Exercice 1 3143 Correction

Soient $A, B \in ℳ_{p} (ℝ)$ . On suppose

{(A B)}^{n} \to O_{p} .

Montrer que

{(B A)}^{n} \to O_{p} .

Solution

Il suffit d’observer

{(B A)}^{n + 1} = B {(A B)}^{n} A \to_{n \to + \infty}^{} O_{p} .

Exercice 2 1670 Correction

Soient $A, B \in ℳ_{n} (ℝ)$ telles que

A^{k} \to_{k \to + \infty}^{} P et B^{k} \to_{k \to + \infty}^{} Q .

On suppose que les matrices $A$ et $B$ commutent. Montrer que les matrices $P$ et $Q$ commutent.

Solution

Puisque les matrices $A$ et $B$ commutent, il en est de même des matrices $A^{k}$ et $B^{k}$ . En passant à la limite la relation

A^{k} B^{k} = B^{k} A^{k}

on obtient

P Q = Q P .

Exercice 3 471 Correction

Soit $(A_{n})$ une suite de matrices inversibles de $ℳ_{p} (𝕂)$ .
On suppose

A_{n} \to_{n \to + \infty}^{} A et A_{n}^{- 1} \to_{n \to + \infty}^{} B .

Montrer que $A$ est inversible et déterminer son inverse.

Solution

On a

A_{n} A_{n}^{- 1} = I_{p} .

En passant cette relation à la limite on obtient

A B = I_{p} .

Par le théorème d’inversibilité, on peut affirmer que $A$ est inversible et

A^{- 1} = B .

Exercice 4 3010 ENTPE (MP)Correction

Soit $A \in ℳ_{p} (ℂ)$ . On suppose que la suite ${(A^{n})}_{n \in ℕ}$ converge vers une matrice $B \in ℳ_{p} (ℂ)$ .

Montrer que $B^{2} = B$ .

Solution

Par extraction,

A^{2 n} \to_{n \to + \infty}^{} B .

Par produit,

A^{2 n} = A^{n} \times A^{n} \to_{n \to + \infty}^{} B^{2} .

Par unicité de la limite, $B = B^{2}$ (et $B$ est donc la matrice d’une projection).

Exercice 5 3925 MINES (MP)Correction

Soit $A \in ℳ_{n} (ℝ)$ une matrice antisymétrique telle que la suite ${(A^{k})}_{k \in ℕ}$ converge vers $B$ dans $ℳ_{n} (ℝ)$ . Que dire de $B$ ?

Solution

D’une part,

{(A^{k})}^{⊤} \to_{k \to + \infty}^{} B^{⊤} .

D’autre part,

{(A^{k})}^{⊤} = {(- 1)}^{k} A^{k} .

On a donc

{(A^{2 p})}^{⊤} = {(- 1)}^{2 p} A^{2 p} \to_{p \to + \infty}^{} B

{(A^{2 p + 1})}^{⊤} = {(- 1)}^{2 p + 1} A^{2 p + 1} \to_{p \to + \infty}^{} - B .

Par unicité de la limite,

B = B^{⊤} = - B .

On en déduit que la matrice $B$ est nulle.

Exercice 6 5897 Correction

Soit $∥ \cdot ∥$ une norme sous-multiplicative sur $ℳ_{n} (ℝ)$ .

Soient $A \in ℳ_{n} (ℝ)$ et $M_{0} \in ℳ_{n} (ℝ)$ vérifiant $∥ I_{n} - A M_{0} ∥ < 1$ .

On pose

M_{k + 1} = 2 M_{k} - M_{k} A M_{k} .

Montrer que $A$ est inversible et $M_{k} \to_{k \to + \infty}^{} A^{- 1}$

Solution

Posons $B_{k} = M_{k} A$ . On remarque

\forall k \in ℕ, I_{n} - B_{k + 1} = I_{n} - M_{k + 1} A = I_{n} - 2 M_{k} A + {(M_{k} A)}^{2} = {(I_{n} - B_{k})}^{2} .

Par une récurrence facile,

\forall k \in ℕ, I_{n} - B_{k} = {(I_{n} - B_{0})}^{2^{k}} .

Or $∥ I_{n} - B_{0} ∥ < 1$ et, par sous-multiplicativité,

\forall k \in ℕ, ∥ I_{n} - B_{k} ∥ \leq {∥ I_{n} - B_{0} ∥}^{2^{k}} .

On en déduit

B_{k} \to_{k \to + \infty}^{} I_{n} .

