Exercice 1 5705 Correction

(a)

Dresser le tableau des variations de la fonction $f : x \mapsto {(1 + x)}^{x}$ .
(b)

En déduire que

$\forall x > - 1, {(1 + x)}^{x} ⩾ 1 .$

Solution

(a)

La fonction $f$ est définie et dérivable sur $] - 1; + \infty [$ .

Pour $x > - 1$ ,

$f^{'} (x) = \frac{d}{d x} ({(1 + x)}^{x}) = \frac{d}{d x} (e^{x \ln (1 + x)}) = (\ln (1 + x) + \frac{x}{1 + x}) e^{x \ln (1 + x)} .$

Le signe de $f^{'} (x)$ est celui de

$g (x) = \ln (1 + x) + \frac{x}{1 + x} .$

La fonction $g$ est définie et dérivable sur $] - 1; + \infty [$ avec

$g^{'} (x) = \frac{2 + x}{{(1 + x)}^{2}} ⩾ 0 .$

La fonction $g$ est croissante sur $] - 1; + \infty [$ et l’on observe $g (0) = 0$ . Cela détermine le signe de $g (x)$ est donc celui de $f^{'} (x)$ . On peut alors dresser le tableau des variations de $f$ .

Les limites se déterminent par simples opérations sur les limites.
(b)

Sur le tableau, nous observons que $f$ présente un minimum de valeur $1$ en $0$ . On en déduit

$\forall x > - 1, f (x) ⩾ 1 .$

Exercice 2 3438

Soit $x \in] 0; 1 [$ . Justifier

\frac{1}{2} ⩽ x^{x} {(1 - x)}^{1 - x}

Exercice 3 6070 Correction

On note $𝒞$ la courbe représentative de la fonction exponentielle dans un repère orthonormé d’origine $O$ .

(a)

Établir qu’il existe un unique point sur $𝒞$ qui minimise la distance à l’origine.

On note $M_{0}$ le point obtenu.

(b)

Justifier la tangente à $𝒞$ en $M_{0}$ est perpendiculaire à la droite $(O M_{0})$ .

Solution

Édité le 29-11-2025

Étude de fonctions