Exercice 1 4830

Montrer les inégalités suivantes:

(a)

$sh (x) \geq x$ pour tout $x \geq 0$
(b)

$ch (x) \geq 1 + \frac{1}{2} x^{2}$ pour tout $x \in ℝ$ .

Exercice 2 1869 Correction

Établir

\forall x \in ℝ, | \arctan (sh (x)) | = \arccos (\frac{1}{ch (x)}) .

Solution

Soit $f : ℝ_{+} \to ℝ$ définie par

f (x) = \arctan (sh (x)) - \arccos (\frac{1}{ch (x)}) .

La fonction $f$ est continue sur $ℝ_{+}$ et dérivable sur $] 0; + \infty [$ avec, pour $x > 0$ ,

f^{'} (x) = \frac{ch (x)}{1 + {sh}^{2} (x)} - \frac{sh (x)}{{ch}^{2} (x)} \cdot \frac{ch (x)}{\sqrt{{ch}^{2} (x) - 1}} = \frac{1}{ch (x)} - \frac{sh (x)}{ch (x)} \cdot \frac{1}{sh (x)} = 0 .

La fonction $f$ est donc constante sur $] 0; + \infty [$ puis sur $ℝ_{+}$ par continuité.

Puisque $f (0) = 0$ , on conclut

\forall x \in ℝ_{+}, | \arctan (sh (x)) | = \arccos (\frac{1}{ch (x)}) .

Par parité, le résultat se prolonge aussi à $x \in ℝ_{-}$ .

Exercice 3 1863

Soient $n \in ℕ$ et $t \in ℝ$ . Exprimer

C_{n} = \sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) ch (k t) et S_{n} = \sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) sh (k t)

en fonction de $ch (\frac{t}{2})$ , $ch (\frac{n t}{2})$ et $sh (\frac{n t}{2})$ .

Exercice 4 4843

(a)

Vérifier que $sh (2 a) = 2 sh (a) ch (a)$ pour tout $a$ réel.
(b)

Soient $x \in ℝ$ et $n \in ℕ$ . Exprimer à l’aide de la fonction sinus hyperbolique le produit

$\prod_{k = 1}^{n} ch (\frac{x}{2^{k}}) .$

Exercice 5 1865 Correction

Pour $n \in ℕ$ et $x \in ℝ_{+}^{*}$ , observer

th ((n + 1) x) - th (n x) = \frac{sh (x)}{ch (n x) ch ((n + 1) x)} .

Calculer

S_{n} (x) = \sum_{k = 0}^{n} \frac{1}{ch (k x) ch ((k + 1) x)} .

Solution

Après quelques calculs

th ((n + 1) x) - th (n x) = \frac{sh (x)}{ch (n x) ch ((n + 1) x)} .

Par télescopage

S_{n} (x) = \sum_{k = 0}^{n} \frac{1}{ch (k x) ch ((k + 1) x)} = \frac{th ((n + 1) x)}{sh (x)} .

Exercice 6 5883 Correction

Soit $(a, b) \in ℝ^{2}$ . Résoudre l’équation $a ch (x) + b sh (x) = 1$ d’inconnue $x \in ℝ$ .

Solution

Par les écritures exponentielles,

	$a ch (x) + b sh (x) = 1$	$\Leftrightarrow (a + b) e^{x} + (a - b) e^{- x} = 2$
		$\Leftrightarrow (a + b) e^{2 x} - 2 e^{x} + (a - b) = 0 .$

En considérant $X = e^{x}$ , on résout alors l’équation

(a + b) X^{2} - 2 X + (a - b) = 0 .

Cas: $a + b$ = 0. L’équation possède une solution

X = \frac{a - b}{2} .

Si $a > b$ alors l’équation initiale possède une unique solution

x = \ln (\frac{a - b}{2}) .

Sinon, il n’y a pas de solutions.

Cas: $a + b \neq 0$ . On a $Δ = 4 - 4 a^{2} + 4 b^{2}$ .

Sous-cas: $1 - a^{2} + b^{2} < 0$ . Il n’y a pas de solutions.

Sous-cas: $1 - a^{2} + b^{2} = 0$ . Il y a une solution double

X = \frac{1}{2 (a + b)} .

Dans le cas où $a + b > 0$ , cela détermine une solution

x = - \ln (2 (a + b)) .

Dans le cas où $a + b < 0$ , il n’y a pas de solutions.

Sous-cas: $1 - a^{2} + b^{2} > 0$ . L’équation précédente possède deux solutions

X_{1} = \frac{1 - \sqrt{1 - a^{2} + b^{2}}}{a + b} et X_{2} = \frac{1 + \sqrt{1 - a^{2} + b^{2}}}{a + b} .

