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Exercice 1 4826

Résoudre les équations d’inconnue $x$ réelle qui suivent:

(a)

$\sin (x) = \sin (2 x)$
(b)

$\cos (x) = \sin (3 x)$
(c)

$\cos (x) - \sin (x) = 1$ .

Exercice 2 1847 Correction

Résoudre les équations suivantes d’inconnues $x \in ℝ$ .

(a)

$\cos (2 x - π / 3) = \sin (x + 3 π / 4)$
(b)

$\sin (x) + \sin (3 x) = 0$
(c)

$3 \cos (x) - \sqrt{3} \sin (x) = \sqrt{6}$
(d)

$2 \sin (x) \cos (x) + \sqrt{3} \cos (2 x) = 0$

Solution

(a)

L’équation étudiée équivaut à

$\cos (2 x - π / 3) = \cos (x + π / 4) .$

On obtient pour solutions

$x = \frac{7 π}{12} [2 π] et x = \frac{π}{36} [\frac{2 π}{3}] .$
(b)

L’équation étudiée équivaut à

$2 \sin (2 x) \cos (x) = 0 .$

On obtient pour solutions

$x = 0 [π / 2] .$
(c)

L’équation étudiée équivaut à

$2 \sqrt{3} (\frac{\sqrt{3}}{2} \cos (x) - \frac{1}{2} \sin (x)) = \sqrt{6}$

soit encore

$\cos (x + \frac{π}{6}) = \cos (\frac{π}{4}) .$

On obtient pour solutions

$x = \frac{π}{12} [2 π] et x = - \frac{5 π}{12} [2 π] .$
(d)

L’équation étudiée équivaut à

$2 (\frac{1}{2} \sin (2 x) + \frac{\sqrt{3}}{2} \cos (2 x)) = 0$

soit encore

$\sin (2 x + \frac{π}{3}) = 0 .$

On obtient pour solutions

$x = \frac{π}{3} [π] et x = - \frac{π}{6} [π] .$

Exercice 3 4836

Décrire l’ensemble des solutions $x$ réelles des équations suivantes:

(a)

$2 \cos^{2} (x) - \sin (x) = 1$
(b)

$\cos^{4} (x) + \sin^{4} (x) = 1$
(c)

$\sin (x) + \sin (2 x) + \sin (3 x) = 0$
(d)

$2 \sqrt{3} \cos^{2} (x) - 2 \sin (x) \cos (x) = 1 + \sqrt{3}$ .

Exercice 4 1848 Correction

Résoudre l’équation

\tan (x) \tan (2 x) = 1

d’inconnue $x$ réel convenable.

Solution

Pour $x \neq \frac{π}{2} [π]$ et $x \neq \frac{π}{4} [\frac{π}{2}]$ ,

	$\tan (x) \tan (2 x) = 1$	$\Leftrightarrow \sin (x) \sin (2 x) - \cos (x) \cos (2 x) = 0$
		$\Leftrightarrow \cos (3 x) = 0$
		$\Leftrightarrow x = \frac{π}{6} [\frac{π}{3}] .$

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Édité le 29-08-2023

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