Exercice 1 2682 MINES (MP)Correction

Soient $f, g \in ℒ (E)$ où $E$ est un espace vectoriel sur $𝕂$ de dimension finie. Montrer

| rg (f) - rg (g) | \leq rg (f + g) \leq rg (f) + rg (g) .

Solution

Facilement $Im (f + g) \subset Im (f) + Im (g)$ donc

rg (f + g) \leq dim (Im (f) + Im (g)) \leq rg (f) + rg (g) .

Puisque $f = f + g + (- g)$ ,

rg (f) \leq rg (f + g) + rg (- g) = rg (f + g) + rg (g) .

Aussi $rg (g) \leq rg (f + g) + rg (f)$ donc

| rg (f) - rg (g) | \leq rg (f + g) .

Exercice 2 2504 CCINP (MP)Correction

Soient $u$ et $v$ deux endomorphismes d’un espace vectoriel de dimension finie $E$ .

(a)

Montrer

$| rg (u) - rg (v) | \leq rg (u + v) \leq rg (u) + rg (v) .$
(b)

Trouver $u$ et $v$ dans $ℒ (ℝ^{2})$ tels que

$rg (u + v) < rg (u) + rg (v) .$
(c)

Trouver deux endomorphismes $u$ et $v$ de $ℝ^{2}$ tels que

$rg (u + v) = rg (u) + rg (v) .$

Solution

(a)

Pour tout $x \in E$ , on a

$(u + v) (x) = u (x) + v (x) \in Im (u) + Im (v)$

donc

$Im (u + v) \subset Im (u) + Im (v) .$

Puisque

$dim (F + G) \leq dim F + dim G$

on obtient

$rg (u + v) \leq rg (u) + rg (v) .$

De plus, on peut écrire

$u = (u + v) + (- v)$

donc

$rg (u) \leq rg (u + v) + rg (- v) = rg (u + v) + rg (v)$

puis

$rg (u) - rg (v) \leq rg (u + v) .$

Aussi

$rg (v) - rg (u) \leq rg (u + v)$

et donc

$| rg (u) - rg (v) | \leq rg (u + v) .$
(b)

Les endomorphismes $u = v = {Id}_{ℝ^{2}}$ conviennent.
(c)

Les endomorphismes $u = v = 0$ conviennent.

Exercice 3 201 Correction

Soient $E$ , $F$ deux $𝕂$ -espaces vectoriels de dimensions finies et $f, g \in ℒ (E, F)$ .
Montrer

rg (f + g) = rg (f) + rg (g) \Leftrightarrow {\begin{matrix} Im (f) \cap Im (g) & = {0} \\ Ker (f) + Ker (g) & = E . \end{matrix}

Solution

$(⟹)$ Supposons $rg (f + g) = rg (f) + rg (g)$ .

On sait $Im (f + g) \subset Im (f) + Im (g)$ et cela entraîne

rg (f + g) \leq rg (f) + rg (g) - dim (Im (f) \cap Im (g)) .

On en déduit

dim (Im (f) \cap Im (g)) \leq rg (f) + rg (g) - rg (f + g) = 0

ce qui entraîne $Im (f) \cap Im (g) = {0}$ .

On sait $Ker (f + g) \supset Ker (f) \cap Ker (g)$ et cela entraîne

dim Ker (f + g) \geq dim Ker (f) + dim Ker (g) - dim (Ker (f) + Ker (g)) .

Par la formule du rang, on en tire

dim (Ker (f) + Ker (g)) \geq n + rg (f + g) - (rg (f) + rg (g)) = n .

Cela entraîne $Ker (f) + Ker (g) = E$ .

$(⟸)$ Supposons $Im (f) \cap Im (g) = {0}$ et $Ker (f) + Ker (g) = E$

Soit $x \in Ker (f + g)$ . On a $f (x) + g (x) = 0$ et donc $f (x) = - g (x) \in Im (f) \cap Im (g) = {0}$ . Ainsi, $x \in Ker (f) \cap Ker (g)$ et l’on a donc l’égalité¹¹ 1 Un raisonnement analogue est possible en montrant $Im (f + g) = Im (f) + Im (g)$ .

Ker (f + g) = Ker (f) \cap Ker (g) .

On en déduit

	$dim Ker (f + g)$	$= dim (Ker (f) \cap Ker (g))$
		$= dim Ker (f) + dim Ker (g) - dim (Ker (f) + Ker (g))$
		$= dim Ker (f) + dim Ker (g) - dim E .$

En appliquant la formule du rang, on conclut

rg (f + g) = rg (f) + rg (g) .

Exercice 4 191 Correction

Soient $f$ et $g$ deux endomorphismes de $E$ . Montrer

rg (f \circ g) \leq \min (rg (f), rg (g)) .

Solution

On a $Im (f \circ g) \subset Im (f)$ donc $rg (f \circ g) \leq rg (f)$ .

On remarque

Im (f \circ g) = f (Im (g)) = Im (f_{↾ Im (g)}) .

Puisque la dimension d’une image est toujours inférieure à la dimension de l’espace de départ $rg (f \circ g) \leq dim Im (g) = rg (g)$ .

Exercice 5 2467

Soient $f$ et $g$ deux endomorphismes d’un espace vectoriel $E$ de dimension finie.

(a)

Montrer

$E = Im (f) + Ker (g) \Leftrightarrow rg (g \circ f) = rg (g) .$
(b)

Montrer

$Im (f) \cap Ker (g) = {0_{E}} \Leftrightarrow rg (g \circ f) = rg (f) .$

Exercice 6 1661 Correction

Soient $E$ et $F$ deux $𝕂$ -espaces vectoriels de dimension finies et $f \in ℒ (E, F), g \in ℒ (F, E)$ telles que

f \circ g \circ f = f et g \circ f \circ g = g .

Montrer que les applications linéaires $f$ , $g$ , $f \circ g$ et $g \circ f$ ont le même rang.

Solution

Le rang d’une application linéaire composée est inférieur aux rangs des applications linéaires qui la compose.

D’une part,

rg (f \circ g), rg (g \circ f) \leq rg (f), rg (g) .

D’autre part,

rg (f) = rg (f \circ g \circ f) \leq rg (g \circ f), rg (f \circ g), rg (g)

rg (g) = rg (g \circ f \circ g) \leq rg (f) .

Ces comparaisons permettent de conclure.

[<] Généralités [>] Formule du rang

Édité le 29-08-2023

Rang d'une application linéaire