[<] Fonctions trigonométriques réciproques

 
Exercice 1  4830  

Montrer les inégalités suivantes:

  • (a)

    sh(x)x pour tout x0

  • (b)

    ch(x)1+12x2 pour tout x.

 
Exercice 2  1869  Correction  

Établir

x,|arctan(sh(x))|=arccos(1ch(x)).

Solution

Soit f:+ définie par

f(x)=arctan(sh(x))-arccos(1ch(x)).

La fonction f est continue sur + et dérivable sur ]0;+[ avec, pour x>0,

f(x)=ch(x)1+sh2(x)-sh(x)ch2(x)ch(x)ch2(x)-1=1ch(x)-sh(x)ch(x)1sh(x)=0.

La fonction f est donc constante sur ]0;+[ puis sur + par continuité.

Puisque f(0)=0, on conclut

x+,|arctan(sh(x))|=arccos(1ch(x)).

Par parité, le résultat se prolonge aussi à x-.

 
Exercice 3  1863   

Soient n et t. Exprimer

Cn=k=0n(nk)ch(kt)etSn=k=0n(nk)sh(kt)

en fonction de ch(t2), ch(nt2) et sh(nt2).

 
Exercice 4  4843  
  • (a)

    Vérifier que sh(2a)=2sh(a)ch(a) pour tout a réel.

  • (b)

    Soient x et n. Exprimer à l’aide de la fonction sinus hyperbolique le produit

    k=1nch(x2k).
 
Exercice 5  1865   Correction  

Pour n et x+*, observer

th((n+1)x)-th(nx)=sh(x)ch(nx)ch((n+1)x).

Calculer

Sn(x)=k=0n1ch(kx)ch((k+1)x).

Solution

Après quelques calculs

th((n+1)x)-th(nx)=sh(x)ch(nx)ch((n+1)x).

Par télescopage

Sn(x)=k=0n1ch(kx)ch((k+1)x)=th((n+1)x)sh(x).
 
Exercice 6  1866   Correction  

Soient a et α deux réels.
Résoudre le système d’inconnues x et y

{ch(x)+ch(y)=2ach(α)sh(x)+sh(y)=2ash(α).

Solution

Si a<1 alors 𝒮=.
Si a=1 alors 𝒮={(α,α)}.
Si a>1 alors en faisant apparaître un système somme produit:

𝒮={(ln(a-a2-1)+α,ln(a+a2-1)+α),(ln(a+a2-1)+α,ln(a-a2-1)+α)}.
 
Exercice 7  4832   

(Fonction argument tangente hyperbolique)

  • (a)

    Montrer que la fonction xth(x) réalise une bijection de vers un intervalle I à préciser.

On note argth sa bijection réciproque appelée argument tangente hyperbolique.

  • (b)

    Montrer que la fonction argth est dérivable sur I et exprimer sa dérivée.

  • (c)

    En étudiant l’équation y=th(x) d’inconnue x réelle, exprimer argth(t) à l’aide des fonctions usuelles. Retrouver l’expression de sa dérivée.

 
Exercice 8  1862   Correction  

Pour y]-π2;π2[, on pose x=ln(tan(y2+π4)).

Montrer

th(x2)=tan(y2),th(x)=sin(y)etch(x)=1cos(y).

Solution

th(x2) =ex-1ex+1=tan(y2+π4)-1tan(y2+π4)+1=sin(y2+π4)-cos(y2+π4)sin(y2+π4)+cos(y2+π4)
=sin(π4+y2)-sin(π4-y2)sin(π4+y2)+sin(π4-y2)=sin(y2)cos(π4)cos(y2)sin(π4)=tan(y2).
th(x) =tan2(y2+π4)-1tan2(y2+π4)+1=sin2(y2+π4)-cos2(y2+π4)
=-cos(y+π2)=sin(y).
ch(x) =tan(y2+π4)+tan-1(y2+π4)2=sin2(y2+π4)+cos2(y2+π4)2sin(y2+π4)cos(y2+π4)
=1sin(y+π2)=1cos(y).
 
Exercice 9  4844    

Pour x réel, on pose t=arctan(sh(x)).

  • (a)

    Exprimer cos(t) et sin(t) en fonction de ch(x) et sh(x).

  • (b)

    Vérifier

    x=ln(tan(t2+π4)).

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Édité le 08-11-2019

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