Soit $X \in ℳ_{n,1} (ℝ)$ . Si $A X = 0$ alors, pour tout $k \in ℕ$ , $B_{k} X = 0$ . En passant à la limite, on obtient $X = 0$ . Ainsi, $Ker (A) = {0}$ . Cela assure que la matrice $A$ est inversible.

On peut alors introduire son inverse $A^{- 1}$ et, par produit de limites,

M_{k} = B_{k} A^{- 1} \to_{k \to + \infty}^{} A^{- 1} .

Exercice 7 3851 MINES (MP)

Soit $a \in ℝ$ . Déterminer la limite de la suite ${(A_{n}^{n})}_{n \geq 1}$ avec

A_{n} = (\begin{matrix} 1 & - \frac{a}{n} \\ \frac{a}{n} & 1 \end{matrix}) .

Exercice 8 5871 Correction

Soit $(e_{1}, \dots, e_{n})$ une base d’un espace réel normé $(E, ∥ \cdot ∥)$ .

Pour $u \in ℒ (E)$ , on pose

N (u) = \sum_{i = 1}^{n} ∥ u (e_{i}) ∥ .

(a)

Vérifier que $N$ définit une norme sur $ℒ (E)$ .
(b)

Soit ${(u_{k})}_{k \in ℕ}$ une suite d’éléments de $ℒ (E)$ . Prouver que cette suite converge si, et seulement si, la suite ${(u_{k} (x))}_{k \in ℕ}$ converge pour tout $x \in E$ .

Solution

(a)

L’application $N : ℒ (E) \to ℝ_{+}$ est correctement définie.

Soit $u \in ℒ (E)$ . Si $N (u) = 0$ alors, par nullité d’une somme de termes positifs, $∥ u (e_{i}) ∥ = 0$ pour $i = 1, \dots, n$ et donc $u (e_{i}) = 0_{E}$ pour $i = 1, \dots, n$ . L’application linéaire $u$ est nulle sur les vecteurs d’une base, c’est donc l’application nulle.

Pour $λ \in ℝ$ et $u \in ℒ (E)$ ,

$N (λ u) = \sum_{i = 1}^{n} ∥ λ u (e_{i}) ∥ = \sum_{i = 1}^{n} | λ | ∥ u (e_{i}) ∥ = | λ | N (u) .$

Enfin, pour $u, v \in ℒ (E)$ ,

$N (u + v) = \sum_{i = 1}^{n} ∥ u (e_{i}) + v (e_{i}) ∥ \leq \sum_{i = 1}^{n} (∥ u (e_{i}) ∥ + ∥ v (e_{i}) ∥) = N (u) + N (v) .$

L’application $N$ définit donc une norme sur $ℒ (E)$ .
(b)

$(⟹)$ Supposons que la suite ${(u_{k})}_{k \in ℕ}$ converge vers $v$ dans $ℒ (E)$ pour la norme $N$ (ou pour toutes autres normes: celles-ci sont équivalentes car $ℒ (E)$ est de dimension finie). On a

$N (u_{k} - v) = \sum_{i = 1}^{n} ∥ u_{k} (e_{i}) - v (e_{i}) ∥ \to_{k \to + \infty}^{} 0$

et donc

$\forall i = 1, \dots, n, u_{k} (e_{i}) \to_{k \to + \infty}^{} v (e_{i}) .$

Soit $x \in E$ . On peut écrire $x$ comme combinaison linéaire des vecteurs $e_{i}$ et, par opérations sur les limites, on peut affirmer

$u_{k} (x) \to_{k \to + \infty}^{} v (x) .$

$(⟸)$ Supposons que les suites ${(u_{k} (x))}_{k \in ℕ}$ convergent quelles que soient les vecteurs $x$ dans $E$ . En particulier, pour $i = 1, \dots, n$ , on peut introduire $v_{i} \in E$ la limite de la suite ${(u_{k} (e_{i}))}_{k \in ℕ}$ . On peut¹¹ 1 Une application linéaire est entièrement déterminée par l’image d’une base. aussi introduire $v \in ℒ (E)$ déterminé par $v (e_{i}) = v_{i}$ pour $i = 1, \dots, n$ . On a

$\forall i = 1, \dots, n, ∥ u_{k} (e_{i}) - v (e_{i}) ∥ = ∥ u_{k} (e_{i}) - v_{i} ∥ \to_{k \to + \infty}^{} 0$

donc

$N (u_{k} - v) = \sum_{i = 1}^{n} ∥ u_{k} (e_{i}) - v (e_{i}) ∥ \to_{k \to + \infty}^{} 0 .$

Ainsi, la suite ${(u_{k})}_{k \in ℕ}$ converge (vers $v$ ) dans $ℒ (E)$ .

