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Exercice 1  1840  Correction  

Exprimer cos(3a) en fonction de cos(a) et sin(3a) en fonction de sin(a).

Solution

On développe cos(3a)=cos(2a+a) puis on emploie

cos(2a)=2cos2(a)-1,sin(2a)=2sin(a)cos(a)etsin2(a)=1-cos2(a).

On parvient à

cos(3a)=4cos3(a)-3cos(a).

De même, on acquiert

sin(3a)=3sin(a)-4sin3(a).

On peut aussi obtenir ces formules par

e3ia=(cos(a)+isin(a))3.
 
Exercice 2  1843  

Linéariser11 1 Linéariser une expression trigonométrique consiste à transformer celle-ci en une combinaison de cos et de sin où il ne figure plus de produits.:

  • (a)

    cos(x)sin2(x)

  • (b)

    cos2(x)

  • (c)

    cos(a)cos(b).

 
Exercice 3  4825  

Lorsque cela a un sens, exprimer tan(a+b+c) à l’aide de tan(a), tan(b) et tan(c).

 
Exercice 4  4835   

(Formules de l’angle moitié)

Soit x un réel qui n’est pas de la forme (2k+1)π avec k. On pose t=tan(x2). Montrer

cos(x)=1-t21+t2etsin(x)=2t1+t2.
 
Exercice 5  4846    

(Cosinus rationnel d’un multiple rationnel de π)

Soit n un naturel non nul.

  • (a)

    Montrer qu’il existe des entiers a0,a1,,an-1 tels que, pour tout t réel,

    2cos(nt)=20a0+21a1cos(t)++2n-1an-1cosn-1(t)+2ncosn(t).
  • (b)

    En déduire les rationnels r tels que cos(rπ).

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Édité le 08-11-2019

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