[<] Puissances et exponentielles [>] Formules de trigonométrie

 
Exercice 1  1839  Correction  

Établir que pour tout x+,

sin(x)x

et pour tout x,

cos(x)1-x22.

Solution

Posons f(x)=x-sin(x) définie sur +. La fonction f est dérivable avec f0 et f(0)=0. On en déduit que f est positive.

Posons g(x)=cos(x)-1+x22 définie sur . La fonction g est deux fois dérivable avec g′′0 et g(0)=g(0)=0. En dressant le tableau de variation et de signe de g puis de g, on conclut g positive.

 
Exercice 2  1841  Correction  

Calculer

cos(π8).

Solution

On sait cos(2a)=2cos2(a)-1 donc

2cos2(π8)-1=cos(π4)=22

puis

cos2(π8)=2+24

et enfin

cos(π8)=2+22

car cos(π/8)0.

 
Exercice 3  1842  Correction  

Simplifier

cos(p)-cos(q)sin(p)+sin(q).

En déduire la valeur de

tan(π24).

Solution

Par factorisation

cos(p)-cos(q)sin(p)+sin(q)=-sin(p-q2)cos(p-q2)=-tan(p-q2).

Pour p=π4 et q=π6 on obtient

tan(π24)=32-2222+12=3-22+1.
 
Exercice 4  1844  

Écrire les expressions suivantes sous la forme Acos(x-φ):

  • (a)

    cos(x)+sin(x)

  • (b)

    cos(x)-3sin(x).

 
Exercice 5  1845   Correction  

Soient a,b tels que b0[2π]. Calculer simultanément

k=0ncos(a+kb)etk=0nsin(a+kb).

Solution

En passant aux nombres complexes

k=0ncos(a+kb)+ik=0nsin(a+kb)=k=0nei(a+kb).

Par sommation géométrique puis factorisation de l’exponentielle équilibrée

k=0nei(a+kb)=eiaei(n+1)b-1eib-1=ei(a+nb/2)sin((n+1)b2)sin(b2).

Par suite,

k=0ncos(a+kb)=sin((n+1)b2)sin(b2)cos(a+nb2)

et

k=0nsin(a+kb)=sin((n+1)b2)sin(b2)sin(a+nb2).
 
Exercice 6  4837   

Soient n et x un réel qui n’est pas de la forme 2kπ avec k.

  • (a)

    Exprimer sin(x2)cos(nx) en fonction de sin(2n+12x) et de sin(2n-12x).

  • (b)

    En déduire la valeur de

    Cn=k=0ncos(kx).
  • (c)

    Exprimer de même

    Sn=k=1nsin(kx).
 
Exercice 7  1846   Correction  

Soit x0[2π].

  • (a)

    Montrer

    sin(x)+sin(2x)++sin(nx)=sin((n+1)x2)sin(nx2)sin(x2)

    en procédant par récurrence sur n.

  • (b)

    En exploitant les nombres complexes.

Solution

  • (a)

    L’hérédité de la récurrence s’obtient via

    sin((n+1)x2)sin(nx2) +sin(n+1)xsin(x2)
    =sin((n+1)x2)(sin(nx2)+2cos((n+1)x2)sin(x2))
    sin((n+1)x2)sin((n+2)x2)

    en exploitant

    sin(p)-sin(q)=2sin(p-q2)cos(p+q2)

    avec

    p=(n+2)x2 et q=nx2.
  • (b)

    Par les nombres complexes

    sin(x)+sin(2x)++sin(nx)=Im(k=1neikx)=Im(eix-ei(n+1)x1-eix)

    donc

    sin(x)+sin(2x)++sin(nx)=Im(ei(n+1)x2sin(nx2)sin(x2))=sin((n+1)x2)sin(nx2)sin(x2).
 
Exercice 8  4838   

Soient θ]0;π[ et n. Exprimer à l’aide de la fonction sinus le produit

k=1ncos(θ2k).
 
Exercice 9  2645     MINES (MP)Correction  

Calculer

k=14cos2kπ9.

Solution

En linéarisant et en faisant quelques transformations angulaires de simplification

k=14cos2kπ9=74.

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Édité le 08-11-2019

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