$\mathrm{rg}\left({(v_i-v_j)}_{1\le i,j\le n}\right)=dim\mathrm{Vect}\left({(v_i-v_j)}_{1\le i,j\le n}\right)\le n-1\text{.}$$