[<] Radicaux [>] Puissances et exponentielles

 
Exercice 1  1827  Correction  

Établir, pour tout x0, l’encadrement

x-12x2ln(1+x)x.

Solution

L’étude des variations des fonctions xx-ln(1+x) et xln(1+x)-x+12x2 montre que celles-ci sont croissantes sur +, puisqu’elles s’annulent en 0, on peut conclure.

 
Exercice 2  1828  Correction  
  • (a)

    Montrer que, pour tout x>-1

    ln(1+x)x.
  • (b)

    En déduire que pour tout n{0,1}

    (1+1n)ne(1-1n)-n.

Solution

  • (a)

    Posons f:]-1;+[ définie par f(x)=x-ln(1+x). f est dérivable, f(0)=0 et f(x)=x1+x.
    Le tableau de variation de f donne f positive.

  • (b)

    D’une part

    (1+1n)n=enln(1+1n)en×1ne

    et d’autre part

    (1-1n)-n=e-nln(1-1n)e

    car

    ln(1-1n)-1n.
 
Exercice 3  1829   Correction  

Montrer que, pour tous a,b>0,

12(ln(a)+ln(b))ln(a+b2).

Solution

Pour a,b>0,

ln(a+b2)-12(ln(a)+ln(b))=ln(a+b2ab).

Or

a+b=a2+b22ab

et donc

ln(a+b2ab)0.
 
Exercice 4  1830   Correction  

Soient 0<ab. On pose

f:xln(1+ax)ln(1+bx)

définie sur +*.

Étudier la monotonie de f et en déduire que

ln(1+ab)ln(1+ba)(ln(2))2.

Solution

f est dérivale sur +* et

f(x)=g(x)(1+ax)(1+bx)ln(1+bx)2

avec

g(x)=a(1+bx)ln(1+bx)-b(1+ax)ln(1+ax).

On a g(0)=0 et

g(x)=abln(1+bx1+ax)0

La fonction g est donc positive et par suite f croissante.

Puisque 1b1a, on a f(1b)f(1a) ce qui donne l’inégalité voulue.

 
Exercice 5  1831  Correction  

Montrer que le nombre de chiffres dans l’écriture décimale d’un entier n>0 est log10n+1.

Solution

Notons m le nombre de décimale dans l’écriture de n.
On a 10m-1n<10m donc m-1log10n<m puis m=log10n+1.

 
Exercice 6  5010   

Montrer que log10(2) est un nombre irrationnel.

 
Exercice 7  3626   Correction  

(Lemme de Gibbs)

  • (a)

    Justifier que pour tout x>0

    ln(x)x-1.
  • (b)

    Soient (p1,,pn) et (q1,,qn) des n-uplets formés de réels strictement positifs vérifiant

    k=1npk=k=1nqk=1.

    Établir

    i=1npiln(qi)i=1npiln(pi).

    Dans quel(s) cas y a-t-il égalité?

Solution

  • (a)

    Une étude de la fonction xln(x)-x+1 assure l’inégalité écrite.
    De plus, on observe qu’il y a égalité si, et seulement si, x=1.

  • (b)

    On étudie la différence

    i=1npiln(qi)-i=1npiln(pi)=i=1npiln(qipi).

    Par l’inégalité précédente

    i=1npiln(qi)-i=1npiln(pi)i=1npi(qipi-1)=i=1n(qi-pi)=0.

    De plus, il y a égalité si, et seulement si,

    1in,pi=qi.

    Cette inégalité est fameuse lorsque l’on s’intéresse à l’entropie d’une source d’information…

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Édité le 08-11-2019

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