[<] Équations trigonométriques [>] Fonctions hyperboliques

 
Exercice 1  4827  

Simplifier:

  • (a)

    arcsin(sin(2π3))

  • (b)

    arccos(cos(6π5))

  • (c)

    arccos(sin(π7)).

 
Exercice 2  4828  

Simplifier les expressions suivantes lorsque celles-ci ont un sens:

  • (a)

    sin(2arccos(x))

  • (b)

    cos(2arcsin(x))

  • (c)

    cos(arctan(x)).

 
Exercice 3  1849  Correction  

Simplifier les expressions suivantes:

  • (a)

    cos(2arccos(x))

  • (b)

    cos(2arcsin(x))

  • (c)

    sin(2arccos(x))

  • (d)

    cos(2arctan(x))

  • (e)

    sin(2arctan(x))

  • (f)

    tan(2arcsin(x))

Solution

  • (a)

    cos(2arccos(x))=2cos2(arccos(x))-1=2x2-1.

  • (b)

    cos(2arcsin(x))=1-2sin2(arcsin)x=1-2x2.

  • (c)

    sin(2arccos(x))=2x1-x2

  • (d)

    cos(2arctan(x))=2cos2(arctan)x-1=21+x2-1=1-x21+x2.

  • (e)

    sin(2arctan(x))=2sin(arctan(x))cos(arctan(x))=2x1+x2.

  • (f)

    tan(2arcsin(x))=2tan(arcsin(x))1-tan2(arcsin(x))=2x1-x21-2x2.

 
Exercice 4  4841   

Simplifier les expressions qui suivent lorsque celles-ci ont un sens:

  • (a)

    arccos(2x2-1)

  • (b)

    arccos(x1+x2).

 
Exercice 5  1851   Correction  

Simplifier

arcsin(x1+x2).

pour x réel convenable.

Solution

La fonction xx1+x2 est dérivable et à valeurs dans ]-1;1[ donc xarcsin(x1+x2) est dérivable et

(arcsin(x1+x2))=1(1+x2)311-x21+x2=11+x2.

On en déduit

arcsin(x1+x2)=arctan(x)+C.

En évaluant en x=0, on obtient C=0.

 
Exercice 6  1850   Correction  

Simplifier

arccos(4x3-3x)

pour x réel convenable.

Solution

f:xarccos(4x3-3x) est définie sur [-1;1].
Pour x[-1;1], posons θ=arccos(x), on a alors f(x)=arccos(4cos3(θ)-3cos(θ))=arccos(cos(3θ)).
Si θ[0;π/3] c’est-à-dire x[1/2;1] alors f(x)=3θ=3arccos(x).
Si θ[π/3;2π/3] c’est-à-dire x[-1/2;1/2] alors f(x)=2π-3θ=2π-3arccos(x).
Si θ[2π/3;π] c’est-à-dire x[-1;-1/2] alors f(x)=3θ-2π=3arccos(x)-2π.

 
Exercice 7  4842   

Étudier les fonctions suivantes afin de les figurer:

  • (a)

    f:tarcsin(sin(t))+arccos(cos(t))

  • (b)

    g:tarccos(1+cos(t)2).

 
Exercice 8  1854   Correction  

Étudier les fonctions suivantes afin de les représenter:

  • (a)

    f:xarcsin(sin(x))+12arccos(cos(2x))

  • (b)

    f:xarctan(1-cos(x)1+cos(x))

Solution

  • (a)

    f est 2π périodique.
    Sur [0;π/2], f(x)=x+x=2x. Sur [π/2;π], f(x)=π-x+π-x=2π-2x.
    Sur [-π/2;0], f(x)=x-x=0. Sur [-π;-π/2], f(x)=-x-π+π+x=0.

  • (b)

    f(x)=arctan(1-cos(x)1+cos(x))=arctan(|tan(x/2)|). f est 2π périodique, paire. Sur [0;π[,f(x)=x/2.

 
Exercice 9  4840   

Simplifier:

  • (a)

    arctan(1/2)+arctan(1/3)

  • (b)

    arctan(2)+arctan(3)+arctan(2+3).

