Exercice 1 1839 Correction

Établir que pour tout $x \in ℝ_{+}$ ,

\sin (x) \leq x

et pour tout $x \in ℝ$ ,

\cos (x) \geq 1 - \frac{x^{2}}{2} .

Solution

Posons $f (x) = x - \sin (x)$ définie sur $ℝ_{+}$ . La fonction $f$ est dérivable avec $f^{'} \geq 0$ et $f (0) = 0$ . On en déduit que $f$ est positive.

Posons $g (x) = \cos (x) - 1 + \frac{x^{2}}{2}$ définie sur $ℝ$ . La fonction $g$ est deux fois dérivable avec $g^{''} \geq 0$ et $g^{'} (0) = g (0) = 0$ . En dressant le tableau de variation et de signe de $g^{'}$ puis de $g$ , on conclut $g$ positive.

Exercice 2 1841 Correction

Calculer

\cos (\frac{π}{8}) .

Solution

On sait $\cos (2 a) = 2 \cos^{2} (a) - 1$ donc

2 \cos^{2} (\frac{π}{8}) - 1 = \cos (\frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}

puis

\cos^{2} (\frac{π}{8}) = \frac{\sqrt{2} + 2}{4}

et enfin

\cos (\frac{π}{8}) = \frac{\sqrt{\sqrt{2} + 2}}{2}

car $\cos (π / 8) \geq 0$ .

Exercice 3 1842 Correction

Simplifier

\frac{\cos (p) - \cos (q)}{\sin (p) + \sin (q)} .

En déduire la valeur de

\tan (\frac{π}{24}) .

Solution

Par factorisation

\frac{\cos (p) - \cos (q)}{\sin (p) + \sin (q)} = - \frac{\sin (\frac{p - q}{2})}{\cos (\frac{p - q}{2})} = - \tan (\frac{p - q}{2}) .

Pour $p = \frac{π}{4}$ et $q = \frac{π}{6}$ on obtient

\tan (\frac{π}{24}) = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{\sqrt{2} + 1} .

Exercice 4 1844

Écrire les expressions suivantes sous la forme $A \cos (x - φ)$ :

(a)

$\cos (x) + \sin (x)$
(b)

$\cos (x) - \sqrt{3} \sin (x)$ .

Exercice 5 1845 Correction

Soient $a, b \in ℝ$ tels que $b \neq 0 [2 π]$ . Calculer simultanément

\sum_{k = 0}^{n} \cos (a + k b) et \sum_{k = 0}^{n} \sin (a + k b) .

Solution

En passant aux nombres complexes

\sum_{k = 0}^{n} \cos (a + k b) + i \sum_{k = 0}^{n} \sin (a + k b) = \sum_{k = 0}^{n} e^{i (a + k b)} .

Par sommation géométrique puis factorisation de l’exponentielle équilibrée

\sum_{k = 0}^{n} e^{i (a + k b)} = e^{i a} \frac{e^{i (n + 1) b} - 1}{e^{i b} - 1} = e^{i (a + n b / 2)} \frac{\sin (\frac{(n + 1) b}{2})}{\sin (\frac{b}{2})} .

Par suite,

\sum_{k = 0}^{n} \cos (a + k b) = \frac{\sin (\frac{(n + 1) b}{2})}{\sin (\frac{b}{2})} \cos (a + \frac{n b}{2})

\sum_{k = 0}^{n} \sin (a + k b) = \frac{\sin (\frac{(n + 1) b}{2})}{\sin (\frac{b}{2})} \sin (a + \frac{n b}{2}) .

Exercice 6 4837

Soient $n \in ℕ$ et $x$ un réel qui n’est pas de la forme $2 k π$ avec $k \in ℤ$ .

(a)

Exprimer $\sin (\frac{x}{2}) \cos (n x)$ en fonction de $\sin (\frac{2 n + 1}{2} x)$ et de $\sin (\frac{2 n - 1}{2} x)$ .
(b)

En déduire la valeur de

$C_{n} = \sum_{k = 0}^{n} \cos (k x) .$
(c)

Exprimer de même

$S_{n} = \sum_{k = 1}^{n} \sin (k x) .$

Exercice 7 1846 Correction

Soit $x \neq 0 [2 π]$ .

(a)

Montrer

$\sin (x) + \sin (2 x) + \dots + \sin (n x) = \frac{\sin (\frac{(n + 1) x}{2}) \sin (\frac{n x}{2})}{\sin (\frac{x}{2})}$

en procédant par récurrence sur $n \in ℕ$ .
(b)

En exploitant les nombres complexes.

Solution

(a)

L’hérédité de la récurrence s’obtient via

$\sin (\frac{(n + 1) x}{2}) \sin (\frac{n x}{2})$ $+ \sin (n + 1) x \sin (\frac{x}{2})$

$= \sin (\frac{(n + 1) x}{2}) (\sin (\frac{n x}{2}) + 2 \cos (\frac{(n + 1) x}{2}) \sin (\frac{x}{2}))$

$\sin (\frac{(n + 1) x}{2}) \sin (\frac{(n + 2) x}{2})$

en exploitant

$\sin (p) - \sin (q) = 2 \sin (\frac{p - q}{2}) \cos (\frac{p + q}{2})$

avec

$p = \frac{(n + 2) x}{2} et q = \frac{n x}{2} .$
(b)

Par les nombres complexes

$\sin (x) + \sin (2 x) + \dots + \sin (n x) = Im (\sum_{k = 1}^{n} e^{i k x}) = Im (\frac{e^{i x} - e^{i (n + 1) x}}{1 - e^{i x}})$

donc

$\sin (x) + \sin (2 x) + \dots + \sin (n x) = Im (e^{i \frac{(n + 1) x}{2}} \frac{\sin (\frac{n x}{2})}{\sin (\frac{x}{2})}) = \sin (\frac{(n + 1) x}{2}) \frac{\sin (\frac{n x}{2})}{\sin (\frac{x}{2})} .$

Exercice 8 4838

Soient $θ \in] 0; π [$ et $n \in ℕ$ . Exprimer à l’aide de la fonction sinus le produit

\prod_{k = 1}^{n} \cos (\frac{θ}{2^{k}}) .

Exercice 9 2645 MINES (MP)Correction

Calculer

\sum_{k = 1}^{4} \cos^{2} (\frac{k π}{9}) .

Solution

En linéarisant et en faisant quelques transformations angulaires de simplification

\sum_{k = 1}^{4} \cos^{2} (\frac{k π}{9}) = \frac{7}{4} .

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Édité le 29-08-2023

	$\sin (\frac{(n + 1) x}{2}) \sin (\frac{n x}{2})$	$+ \sin (n + 1) x \sin (\frac{x}{2})$
		$= \sin (\frac{(n + 1) x}{2}) (\sin (\frac{n x}{2}) + 2 \cos (\frac{(n + 1) x}{2}) \sin (\frac{x}{2}))$
		$\sin (\frac{(n + 1) x}{2}) \sin (\frac{(n + 2) x}{2})$

Fonctions trigonométriques