Exercice 1 1834 Correction

Parmi les relations suivantes, lesquelles sont exactes:

(a)

${(a^{b})}^{c} = a^{b c}$
(b)

$a^{b} a^{c} = a^{b c}$
(c)

$a^{2 b} = {(a^{b})}^{2}$
(d)

${(a b)}^{c} = a^{c / 2} b^{c / 2}$
(e)

${(a^{b})}^{c} = a^{(b^{c})}$
(f)

${(a^{b})}^{c} = {(a^{c})}^{b}$ ?

Solution

(a)

(c) (f)

Exercice 2 1833 Correction

Simplifier $a^{b}$ pour $a = \exp (x^{2})$ et $b = \frac{1}{x} \ln (x^{1 / x})$ .

Solution

${(\exp (x^{2}))}^{\frac{\ln (x^{1 / x})}{x}} = x$ .

Exercice 3 1835 Correction

Comparer

lim_{x \to 0^{+}} x^{(x^{x})} et lim_{x \to 0^{+}} {(x^{x})}^{x} .

Solution

Commençons par souligner que l’opération puissance n’est pas associative et donc $a^{(b^{c})}$ et ${(a^{b})}^{c}$ peuvent ne pas se correspondre. En l’absence de parenthèses, écrire $a^{b^{c}}$ est compris $a^{(b^{c})}$ tandis que ${(a^{b})}^{c}$ se simplifie en $a^{b c}$ .

Pour $x > 0$ ,

x^{(x^{x})} = \exp (x^{x} \ln (x)) = \exp (\exp (x \ln (x)) \ln (x)) .

Par opérations sur les limites,

x^{(x^{x})} \to_{x \to 0^{+}}^{} 0 .

Aussi,

{(x^{x})}^{x} = \exp (x \ln (x^{x})) = \exp (x^{2} \ln (x))

et cette fois-ci

{(x^{x})}^{x} \to_{x \to 0^{+}}^{} 1 .

Exercice 4 1836 Correction

Déterminer les limites suivantes:

(a)

${lim}_{x \to + \infty} x^{1 / x}$
(b)

${lim}_{x \to 0} x^{\sqrt{x}}$
(c)

${lim}_{x \to 0^{+}} x^{1 / x}$

Solution

(a)

${lim}_{x \to + \infty} x^{1 / x} = 1$
(b)

${lim}_{x \to 0} x^{\sqrt{x}} = 1$
(c)

${lim}_{x \to 0^{+}} x^{1 / x} = 0$ .

Exercice 5 4834

Résoudre les équations suivantes d’inconnue $x$ réelle:

(a)

$x = \sqrt{2 x - 1} + 2$
(b)

$x^{\sqrt{x}} = {\sqrt{x}}^{x}$
(c)

$2^{2 x + 3} + 5^{2 x} = 5^{2 x + 1} - 2^{2 x + 1}$
(d)

$e^{x} - 4 e^{- x} = 3$ .

Exercice 6 1837 Correction

Résoudre les équations suivantes:

(a)

$e^{x} + e^{1 - x} = e + 1$
(b)

$x^{\sqrt{x}} = {(\sqrt{x})}^{x}$
(c)

$2^{2 x} - 3^{x - 1 / 2} = 3^{x + 1 / 2} - 2^{2 x - 1}$

Solution

(a)

$𝒮 = {0,1}$
(b)

$𝒮 = {0,1,4}$
(c)

Obtenir $2^{2 x - 3} = 3^{x - 3 / 2}$ puis $𝒮 = {3 / 2}$ .

Exercice 7 1838 Correction

Résoudre les systèmes suivants:

(a)

${\begin{matrix} 8^{x} & = 10 y \\ 2^{x} & = 5 y \end{matrix}$
(b)

${\begin{matrix} e^{x} e^{2 y} & = a \\ 2 x y & = 1 \end{matrix}$

Solution

(a)

$x = 1 / 2, y = \sqrt{2} / 5$
(b)

Obtenir un système somme/produit en $x$ et $2 y$ puis le résoudre.

Exercice 8 5878 Correction

Déterminer tous les triplets $(x, y, z) \in {(ℝ_{+})}^{3}$ vérifiant

{\begin{matrix} x + y + z & = 3 \\ x y z & = 1 . \end{matrix}

Solution

Le triplet $(1,1,1)$ est évidemment solution. Vérifions qu’il n’y en pas d’autres.

Soit $(x, y, z) \in {(ℝ_{+})}^{3}$ un triplet solution. On a évidemment $x$ et $y$ non nuls et $z = 1 / x y$ . La première équation du système devient alors

x + y + \frac{1}{x y} = 3 .

Pour $y > 0$ fixé, étudions la fonction $f : x \mapsto x + y + 1 / x y$ définie sur $] 0; + \infty [$ .

Cette fonction est dérivable et admet un minimum strict en $x = 1 / \sqrt{y}$ valant

g (y) = y + 2 / \sqrt{y} .

La fonction $g$ ainsi définie est dérivable et admet un minimum strict en $y = 1$ valant $g (1) = 3$ .

On en déduit que si $(x, y) \neq (1,1)$ alors $f (x, y) > 3$ et donc

f (x, y) = 3 ⟹ x = y = 1 .

On conclut alors $(x, y, z) = (1,1,1)$ .

Exercice 9 3652 Correction

Résoudre le système

{\begin{matrix} a + b + c & = 0 \\ e^{a} + e^{b} + e^{c} & = 3 \end{matrix}

d’inconnue $(a, b, c) \in ℝ^{3}$

Solution

Il est clair que le triplet nul est solution de ce système.

Inversement, soit $(a, b, c)$ solution. Posons $x = e^{a}$ , $y = e^{b}$ de sorte que $e^{c} = e^{- (a + b)} = 1 / x y$ .
On a donc $x, y > 0$ et

x + y + \frac{1}{x y} = 3 .

Pour $y > 0$ fixé, étudions la fonction $f : x \mapsto x + y + 1 / x y$ .
Cette fonction est dérivable et admet un minimum strict en $x = 1 / \sqrt{y}$ valant

g (y) = y + 2 / \sqrt{y} .

La fonction $g$ ainsi définie est dérivable et admet un minimum strict en $y = 1$ valant $g (1) = 3$ .

On en déduit que si $(x, y) \neq (1,1)$ alors $f (x, y) > 3$ et donc

f (x, y) = 3 ⟹ x = y = 1 .

On peut alors conclure $a = b = c = 0$ .

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Édité le 22-09-2023

Puissances et exponentielles