[<] Études pratiques de normes [>] Calcul de distance à une partie
Soit une norme sur un espace réel .
À quelle condition l’intersection de deux boules fermées de est-elle non vide?
Même question avec des boules ouvertes.
Lorsque est une partie bornée non vide d’un espace normé , on introduit le diamètre de défini par
Justifier l’existence de la borne supérieure définissant .
Soient et deux parties bornées et non vides de .
Établir
On suppose de plus . Montrer
Solution
Introduisons tel que
La borne supérieure définissant correspond à la borne supérieure de l’ensemble
L’ensemble est une partie de , contenant (car avec ) et majoré car
Cela assure l’existence de la borne supérieure de et celle-ci est un réel positif.
Si , on a immédiatement donc
Introduisons . Soit .
Cas: et .
Cas: et .
Cas: et .
Cas: et .
Dans tous les cas, est majoré par donc .
Soit un endomorphisme d’un espace normé de dimension finie. On suppose que pour tout vecteur de
Montrer que les espaces et sont supplémentaires.
désigne un espace vectoriel normé par .
Soient et deux projecteurs d’un -espace vectoriel .
On suppose
Montrer que et sont de même rang.
Solution
Par l’absurde, supposons et, quitte à échanger, ramenons-nous au cas où .
Par la formule du rang,
et donc
On en déduit que les espaces et ne sont pas supplémentaires et il existe donc un vecteur vérifiant
On a alors
donc
Or
C’est absurde.
Soit avec . Existe-t-il une norme sur invariante par conjugaison, c’est-à-dire telle que:
Solution
Cas: . Par l’absurde supposons qu’une telle norme existe. Posons
Les matrices et sont semblables (via ) donc . Or donc . On en déduit . C’est absurde car .
Cas général: Semblable.
On définit sur une norme par
Soient et . Établir que
Soient telles que . Montrer
En déduire que
Solution
Par réduction au même dénominateur
que l’on peut réécrire
et si alors
qui donne l’inégalité voulue avec
qui sont tels que .
Par l’inégalité triangulaire,
et en vertu de ce qui précède
qui donne
avec
Soient et la norme uniforme sur .
Montrer qu’il existe un unique polynôme de degré tel que:
Soit unitaire de degré . Montrer
On pourra s’intéresser aux valeurs de et en les , pour .
Cas d’égalité. Montrer
Solution
Unicité: Si deux polynômes sont solutions, leur différence s’annule sur et correspond donc au polynôme nul.
Existence: On peut raisonner par récurrence double en introduisant
ou employer la formule de Moivre pour écrire:
On vérifie et l’on observe
Aussi, le polynôme est de degré et de coefficient dominant .
Par l’absurde, supposons et considérons
Le polynôme est de degré strictement inférieur à et prend exactement le signe de en les . Par l’application du théorème des valeurs intermédiaires, le polynôme s’annule sur ,…, : c’est le polynôme nul ce qui est absurde.
L’implication indirecte est entendue. Supposons, . Considérons de nouveau le polynôme . Au sens large, il prend le signe de en les et l’on peut assurer l’existence d’au moins une racine dans chaque intervalle ,…, . Lorsque cela est possible, on choisit cette racine dans l’intervalle ouvert et l’on note les racines ainsi obtenues.
Si celles-ci sont distinctes, le polynôme est nul et l’on conclut.
Sinon, lorsqu’il y en a deux qui ne sont pas distinctes, elles correspondent à un même avec pour lequel est de signe strict11 1 Car on a choisi les dans l’intervalle ouvert lorsque cela est possible. sur et . Ces signes sont nécessairement identiques et présente un extremum en qui est donc racine double de . Le polynôme admet alors au moins racines comptées avec multiplicité et l’on conclut.
Soit l’application qui à une matrice de associe la somme des carrés de ses coefficients.
Déterminer un produit scalaire tel que soit la norme euclidienne associée.
Montrer que deux matrices semblables n’ont pas nécessairement la même norme.
Montrer que deux matrices semblables par l’intermédiaire d’une matrice orthogonale ont la même norme.
Soit . Calculer et avec la matrice élémentaire d’indice de .
Trouver les matrices telles que pour tout .
Solution
est la norme euclidienne associée au produit scalaire canonique sur :
Les matrices
sont semblables mais n’ont pas la même norme.
Pour ,
est une matrice dont toutes les colonnes sont nulles sauf celle d’indice qui vaut la -ème colonne de .
est une matrice dont toutes les lignes sont nulles sauf celle d’indice qui vaut la -ème ligne de .
Soit solution.
Soit . Pour , l’égalité donne et donc
En notant les colonnes de et ses lignes, on a obtenu
Les colonnes et les lignes de ont toutes la même norme (nécessairement strictement positive).
Soit distinct de . Pour , l’égalité donne
En développant,
et donc
Ainsi, les colonnes de sont deux à deux orthogonales. On en déduit que la matrice est orthogonale. La réciproque est immédiate compte tenu de ce qui précède et les matrices recherchées sont donc les matrices
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Édité le 14-10-2023
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