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Exercice 1  4670  

Soit E=p(𝕂) muni d’une norme sous-multiplicative:

(A,B)p(𝕂)2,ABAB.

Soit Ap(𝕂) vérifiant A<1.

  • (a)

    Étudier la convergence de la série matricielle An.

  • (b)

    Justifier que la matrice Ip-A est inversible et exprimer la somme de la série précédente.

 
Exercice 2  5101   

Pour toute matrice A de n(), on pose

A=i=1nj=1n|ai,j|.
  • (a)

    Vérifier que définit une norme sur n().

  • (b)

    Montrer que cette norme est sous-multiplicative ce qui signifie:

    ABABpour toutes matrices A,Bn().

Soit An(). Pour p, on pose

Ep(A)=k=0p1k!Ak.
  • (c)

    Justifier la convergence de la série numérique

    1k!Ak.
  • (d)

    Montrer que la suite (Ep(A)) converge.

 
Exercice 3  4052   

(Théorème du point fixe)

Soient E un espace de dimension finie de norme et f une application de E vers E. On suppose qu’il existe11 1 On dit que l’application f est contractante. k[0;1[ tel que

(x,y)E2,f(y)-f(x)ky-x.
  • (a)

    Montrer que f possède au plus un point fixe22 2 Un point fixe de f est une valeur x de E vérifiant f(x)=x..

On choisit arbitrairement aE et l’on considère la suite (xn) définie par

x0=aetxn+1=f(xn)pour tout n.
  • (b)

    Montrer la convergence la suite (xn).

  • (c)

    En déduire que la fonction f admet un point fixe.

 
Exercice 4  2728     MINES (MP)Correction  

Soit Mn(). Montrer l’équivalence de:

  • (i)

    toute valeur propre de M est de module strictement inférieur à 1;

  • (ii)

    la suite (Mk) tend vers 0;

  • (iii)

    la série de terme général Mk converge.

Solution

(i)(ii) Le plus simple est sans doute d’utiliser la décomposition de Dunford: M=D+N avec D diagonalisable et N nilpotente commutant entre elles. Par la formule du binôme de Newton, on peut calculer Mk et tronquer la somme par la nilpotence de N, on parvient alors à une somme finie de termes qui tendent vers 0 par croissance comparée. Une autre méthode, techniquement plus lourde, consiste à introduire ρk=max{|(Mk)1,+1|,,|(Mk)n-,n|} qui majorent les coefficients de Mk situés sur la diagonale (pour =0), sur la sur-diagonale (pour =1) etc. En notant que ρ=ρ01<1, on montre par récurrence sur k que ρkkM+1ρk- ce qui permet de conclure.

(ii)(iii) Supposons que Mk0. On peut alors affirmer que 1 n’est pas valeur propre de M car MX=XMkX=X et donc à la limite MX=XX=0. Par suite, la matrice I-M est inversible et puisque (I-M)k=0mMk=I-Mm+1, k=0mMk=(I-M)-1(I-Mm+1) d’où la convergence de la série des Mk.

(iii)(i) Soit λSp(M) et X0 tel que MX=λX. Puisque k=0mMk converge quand rg(C)r, on a k=0mMkX converge, puis k=0nλkX converge et donc |λ|<1 (car X0).

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Édité le 08-11-2019

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