La solution $X_{1}$ est strictement positive si, et seulement si,

{\begin{matrix} | a | > | b | \\ a + b > 0 \end{matrix} ou {\begin{matrix} | a | < | b | \\ a + b < 0 . \end{matrix}

Dans ce cas, cela détermine une solution

x_{1} = \ln (\frac{1 - \sqrt{1 - a^{2} + b^{2}}}{a + b}) .

La solution $X_{2}$ est strictement positive si, et seulement si, $a + b > 0$ et cela détermine alors la solution

x_{2} = \ln (\frac{1 + \sqrt{1 - a^{2} + b^{2}}}{a + b}) .

Exercice 7 1866 Correction

Soient $a$ et $α$ deux réels.
Résoudre le système d’inconnues $x$ et $y$

{\begin{matrix} ch (x) + ch (y) & = 2 a ch (α) \\ sh (x) + sh (y) & = 2 a sh (α) . \end{matrix}

Solution

Si $a < 1$ alors $𝒮 = \emptyset$ .
Si $a = 1$ alors $𝒮 = {(α, α)}$ .
Si $a > 1$ alors en faisant apparaître un système somme produit:

𝒮 = {(\ln (a - \sqrt{a^{2} - 1}) + α, \ln (a + \sqrt{a^{2} - 1}) + α), (\ln (a + \sqrt{a^{2} - 1}) + α, \ln (a - \sqrt{a^{2} - 1}) + α)} .

Exercice 8 4832

(Fonction argument tangente hyperbolique)

(a)

Montrer que la fonction $x \mapsto th (x)$ réalise une bijection de $ℝ$ vers un intervalle $I$ à préciser.

On note $argth$ sa bijection réciproque appelée argument tangente hyperbolique.

(b)

Montrer que la fonction $argth$ est dérivable sur $I$ et exprimer sa dérivée.
(c)

En étudiant l’équation $y = th (x)$ d’inconnue $x$ réelle, exprimer $argth (t)$ à l’aide des fonctions usuelles. Retrouver l’expression de sa dérivée.

Exercice 9 1862 Correction

Pour $y \in] - \frac{π}{2}; \frac{π}{2} [$ , on pose $x = \ln (\tan (\frac{y}{2} + \frac{π}{4}))$ .

Montrer

th (\frac{x}{2}) = \tan (\frac{y}{2}), th (x) = \sin (y) et ch (x) = \frac{1}{\cos (y)} .

Solution

	$th (\frac{x}{2})$	$= \frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1} = \frac{\tan (\frac{y}{2} + \frac{π}{4}) - 1}{\tan (\frac{y}{2} + \frac{π}{4}) + 1} = \frac{\sin (\frac{y}{2} + \frac{π}{4}) - \cos (\frac{y}{2} + \frac{π}{4})}{\sin (\frac{y}{2} + \frac{π}{4}) + \cos (\frac{y}{2} + \frac{π}{4})}$
		$= \frac{\sin (\frac{π}{4} + \frac{y}{2}) - \sin (\frac{π}{4} - \frac{y}{2})}{\sin (\frac{π}{4} + \frac{y}{2}) + \sin (\frac{π}{4} - \frac{y}{2})} = \frac{\sin (\frac{y}{2}) \cos (\frac{π}{4})}{\cos (\frac{y}{2}) \sin (\frac{π}{4})} = \tan (\frac{y}{2}) .$

	$th (x)$	$= \frac{\tan^{2} (\frac{y}{2} + \frac{π}{4}) - 1}{\tan^{2} (\frac{y}{2} + \frac{π}{4}) + 1} = \sin^{2} (\frac{y}{2} + \frac{π}{4}) - \cos^{2} (\frac{y}{2} + \frac{π}{4})$
		$= - \cos (y + \frac{π}{2}) = \sin (y) .$

	$ch (x)$	$= \frac{\tan (\frac{y}{2} + \frac{π}{4}) + \tan^{- 1} (\frac{y}{2} + \frac{π}{4})}{2} = \frac{\sin^{2} (\frac{y}{2} + \frac{π}{4}) + \cos^{2} (\frac{y}{2} + \frac{π}{4})}{2 \sin (\frac{y}{2} + \frac{π}{4}) \cos (\frac{y}{2} + \frac{π}{4})}$
		$= \frac{1}{\sin (y + \frac{π}{2})} = \frac{1}{\cos (y)} .$

Exercice 10 4844

Pour $x$ réel, on pose $t = \arctan (sh (x))$ .

(a)

Exprimer $\cos (t)$ et $\sin (t)$ en fonction de $ch (x)$ et $sh (x)$ .
(b)

Vérifier

$x = \ln (\tan (\frac{t}{2} + \frac{π}{4})) .$

[<] Fonctions trigonométriques réciproques

Édité le 14-10-2023

Fonctions hyperboliques