Exercice 1 4827

Simplifier:

(a)

$\arcsin (\sin (\frac{2 π}{3}))$
(b)

$\arccos (\cos (\frac{6 π}{5}))$
(c)

$\arccos (\sin (\frac{π}{7}))$ .

Exercice 2 4828

Simplifier les expressions suivantes lorsque celles-ci ont un sens:

(a)

$\sin (2 \arccos (x))$
(b)

$\cos (2 \arcsin (x))$
(c)

$\cos (\arctan (x))$ .

Exercice 3 1849 Correction

Simplifier les expressions suivantes:

(a)

$\cos (2 \arccos (x))$
(b)

$\cos (2 \arcsin (x))$
(c)

$\sin (2 \arccos (x))$
(d)

$\cos (2 \arctan (x))$
(e)

$\sin (2 \arctan (x))$
(f)

$\tan (2 \arcsin (x))$

Solution

(a)

$\cos (2 \arccos (x)) = 2 \cos^{2} (\arccos (x)) - 1 = 2 x^{2} - 1$ .
(b)

$\cos (2 \arcsin (x)) = 1 - 2 \sin^{2} (\arcsin) x = 1 - 2 x^{2}$ .
(c)

$\sin (2 \arccos (x)) = 2 x \sqrt{1 - x^{2}}$
(d)

$\cos (2 \arctan (x)) = 2 \cos^{2} (\arctan) x - 1 = \frac{2}{1 + x^{2}} - 1 = \frac{1 - x^{2}}{1 + x^{2}}$ .
(e)

$\sin (2 \arctan (x)) = 2 \sin (\arctan (x)) \cos (\arctan (x)) = \frac{2 x}{1 + x^{2}}$ .
(f)

$\tan (2 \arcsin (x)) = \frac{2 \tan (\arcsin (x))}{1 - \tan^{2} (\arcsin (x))} = \frac{2 x \sqrt{1 - x^{2}}}{1 - 2 x^{2}}$ .

Exercice 4 4841

Simplifier les expressions qui suivent lorsque celles-ci ont un sens:

(a)

$\arccos (2 x^{2} - 1)$
(b)

$\arccos (\frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}})$ .

Exercice 5 1851 Correction

Simplifier

\arcsin (\frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}})

pour $x$ réel convenable.

Solution

La fonction $x \mapsto \frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ est dérivable et à valeurs dans $] - 1; 1 [$ donc $x \mapsto \arcsin (\frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}})$ est dérivable et

{(\arcsin (\frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}}))}^{'} = \frac{1}{{(\sqrt{1 + x^{2}})}^{3}} \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{x^{2}}{1 + x^{2}}}} = \frac{1}{1 + x^{2}} .

On en déduit

\arcsin (\frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}}) = \arctan (x) + C .

En évaluant en $x = 0$ , on obtient $C = 0$ .

Exercice 6 1850 Correction

Simplifier

\arccos (4 x^{3} - 3 x)

pour $x$ réel convenable.

Solution

$f : x \mapsto \arccos (4 x^{3} - 3 x)$ est définie sur $[- 1; 1]$ .
Pour $x \in [- 1; 1]$ , posons $θ = \arccos (x)$ , on a alors $f (x) = \arccos (4 \cos^{3} (θ) - 3 \cos (θ)) = \arccos (\cos (3 θ))$ .
Si $θ \in [0; π / 3]$ c’est-à-dire $x \in [1 / 2; 1]$ alors $f (x) = 3 θ = 3 \arccos (x)$ .
Si $θ \in [π / 3; 2 π / 3]$ c’est-à-dire $x \in [- 1 / 2; 1 / 2]$ alors $f (x) = 2 π - 3 θ = 2 π - 3 \arccos (x)$ .
Si $θ \in [2 π / 3; π]$ c’est-à-dire $x \in [- 1; - 1 / 2]$ alors $f (x) = 3 θ - 2 π = 3 \arccos (x) - 2 π$ .

Exercice 7 4842

Étudier les fonctions suivantes afin de les figurer:

(a)

$f : t \mapsto \arcsin (\sin (t)) + \arccos (\cos (t))$
(b)

$g : t \mapsto \arccos (\sqrt{\frac{1 + \cos (t)}{2}})$ .