Exercice 9 3005 NAVALE (MP)Correction

Soit $E = 𝒞 ([0; 1], ℝ)$ . Pour $f \in E$ , on pose

N_{1} (f) = \int_{0}^{1} | f (t) | d t .

(a)

Montrer que $N_{1}$ définit une norme sur $E$ .

On dit qu’une suite ${(f_{p})}_{p \geq 0}$ d’éléments de $E$ est de Cauchy pour $N_{1}$ lorsque

\forall ε > 0, \exists N \in ℕ, \forall p \in ℕ, \forall n \in ℕ, n \geq N ⟹ N_{1} (f_{n + p} - f_{n}) \leq ε .

(b)

Montrer que si ${(f_{p})}_{p \geq 0}$ est convergente pour la norme $N_{1}$ alors c’est une suite de Cauchy pour la norme $N_{1}$ .
(c)

On pose

$f_{n} (x) = \sum_{k = 1}^{n} \frac{x^{k}}{k} pour x \in [0; 1] et n \in ℕ^{*} .$

Montrer que la suite ${(f_{p})}_{p \geq 1}$ est de Cauchy pour la norme $N_{1}$ . Est-elle convergente pour cette même norme?

Solution

(a)

L’application $N_{1}$ est correctement définie de $E$ vers $ℝ_{+}$ . Soient $λ \in ℝ$ et $f, g \in E$ . On vérifie immédiatement $N_{1} (λ f) = | λ | N_{1} (f)$ et $N_{1} (f + g) \leq N_{1} (f) + N_{1} (g)$ . Si $N_{1} (f) = 0$ alors la fonction $| f |$ est positive continue et d’intégrale nulle sur $[0; 1]$ , c’est donc la fonction identiquement nulle et la fonction $f$ aussi.
(b)

Soient ${(f_{p})}_{p \geq 0}$ une suite convergente pour la norme $N_{1}$ et $f$ sa limite. Pour tout $ε > 0$ , il existe $N \in ℕ$ tel que

$\forall n \in ℕ, n \geq N ⟹ N_{1} (f - f_{p}) \leq \frac{ε}{2} .$

Pour $n \geq N$ et $p \in ℕ$ , on a conjointement

$N_{1} (f - f_{n}) \leq \frac{ε}{2} et N_{1} (f - f_{n + p}) \leq \frac{ε}{2}$

et donc

$N_{1} (f_{n + p} - f_{n}) \leq N_{1} (f_{n + p} - f) + N_{1} (f - f_{n}) \leq ε .$

La suite ${(f_{p})}_{p \geq 0}$ est donc de Cauchy pour la norme $N_{1}$ .
(c)

Pour $n \in ℕ^{*}$ et $p \in ℕ$ ,

$N_{1} (f_{n + p} - f_{n})$ $= \int_{0}^{1} | \sum_{k = n + 1}^{n + p} \frac{x^{k}}{k} | d x = \sum_{k = n + 1}^{n + p} \int_{0}^{1} \frac{x^{k}}{k} d x$

$= \sum_{k = n + 1}^{n + p} \frac{1}{k (k + 1)} = \sum_{k = n + 1}^{n + p} (\frac{1}{k} - \frac{1}{k + 1}) = \frac{1}{n + 1} - \frac{1}{n + p + 1} \leq \frac{1}{n + 1} .$

Pour $n$ assez grand, cette quantité est inférieure à n’importe quel $ε$ préalablement choisi. La suite ${(f_{p})}_{p \geq 1}$ est une suite de Cauchy pour $N_{1}$ .

Par l’absurde supposons que la suite ${(f_{p})}_{p \geq 1}$ converge pour la norme $N_{1}$ et posons $f \in E$ sa limite. On a donc

$N_{1} (f_{p} - f) = \int_{0}^{1} | f_{p} - f | \to_{p \to + \infty}^{} 0 .$

Parallèlement, par le théorème de convergence dominée, on montre

$\int_{0}^{1} | f_{p} - f | = \int_{[0; 1 [} | f_{p} (x) - f (x) | d x \to_{p \to + \infty}^{} \int_{[0; 1 [} | f (x) + \ln (1 - x) | d x .$

En effet, par les séries entières de référence,

$\forall x \in [0; 1 [, | f_{p} (x) - f (x) | \to_{p \to + \infty}^{} | - \ln (1 - x) - f (x) |$

et

$\forall x \in [0; 1 [, | f_{p} (x) - f (x) | \leq | f_{p} (x) | + | f (x) | = - \ln (1 - x) + | f (x) | = φ (x)$

avec $φ : [0; 1 [\to ℝ_{+}$ continue par morceaux et intégrable sur $[0; 1 [$ .

