Exercice 1 1840 Correction

Exprimer $\cos (3 a)$ en fonction de $\cos (a)$ et $\sin (3 a)$ en fonction de $\sin (a)$ .

Solution

On développe $\cos (3 a) = \cos (2 a + a)$ puis on emploie

\cos (2 a) = 2 \cos^{2} (a) - 1, \sin (2 a) = 2 \sin (a) \cos (a) et \sin^{2} (a) = 1 - \cos^{2} (a) .

On parvient à

\cos (3 a) = 4 \cos^{3} (a) - 3 \cos (a) .

De même, on acquiert

\sin (3 a) = 3 \sin (a) - 4 \sin^{3} (a) .

On peut aussi obtenir ces formules par

e^{3 i a} = {(\cos (a) + i \sin (a))}^{3} .

Exercice 2 1843

Linéariser¹¹ 1 Linéariser une expression trigonométrique consiste à transformer celle-ci en une combinaison de $\cos$ et de $\sin$ où il ne figure plus de produits.:

(a)

$\cos (x) \sin^{2} (x)$
(b)

$\cos^{2} (x)$
(c)

$\cos (a) \cos (b)$ .

Exercice 3 4825

Lorsque cela a un sens, exprimer $\tan (a + b + c)$ à l’aide de $\tan (a)$ , $\tan (b)$ et $\tan (c)$ .

Exercice 4 4835

(Formules de l’angle moitié)

Soit $x$ un réel qui n’est pas de la forme $(2 k + 1) π$ avec $k \in ℤ$ . On pose $t = \tan (\frac{x}{2})$ . Montrer

\cos (x) = \frac{1 - t^{2}}{1 + t^{2}} et \sin (x) = \frac{2 t}{1 + t^{2}} .

Exercice 5 4846

(Cosinus rationnel d’un multiple rationnel de $π$ )

Soit $n$ un naturel non nul.

(a)

Montrer qu’il existe des entiers $a_{0}, a_{1}, \dots, a_{n - 1}$ tels que, pour tout $t$ réel,

$2 \cos (n t) = 2^{0} a_{0} + 2^{1} a_{1} \cos (t) + \dots + 2^{n - 1} a_{n - 1} \cos^{n - 1} (t) + 2^{n} \cos^{n} (t) .$
(b)

En déduire les rationnels $r$ tels que $\cos (r π) \in ℚ$ .

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Édité le 29-08-2023

Formules de trigonométrie