 
Exercice 10  1855   Correction  

Simplifier arcsin(45)+arcsin(513)+arcsin(1665).

Solution

cos(arcsin(45)+arcsin(513))=351213-45513=1665

et

cos(π2-arcsin(1665))=sin(arcsin(1665))=1665.

Or

arcsin(45)+arcsin(513)[0;π2]

et

π2-arcsin(1665)[0;π2]

d’où l’égalité

arcsin(45)+arcsin(513)+arcsin(1665)=π2.
 
Exercice 11  1856   

Résoudre les équations suivantes d’inconnue x réelle:

  • (a)

    arctan(x)+arctan(3x)=π2

  • (b)

    arcsin(x)+arcsin(3x)=π2

  • (c)

    arccos(2x)-arccos(x)=π4.

 
Exercice 12  1857   

(Argument principal d’un nombre complexe non nul)

Soit z- un nombre complexe de partie réelle x et de partie imaginaire y.

Vérifier qu’un argument possible de z est

2arctan(yx+x2+y2).
 
Exercice 13  1852  

Montrer que la courbe représentative de la fonction arccos est symétrique par rapport au point de coordonnées (0,π/2).

 
Exercice 14  4839  

Quelle relation11 1 Soulignons que la fonction arctan ne se déduit pas des fonctions arcsin et arccos: arctan(x) n’est pas arcsin(x)arccos(x)! simple relie les fonctions arcsin et arccos?

 
Exercice 15  4829   

On souhaite établir

arctan(x)+arctan(1x)=π2pour tout x>0.
  • (a)

    Montrer l’identité en étudiant la fonction définie par le premier membre.

  • (b)

    Montrer l’identité en calculant la tangente d’un angle bien choisi.

 
Exercice 16  1858   Correction  

Simplifier arctan(a)+arctan(b) pour a,b0.

Solution

On a tan(arctan(a)+arctan(b))=a+b1-ab donc arctan(a)+arctan(b)=arctan(a+b1-ab)[π].
Si ab=1 alors arctan(a)+arctan(b)=π/2.
Si ab<1 alors arctan(a)+arctan(b)=arctan(a+b1-ab).
Si ab>1 alors arctan(a)+arctan(b)=arctan(a+b1-ab)+π.

 
Exercice 17  1859   Correction  

Soit p. Calculer

arctan(p+1)-arctan(p).

Étudier la limite de la suite (Sn) de terme général

Sn=p=0narctan(1p2+p+1).

Solution

Posons θ=arctan(p+1)-arctan(p). Comme 0arctan(p)arctan(p+1)<π/2 on a θ[0;π/2[.
De plus, tan(θ)=1p2+p+1 donc

θ=arctan(1p2+p+1).

Par télescopage Sn=p=0narctan(1p2+p+1)=arctan(n+1)π/2.

 
Exercice 18  2814     MINES (MP)

Soient x1,,x13 des réels. Montrer qu’il existe des indices i et j distincts compris entre 1 et 13 tels que

0xi-xj1+xixj2-3.
 
Exercice 19  1853   Correction  

Déterminer limx0+arccos(1-x)x à l’aide d’un changement de variable judicieux.

Solution

Quand x0+: arccos(1-x)x=y1-cos(y) avec y=arccos(1-x)0+.
Or 1-cos(y)y22 donc arccos(1-x)x=y1-cos(y)2.

 
Exercice 20  4845    

Soit θ]0;π[. On étudie la fonction f de la variable réelle x déterminée par

f(x)=arcsin(2sin(θ)(x-cos(θ))x2-2xcos(θ)+1).
  • (a)

    Justifier que f est définie et continue sur .

  • (b)

    Vérifier que f est dérivable en tout point de excepté en deux points x1 et x2 que l’on précisera. Simplifier l’expression de f(x) pour xx1 et x2.

  • (c)

    Justifier que la représentation de f présente un centre de symétrie.

  • (d)

    En admettant11 1 Ce résultat correspond au théorème de la limite de la dérivée (). que les pentes des demi-tangentes à la courbe représentative de f en x1 et x2 sont déterminées par les limites de f à droite et à gauche en ces points, donner l’allure de la courbe représentative de f.

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Édité le 08-11-2019

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