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Exercice 1  1834  Correction  

Parmi les relations suivantes, lesquelles sont exactes:

  • (a)

    (ab)c=abc

  • (b)

    abac=abc

  • (c)

    a2b=(ab)2

  • (d)

    (ab)c=ac/2bc/2

  • (e)

    (ab)c=a(bc)

  • (f)

    (ab)c=(ac)b?

Solution

  • (a)

    c) f)

 
Exercice 2  1833  Correction  

Simplifier ab pour a=exp(x2) et b=1xln(x1/x).

Solution

(exp(x2))ln(x1/x)x=x.

 
Exercice 3  1835  Correction  

Comparer

limx0+x(xx)etlimx0+(xx)x.

Solution

Quand x0+

x(xx)=exp(xxln(x))=exp(exp(xln(x))ln(x))0

et

(xx)x=exp(xln(xx))=exp(x2ln(x))1.
 
Exercice 4  1836  Correction  

Déterminer les limites suivantes:

  • (a)

    limx+x1/x

  • (b)

    limx0xx

  • (c)

    limx0+x1/x

Solution

  • (a)

    limx+x1/x=1

  • (b)

    limx0xx=1

  • (c)

    limx0+x1/x=0.

 
Exercice 5  4834  

Résoudre les équations suivantes d’inconnue x réelle:

  • (a)

    x=2x-1+2

  • (b)

    xx=xx

  • (c)

    22x+3+52x=52x+1-22x+1

  • (d)

    ex-4e-x=3.

 
Exercice 6  1837  Correction  

Résoudre les équations suivantes:

  • (a)

    ex+e1-x=e+1

  • (b)

    xx=(x)x

  • (c)

    22x-3x-1/2=3x+1/2-22x-1

Solution

  • (a)

    𝒮={0,1}

  • (b)

    𝒮={0,1,4}

  • (c)

    Obtenir 22x-3=3x-3/2 puis 𝒮={3/2}.

 
Exercice 7  3438  

Soit x]0;1[. Justifier

12xx(1-x)1-x
 
Exercice 8  1838   Correction  

Résoudre les systèmes suivants:

  • (a)

    {8x=10y2x=5y

  • (b)

    {exe2y=a2xy=1

Solution

  • (a)

    x=1/2,y=2/5

  • (b)

    Obtenir un système somme/produit en x et 2y puis le résoudre.

 
Exercice 9  3652   Correction  

Résoudre le système

{a+b+c=0ea+eb+ec=3

d’inconnue (a,b,c)3

Solution

Il est clair que le triplet nul est solution de ce système.

Inversement, soit (a,b,c) solution. Posons x=ea, y=eb de sorte que ec=e-(a+b)=1/xy.
On a donc x,y>0 et

x+y+1xy=3.

Pour y>0 fixé, étudions la fonction f:xx+y+1/xy.
Cette fonction est dérivable et admet un minimum strict en x=1/y valant

g(y)=y+2/y.

La fonction g ainsi définie est dérivable et admet un minimum strict en y=1 valant g(1)=3.

On en déduit que si (x,y)(1,1) alors f(x,y)>3 et donc

f(x,y)=3x=y=1.

On peut alors conclure a=b=c=0.

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Édité le 08-11-2019

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