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Exercice 1  2682     MINES (MP)Correction  

Soient f,g(E)E est un espace vectoriel sur 𝕂 de dimension finie. Montrer

|rg(f)-rg(g)|rg(f+g)rg(f)+rg(g).

Solution

Facilement Im(f+g)Im(f)+Im(g) donc

rg(f+g)dim(Im(f)+Im(g))rg(f)+rg(g).

Puisque f=f+g+(-g),

rg(f)rg(f+g)+rg(-g)=rg(f+g)+rg(g).

Aussi rg(g)rg(f+g)+rg(f) donc

|rg(f)-rg(g)|rg(f+g).
 
Exercice 2  2504    CCP (MP)Correction  

Soient u et v deux endomorphismes d’un espace vectoriel de dimension finie E.

  • (a)

    Montrer

    |rg(u)-rg(v)|rg(u+v)rg(u)+rg(v).
  • (b)

    Trouver u et v dans (2) tels que

    rg(u+v)<rg(u)+rg(v).
  • (c)

    Trouver deux endomorphismes u et v de 2 tels que

    rg(u+v)=rg(u)+rg(v).

Solution

  • (a)

    Pour tout xE, on a

    (u+v)(x)=u(x)+v(x)Im(u)+Im(v)

    donc

    Im(u+v)Im(u)+Im(v).

    Puisque

    dim(F+G)dimF+dimG

    on obtient

    rg(u+v)rg(u)+rg(v).

    De plus, on peut écrire

    u=(u+v)+(-v)

    donc

    rg(u)rg(u+v)+rg(-v)=rg(u+v)+rg(v)

    puis

    rg(u)-rg(v)rg(u+v).

    Aussi

    rg(v)-rg(u)rg(u+v)

    et donc

    |rg(u)-rg(v)|rg(u+v).
  • (b)

    Les endomorphismes u=v=Id2 conviennent.

  • (c)

    Les endomorphismes u=v=0 conviennent..

 
Exercice 3  201   Correction  

Soient E, F deux 𝕂-espaces vectoriels de dimensions finies et f,g(E,F).
Montrer

rg(f+g)=rg(f)+rg(g){Im(f)Im(g)={0}Ker(f)+Ker(g)=E.

Solution

() Supposons rg(f+g)=rg(f)+rg(g).

On sait Im(f+g)Im(f)+Im(g) et cela entraîne

rg(f+g)rg(f)+rg(g)-dim(Im(f)Im(g)).

On en déduit

dim(Im(f)Im(g))rg(f)+rg(g)-rg(f+g)=0

ce qui entraîne Im(f)Im(g)={0}.

On sait Ker(f+g)Ker(f)Ker(g) et cela entraîne

dimKer(f+g)dimKer(f)+dimKer(g)-dim(Ker(f)+Ker(g)).

Par la formule du rang, on en tire

dim(Ker(f)+Ker(g))n+rg(f+g)-(rg(f)+rg(g))=n.

Cela entraîne Ker(f)+Ker(g)=E.

() Supposons Im(f)Im(g)={0} et Ker(f)+Ker(g)=E

Soit xKer(f+g). On a f(x)+g(x)=0 et donc f(x)=-g(x)Im(f)Im(g)={0}. Ainsi, xKer(f)Ker(g) et l’on a donc l’égalité11 1 Un raisonnement analogue est possible en montrant Im(f+g)=Im(f)+Im(g).

Ker(f+g)=Ker(f)Ker(g)

On en déduit

dimKer(f+g) =dim(Ker(f)Ker(g))
=dimKer(f)+dimKer(g)-dim(Ker(f)+Ker(g))
=dimKer(f)+dimKer(g)-dimE.

En appliquant la formule du rang, on conclut

rg(f+g)=rg(f)+rg(g).
 
Exercice 4  191  Correction  

Soient f et g deux endomorphismes de E. Montrer

rg(fg)min(rg(f),rg(g)).

Solution

On a Im(fg)Im(f) donc rg(fg)rg(f).

On remarque

Im(fg)=f(Im(g))=Im(fIm(g)).

Puisque la dimension d’une image est toujours inférieure à la dimension de l’espace de départ rg(fg)dimIm(g)=rg(g).

 
Exercice 5  2467   

Soient f et g deux endomorphismes d’un espace vectoriel E de dimension finie.

  • (a)

    Montrer

    E=Im(f)+Ker(g)rg(gf)=rg(g)
  • (b)

    Montrer

    Im(f)Ker(g)={0E}rg(gf)=rg(f).
 
Exercice 6  1661   Correction  

Soient E et F deux 𝕂-espaces vectoriels de dimension finies et f(E,F),g(F,E) telles que

fgf=fetgfg=g.

Montrer que les applications linéaires f, g, fg et gf ont le même rang.

Solution

Le rang d’une application linéaire composée est inférieur aux rangs des applications linéaires qui la compose.

D’une part,

rg(fg),rg(gf)rg(f),rg(g).

D’autre part,

rg(f)=rg(fgf)rg(gf),rg(fg),rg(g)

et

rg(g)=rg(gfg)rg(f).

Ces comparaisons permettent de conclure.

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Édité le 08-11-2019

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