Par unicité de la limite,

$\int_{[0; 1 [} | f (x) + \ln (1 - x) | d x = 0 .$

Par nullité de l’intégrale d’une fonction continue positive, on obtient

$\forall x \in [0; 1 [, f (x) + \ln (1 - x) = 0 .$

Or $f$ est continue en $1$ tandis que $\ln (1 - x)$ tend vers $- \infty$ quand $x$ tend vers $1^{-}$ . C’est absurde.

La suite ${(f_{p})}_{p \geq 1}$ ne converge pas pour la norme $N_{1}$ .

Exercice 10 3022

Soient $p \in ℕ^{*}$ et $A \in ℳ_{p} (ℝ)$ .

(a)

On suppose $A$ diagonalisable et $Sp (A) \subset] - 1; 1 [$ . Montrer que la suite géométrique $(A^{n})$ converge vers la matrice nulle.
(b)

Même question avec trigonalisable au lieu de diagonalisable.

Exercice 11 5424 MINES (MP)Correction

Déterminer les triplets $(a, b, c) \in ℂ^{3}$ tels que

a^{n} + b^{n} + c^{n} \to_{n \to + \infty}^{} 0 .

Solution

Soit $(a, b, c)$ un triplet solution. Introduisons

V = (\begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ a & b & c \\ a^{2} & b^{2} & c^{2} \end{matrix}) et X_{n} = (\begin{matrix} a^{n} \\ b^{n} \\ c^{n} \end{matrix}) .

Par hypothèse,

Y_{n} = V X_{n} = (\begin{matrix} a^{n} + b^{n} + c^{n} \\ a^{n + 1} + b^{n + 1} + c^{n + 1} \\ a^{n + 2} + b^{n + 2} + c^{n + 2} \end{matrix}) .

Cas: $a$ , $b$ et $c$ sont deux à deux distincts. La matrice $V$ est inversible et donc

X_{n} = (\begin{matrix} a^{n} \\ b^{n} \\ c^{n} \end{matrix}) = V^{- 1} Y_{n} \to_{n \to + \infty}^{} (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) .

On en déduit que $a$ , $b$ et $c$ sont de modules strictement inférieurs à $1$

Cas: $a = b$ et $a \neq c$ . On adapte ce qui précède en écrivant

(\begin{matrix} 2 & 1 \\ 2 a & c \end{matrix}) (\begin{matrix} a^{n} \\ c^{n} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 2 a^{n} + c^{n} \\ 2 a^{n + 1} + c^{n + 1} \end{matrix}) \to_{n \to + \infty}^{} (\begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix}) .

Les autres cas sont similaires.

Finalement,

a^{n} + b^{n} + c^{n} \to_{n \to + \infty}^{} 0 ⟹ | a |, | b |, | c | < 1 .

La réciproque est immédiate.

Exercice 12 5824 Correction

Soit $E$ l’espace des fonctions continues de $[0; 1]$ vers $ℝ$ . En introduisant une suite de fonctions affines par morceaux nulles en dehors de $[0; 1 / n]$ (pour $n \in ℕ^{*}$ ), établir qu’il n’existe pas de norme $∥ \cdot ∥$ sur $E$ pour laquelle

\forall (f_{n}) \in E^{ℕ}, \forall f \in E, ∥ f_{n} - f ∥ \to_{n \to + \infty}^{} 0 \Leftrightarrow \forall t \in [0; 1], f_{n} (t) \to_{n \to + \infty}^{} f (t) .

Solution

Considérons $∥ \cdot ∥$ une norme sur $E$ . Pour $n \geq 1$ , introduisons la fonction affine par morceaux $g_{n}$ donnée par le graphe ci-dessous:

Enfin, posons

f_{n} = \frac{g_{n}}{∥ g_{n} ∥} \in E .

On observe que

\forall t \in [0; 1], f_{n} (t) \to_{n \to + \infty}^{} f (t) avec f = 0 \in E .

En effet, pour $t = 0$ , c’est immédiat et, pour $t > 0$ , on remarque que pour $n$ assez grand, $f_{n} (t) = 0$ .

Cependant,

∥ f_{n} - f ∥ = \frac{∥ g_{n} ∥}{∥ g_{n} ∥} = 1 \to_{n \to + \infty}^{} 1 \neq 0 .

Exercice 13 3036 Correction

Soit $(A_{n})$ une suite convergente d’éléments de $ℳ_{n} (𝕂)$ et de limite $A_{\infty}$ .
Montrer que pour $n$ assez grand

rg (A_{n}) \geq rg (A_{\infty}) .

