Exercice 1 4670

Soit $E = ℳ_{p} (𝕂)$ muni d’une norme $∥ \cdot ∥$ sous-multiplicative:

\forall (A, B) \in ℳ_{p} {(𝕂)}^{2}, ∥ A B ∥ \leq ∥ A ∥ ∥ B ∥ .

Soit $A \in ℳ_{p} (𝕂)$ vérifiant $∥ A ∥ < 1$ .

(a)

Étudier la convergence de la série matricielle $\sum A^{n}$ .
(b)

Justifier que la matrice $I_{p} - A$ est inversible et exprimer la somme de la série précédente.

Exercice 2 5724 Correction

Soit $∥ \cdot ∥$ une norme sous-multiplicative sur $ℳ_{n} (ℝ)$ .

Pour $A \in ℳ_{n} (ℝ)$ tel que $∥ A ∥ < 1$ , calculer

\sum_{k = 0}^{+ \infty} A^{k} et \sum_{k = 1}^{+ \infty} k A^{k - 1} .

Solution

Par une récurrence facile, on établit $∥ A^{k} ∥ \leq {∥ A ∥}^{k}$ pour tout $k \in ℕ^{*}$ . Or la série $\sum {∥ A ∥}^{k}$ converge car il s’agit d’une série géométrique de raison $q = ∥ A ∥ \in [0; 1 [$ . La série $\sum A^{k}$ converge donc absolument. Or l’espace $ℳ_{n} (ℝ)$ est de dimension finie et donc la série $\sum A^{k}$ converge. On peut alors introduire

S = \sum_{k = 0}^{+ \infty} A^{k} .

En isolant le terme d’indice $0$ puis en procédant à un glissement d’indice, on observe

S = A^{0} + \sum_{k = 1}^{+ \infty} A^{k} = I_{n} + \sum_{k = 0}^{+ \infty} A^{k + 1} = I_{n} + A \sum_{k = 0}^{+ \infty} A^{k} = I_{n} + A S .

On en déduit

(I_{n} - A) S = I_{n} .

La matrice $I_{n} - A$ est donc inversible et

S = {(I_{n} - A)}^{- 1} .

Aussi,

∥ k A^{k - 1} ∥ \leq k {∥ A ∥}^{k - 1} \underset{k \to + \infty}{=} o (q^{k}) pour q = \frac{1 + ∥ A ∥}{2} \in [0; 1 [

On en déduit la convergence absolue, donc la convergence, de la série $\sum k A^{k - 1}$ . On peut alors introduire

S^{'} = \sum_{k = 1}^{+ \infty} k A^{k - 1} .

Après un glissement d’indice, on observe

S^{'} = \sum_{k = 0}^{+ \infty} (k + 1) A^{k} = \sum_{k = 0}^{+ \infty} k A^{k} + \sum_{k = 0}^{+ \infty} A^{k} = A S^{'} + S .

On en déduit

S^{'} = {(I_{n} - A)}^{- 2} .

Exercice 3 5101

Pour toute matrice $A$ de $ℳ_{n} (ℝ)$ , on pose

∥ A ∥ = \sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} | a_{i, j} | .

(a)

Vérifier que $∥ \cdot ∥$ définit une norme sur $ℳ_{n} (ℝ)$ .
(b)

Montrer que cette norme est sous-multiplicative ce qui signifie:

$∥ A B ∥ \leq ∥ A ∥ ∥ B ∥ pour toutes matrices A, B \in ℳ_{n} (ℝ) .$

Soit $A \in ℳ_{n} (ℝ)$ . Pour $p \in ℕ$ , on pose

E_{p} (A) = \sum_{k = 0}^{p} \frac{1}{k!} A^{k} .

(c)

Justifier la convergence de la série numérique

$\sum \frac{1}{k!} ∥ A^{k} ∥ .$
(d)

Montrer que la suite $(E_{p} (A))$ converge.

Exercice 4 4052

(Théorème du point fixe)

Soient $E$ un espace de dimension finie de norme $∥ \cdot ∥$ et $f$ une application de $E$ vers $E$ . On suppose qu’il existe¹¹ 1 On dit que l’application $f$ est contractante. $k \in [0; 1 [$ tel que

\forall (x, y) \in E^{2}, ∥ f (y) - f (x) ∥ \leq k ∥ y - x ∥ .

(a)

Montrer que $f$ possède au plus un point fixe²² 2 Un point fixe de $f$ est une valeur $x$ de $E$ vérifiant $f (x) = x$ ..

On choisit arbitrairement $a \in E$ et l’on considère la suite $(x_{n})$ définie par

x_{0} = a et x_{n + 1} = f (x_{n}) pour tout n \in ℕ .

(b)

Montrer la convergence de la suite $(x_{n})$ .

On pourra étudier la nature d’une série télescopique.
(c)

En déduire que la fonction $f$ admet un point fixe.

Exercice 5 2728 MINES (MP)Correction

Soit $M \in ℳ_{n} (ℂ)$ . Montrer l’équivalence de:

(i)

toute valeur propre de $M$ est de module strictement inférieur à 1;
(ii)

la suite $(M^{k})$ tend vers 0;
(iii)

la série de terme général $M^{k}$ converge.

Solution

(i) $⟹$ (ii) Le plus simple est sans doute d’utiliser la décomposition de Dunford: $M = D + N$ avec $D$ diagonalisable et $N$ nilpotente commutant entre elles. Par la formule du binôme de Newton, on peut calculer $M^{k}$ et tronquer la somme par la nilpotence de $N$ , on parvient alors à une somme finie de termes qui tendent vers 0 par croissance comparée. Une autre méthode, techniquement plus lourde, consiste à introduire $ρ_{ℓ}^{k} = \max {| {(M^{k})}_{1, ℓ + 1} |, \dots, | {(M^{k})}_{n - ℓ, n} |}$ qui majorent les coefficients de $M^{k}$ situés sur la diagonale (pour $ℓ = 0$ ), sur la sur-diagonale (pour $ℓ = 1$ ) etc. En notant que $ρ = ρ_{0}^{1} < 1$ , on montre par récurrence sur $k$ que $ρ_{ℓ}^{k} \leq k^{ℓ} {∥ M ∥}_{\infty}^{ℓ + 1} ρ^{k - ℓ}$ ce qui permet de conclure.

(ii) $⟹$ (iii) Supposons que $M^{k} \to 0$ . On peut alors affirmer que 1 n’est pas valeur propre de $M$ car $M X = X ⟹ M^{k} X = X$ et donc à la limite $M X = X ⟹ X = 0$ . Par suite, la matrice $I - M$ est inversible et puisque $(I - M) \sum_{k = 0}^{m} M^{k} = I - M^{m + 1}$ , $\sum_{k = 0}^{m} M^{k} = {(I - M)}^{- 1} (I - M^{m + 1})$ d’où la convergence de la série des $M^{k}$ .

(iii) $⟹$ (i) Soit $λ \in Sp (M)$ et $X \neq 0$ tel que $M X = λ X$ . Puisque $\sum_{k = 0}^{m} M^{k}$ converge quand $rg (C) \geq r$ , on a $\sum_{k = 0}^{m} M^{k} X$ converge, puis $\sum_{k = 0}^{n} λ^{k} X$ converge et donc $| λ | < 1$ (car $X \neq 0$ ).

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Édité le 29-08-2023

Séries de vecteurs