Exercice 8 1854 Correction

Étudier les fonctions suivantes afin de les représenter:

(a)

$f : x \mapsto \arcsin (\sin (x)) + \frac{1}{2} \arccos (\cos (2 x))$
(b)

$f : x \mapsto \arctan (\sqrt{\frac{1 - \cos (x)}{1 + \cos (x)}})$

Solution

(a)

$f$ est $2 π$ périodique.
Sur $[0; π / 2]$ , $f (x) = x + x = 2 x$ . Sur $[π / 2; π]$ , $f (x) = π - x + π - x = 2 π - 2 x$ .
Sur $[- π / 2; 0]$ , $f (x) = x - x = 0$ . Sur $[- π; - π / 2]$ , $f (x) = - x - π + π + x = 0$ .
(b)

$f (x) = \arctan (\sqrt{\frac{1 - \cos (x)}{1 + \cos (x)}}) = \arctan (| \tan (x / 2) |)$ . $f$ est $2 π$ périodique, paire. Sur $[0; π [, f (x) = x / 2$ .

Exercice 9 4840

Simplifier:

(a)

$\arctan (1 / 2) + \arctan (1 / 3)$
(b)

$\arctan (2) + \arctan (3) + \arctan (2 + \sqrt{3})$ .

Exercice 10 5487 Correction

(Formule de Dodgson¹¹ 1 Plus connu sous le nom de Lewis Carroll.)

Soient $p$ , $q$ et $r$ trois réels strictement positifs vérifiant $1 + p^{2} = q r$ . Vérifier

\arctan (\frac{1}{p}) = \arctan (\frac{1}{p + r}) + \arctan (\frac{1}{p + q}) .

Solution

Posons

α = \arctan (\frac{1}{p + r}) et β = \arctan (\frac{1}{p + q}) .

Les réels $α$ et $β$ appartiennent à $] 0; π / 2 [$ car ce sont des arc-tangentes de réels strictement positifs. La somme $α + β$ est différente de $π / 2$ car

	$α + β = \frac{π}{2}$	$⟹ \arctan (\frac{1}{p + r}) = \frac{π}{2} - \arctan (\frac{1}{p + q})$
		$⟹ \arctan (\frac{1}{p + r}) = \arctan (p + q)$
		$⟹ \frac{1}{p + r} = p + q$
		$⟹ (p + q) (p + r) = 1$
		$⟹ \underset{\begin{matrix} \neq 0 \end{matrix}}{\underset{⏟}{p (2 p + q + r)}} = 0 car q r = 1 + p^{2} .$

On peut alors calculer et développer $\tan (α + β)$ ce qui donne

	$\tan (α + β)$	$= \frac{\tan (α) + \tan (β)}{1 - \tan (α) \tan (β)}$
		$= \frac{\frac{1}{p + q} + \frac{1}{p + r}}{1 - \frac{1}{p + q} \cdot \frac{1}{p + r}}$
		$= \frac{2 p + q + r}{(p + q) (p + r) - 1}$
		$= \frac{2 p + q + r}{p (2 p + q + r)} = \frac{1}{p} .$

On en déduit

α + β \equiv \arctan (\frac{1}{p}) [π] .

Or $α + β$ et $\arctan (1 / p)$ sont tous deux éléments de $] 0; π [$ et donc

α + β = \arctan (\frac{1}{p}) .

Exercice 11 1855 Correction

Simplifier $\arcsin (\frac{4}{5}) + \arcsin (\frac{5}{13}) + \arcsin (\frac{16}{65})$ .

Solution

\cos (\arcsin (\frac{4}{5}) + \arcsin (\frac{5}{13})) = \frac{3}{5} \cdot \frac{12}{13} - \frac{4}{5} \cdot \frac{5}{13} = \frac{16}{65}

\cos (\frac{π}{2} - \arcsin (\frac{16}{65})) = \sin (\arcsin (\frac{16}{65})) = \frac{16}{65} .

\arcsin (\frac{4}{5}) + \arcsin (\frac{5}{13}) \in [0; \frac{π}{2}]

\frac{π}{2} - \arcsin (\frac{16}{65}) \in [0; \frac{π}{2}]

d’où l’égalité

\arcsin (\frac{4}{5}) + \arcsin (\frac{5}{13}) + \arcsin (\frac{16}{65}) = \frac{π}{2} .

Exercice 12 1856

Résoudre les équations suivantes d’inconnue $x$ réelle:

(a)

$\arctan (x) + \arctan (3 x) = \frac{π}{2}$
(b)

$\arcsin (x) + \arcsin (3 x) = \frac{π}{2}$
(c)

$\arccos (2 x) - \arccos (x) = \frac{π}{4}$ .

Exercice 13 1857

(Argument principal d’un nombre complexe non nul)

Soit $z \in ℂ ∖ ℝ_{-}$ un nombre complexe de partie réelle $x$ et de partie imaginaire $y$ .

Vérifier qu’un argument possible de $z$ est

2 \arctan (\frac{y}{x + \sqrt{x^{2} + y^{2}}}) .