Solution

Posons $r = rg (A_{\infty})$ .
La matrice $A_{\infty}$ possède est déterminant extrait non nul de taille $r$ .
Le déterminant extrait correspondant des matrices $A_{n}$ est alors non nul à partir d’un certain rang et donc $rg (A_{n}) \geq r$

Exercice 14 3475 X (MP)

Soit $(A_{k})$ une suite de matrices de $ℳ_{n} (𝕂)$ convergeant vers $A \in ℳ_{n} (𝕂)$ . On suppose que les matrices $A_{k}$ sont toutes de même rang $p$ . Montrer $rg (A) \leq p$ .

Que dire de la nature topologique de l’ensemble $ℛ_{p} (𝕂)$ des matrices de $ℳ_{n} (𝕂)$ de rangs inférieurs à $p$ ?

Exercice 15 4980 X (PSI)

Soient $n \geq 2$ et $A = (a_{i, j}) \in ℳ_{n} (ℝ)$ une matrice à coefficients strictement positifs vérifiant¹¹ 1 $A$ est une matrice stochastique (voir le sujet 5120).

\sum_{j = 1}^{n} a_{i, j} = 1 pour tout i \in ⟦ 1; n ⟧ .

On note $α$ le plus petit coefficient de la matrice $A$ et, pour $X \in ℳ_{n,1} (ℝ)$ , on note $\min (X)$ et $\max (X)$ le plus petit et le plus grand coefficient de la colonne $X$ .

(a)

On suppose que les coefficients d’une colonne $Y \in ℳ_{n,1} (ℝ)$ sont tous positifs. Établir $\min (A Y) \geq α \max (Y)$ .

Soient $X \in ℳ_{n,1} (ℝ)$ et $Y = X - \min (X) U$ avec $U$ la colonne de hauteur $n$ dont tous les coefficients sont égaux à $1$ .

(b)

Montrer

$\min (A X) \geq α \max (X) + (1 - α) \min (X)$

puis

$\max (A X) \leq α \min (X) + (1 - α) \max (X) .$
(c)

En déduire que les suites ${(\min (A^{p} X))}_{p \in ℕ}$ et ${(\max (A^{p} X))}_{p \in ℕ}$ sont adjacentes.
(d)

Conclure que la suite ${(A^{p})}_{p \in ℕ}$ converge et déterminer le rang de sa limite.

Exercice 16 3413 ENS Lyon (MP)Correction

Soit $q \in ℕ^{*}$ . On note $E_{q}$ l’ensemble des $A \in {GL}_{n} (ℂ)$ telles que

A^{q} = I_{n} .

(a)

Que dire de $A \in E_{q}$ telle que 1 est seule valeur propre de $A$ ?
(b)

Montrer que $I_{n}$ est un point isolé de $E_{q}$ , c’est-à-dire que toute suite d’éléments de $E_{q}$ de limite $I_{n}$ est constante égale à $I_{n}$ à partir d’un certain rang.

Solution

(a)

Une matrice $A \in E_{q}$ annule le polynôme scindé simple $X^{q} - 1$ , elle est donc diagonalisable. Si $1$ est sa seule valeur propre alors $A = I_{n}$ car semblable à $I_{n}$ .
(b)

Par l’absurde, supposons qu’il existe une suite $(A_{p})$ d’éléments de $E_{q} ∖ {I_{n}}$ vérifiant

$A_{p} \to_{p \to + \infty}^{} I_{n} .$

Par continuité de la trace,

$tr (A_{p}) \to_{p \to + \infty}^{} n .$

Or la trace de $A_{p}$ est la somme de ses valeurs propres, celles-ci ne sont pas toutes égales à 1 et sont racines $q$ -ième de l’unité donc

$Re (tr (A_{p})) \leq (n - 1) + \cos (\frac{2 π}{q}) .$

Cette majoration est incompatible avec la propriété $tr (A_{p}) \to_{p \to + \infty}^{} n$ .

[<] Équivalence de normes en dimension finie [>] Séries de vecteurs

Édité le 08-12-2023

	$N_{1} (f_{n + p} - f_{n})$	$= \int_{0}^{1} \| \sum_{k = n + 1}^{n + p} \frac{x^{k}}{k} \| d x = \sum_{k = n + 1}^{n + p} \int_{0}^{1} \frac{x^{k}}{k} d x$
		$= \sum_{k = n + 1}^{n + p} \frac{1}{k (k + 1)} = \sum_{k = n + 1}^{n + p} (\frac{1}{k} - \frac{1}{k + 1}) = \frac{1}{n + 1} - \frac{1}{n + p + 1} \leq \frac{1}{n + 1} .$

Suites de vecteurs