La fonction $f$ est définie et dérivable sur $]-1;+\mathrm{\infty }[$.

Pour $x>-1$,

$$f^{\prime }(x)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left({(1+x)}^x\right)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left({\mathrm{e}}^{x\ln (1+x)}\right)=\left(\ln (1+x)+\frac{x}{1+x}\right){\mathrm{e}}^{x\ln (1+x)}\text{.}$$

Le signe de $f^{\prime }(x)$ est celui de

$$g(x)=\ln (1+x)+\frac{x}{1+x}\text{.}$$

La fonction $g$ est définie et dérivable sur $]-1;+\mathrm{\infty }[$ avec

$$g^{\prime }(x)=\frac{2+x}{{(1+x)}^2}\ge 0\text{.}$$

La fonction $g$ est croissante sur $]-1;+\mathrm{\infty }[$ et l’on observe $g(0)=0$. Cela détermine le signe de $g(x)$ est donc celui de $f^{\prime }(x)$. On peut alors dresser le tableau des variations de $f$.

Les limites se déterminent par simples opérations sur les limites.

Sur le tableau, nous observons que $f$ présente un minimum de valeur $1$ en $0$. On en déduit

$$\forall x>-1,f(x)\ge 1\text{.}$$