Exercice 14 1852

Montrer que la courbe représentative de la fonction $\arccos$ est symétrique par rapport au point de coordonnées $(0, π / 2)$ .

Exercice 15 4839

Quelle relation¹¹ 1 Soulignons que la fonction $\arctan$ ne se déduit pas des fonctions $\arcsin$ et $\arccos$ : $\arctan (x)$ n’est pas $\frac{\arcsin (x)}{\arccos (x)}$ ! simple relie les fonctions $\arcsin$ et $\arccos$ ?

Exercice 16 4829

On souhaite établir

\arctan (x) + \arctan (\frac{1}{x}) = \frac{π}{2} pour tout x > 0 .

(a)

Montrer l’identité en étudiant la fonction définie par le premier membre.
(b)

Montrer l’identité en calculant la tangente d’un angle bien choisi.

Exercice 17 1858 Correction

Simplifier $\arctan (a) + \arctan (b)$ pour $a, b \geq 0$ .

Solution

On a $\tan (\arctan (a) + \arctan (b)) = \frac{a + b}{1 - a b}$ donc $\arctan (a) + \arctan (b) = \arctan (\frac{a + b}{1 - a b}) [π]$ .
Si $a b = 1$ alors $\arctan (a) + \arctan (b) = π / 2$ .
Si $a b < 1$ alors $\arctan (a) + \arctan (b) = \arctan (\frac{a + b}{1 - a b})$ .
Si $a b > 1$ alors $\arctan (a) + \arctan (b) = \arctan (\frac{a + b}{1 - a b}) + π$ .

Exercice 18 1859 Correction

Soit $p \in ℕ$ . Calculer

\arctan (p + 1) - \arctan (p) .

Étudier la limite de la suite $(S_{n})$ de terme général

S_{n} = \sum_{p = 0}^{n} \arctan (\frac{1}{p^{2} + p + 1}) .

Solution

Posons $θ = \arctan (p + 1) - \arctan (p)$ . Comme $0 \leq \arctan (p) \leq \arctan (p + 1) < π / 2$ on a $θ \in [0; π / 2 [$ .
De plus, $\tan (θ) = \frac{1}{p^{2} + p + 1}$ donc

θ = \arctan (\frac{1}{p^{2} + p + 1}) .

Par télescopage $S_{n} = \sum_{p = 0}^{n} \arctan (\frac{1}{p^{2} + p + 1}) = \arctan (n + 1) \to π / 2$ .

Exercice 19 2814 MINES (MP)

Soient $x_{1}, \dots, x_{13}$ des réels. Montrer qu’il existe des indices $i$ et $j$ distincts compris entre $1$ et $13$ tels que

0 \leq \frac{x_{i} - x_{j}}{1 + x_{i} x_{j}} \leq 2 - \sqrt{3} .

Exercice 20 1853 Correction

Déterminer ${lim}_{x \to 0 +} \frac{\arccos (1 - x)}{\sqrt{x}}$ à l’aide d’un changement de variable judicieux.

Solution

Quand $x \to 0^{+}$ : $\frac{\arccos (1 - x)}{\sqrt{x}} = \frac{y}{\sqrt{1 - \cos (y)}}$ avec $y = \arccos (1 - x) \to 0^{+}$ .
Or $1 - \cos (y) \sim \frac{y^{2}}{2}$ donc $\frac{\arccos (1 - x)}{\sqrt{x}} = \frac{y}{\sqrt{1 - \cos (y)}} \to \sqrt{2}$ .

Exercice 21 4845

Soit $θ \in] 0; π [$ . On étudie la fonction $f$ de la variable réelle $x$ déterminée par

f (x) = \arcsin (\frac{2 \sin (θ) (x - \cos (θ))}{x^{2} - 2 x \cos (θ) + 1}) .

(a)

Justifier que $f$ est définie et continue sur $ℝ$ .
(b)

Vérifier que $f$ est dérivable en tout point de $ℝ$ excepté en deux points $x_{1}$ et $x_{2}$ que l’on précisera. Simplifier l’expression de $f^{'} (x)$ pour $x \neq x_{1}$ et $x_{2}$ .
(c)

Justifier que la représentation de $f$ présente un centre de symétrie.
(d)

En admettant¹¹ 1 Ce résultat correspond au théorème de la limite de la dérivée. que les pentes des demi-tangentes à la courbe représentative de $f$ en $x_{1}$ et $x_{2}$ sont déterminées par les limites de $f^{'}$ à droite et à gauche en ces points, donner l’allure de la courbe représentative de $f$ .

[<] Équations trigonométriques [>] Fonctions hyperboliques

Édité le 29-08-2023

Fonctions trigonométriques réciproques